DEA-perustaiset resurssienallokointimallit - Aalto

Report
DEA-perusteiset resurssien
allokointimallit
Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari
Kevät 2013
Esitelmä 10
Juuso Saarnikko
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Sisältö
•
•
•
•
•
Johdanto
Resurssien allokointimallit (2 kpl)
Sovellus
Yhteenveto
Kotitehtävä
Johdanto
• Klassinen päätöksentekijän ongelma
– Miten päätöksentekijä valitsee rajoitettujen resurssien käyttökohteet?
• Monta eri näkökulmaa otettava huomioon
– Millä perusteilla eri vaihtoehtojen ”hyvyyttä” mitataan?
•
•
•
•
Tasapuolisuus
Tekninen tehokkuus (DEA)
Tulostavoitetehokkuus
Tuotostavoitteet
• DEA-pohjaisten resurssien allokointimenetelmien avulla pystytään
analysoimaan mahdollisia tuotantojoukkoja ja tuotos/panossuhteita
ja niiden optimoimista
Johdanto
• Yleinen tilanne: keskitetty päätöksentekijä, jonka alla
toimintayksikköjä, joiden resurssit rajoitetut
– Esimerkiksi miten jaetaan resursseja kauppaketjun eri
kauppojen välillä
• Yleensä tavoitteena jakaa resurssit mahdollisimman
tehokkaasti kokonaishyöty tai jokin muu kriteeri
maksimoiden (tuotosten kokonaissumma
mahdollisimman suuri)
DEA perusteiset resurssien
allokointimallit, intro
• Perinteinen DEA-malli ei riittävä
– Ei huomioi päätöksentekijän preferenssejä
– Mahdollistaa usein vain yhden yksikön tarkastelun ja analysoinnin
kerrallaan suhteessa muihin
– Ei huomioi kaikkia eri näkökulmia yksiköiden arvioinnissa
• DEA-pohjainen resurssien allokointimenetelmä laajentaa
perinteisen DEA-mallin sopivuutta tutkia resursseja
Resurssien allokointimalli #1
DEA-RAM (Resource allocation model)
• Golanyn ja Tamirin malli
– Rakennettu additiivisen DEA-mallin pohjalta
• Pyrkii maksimoimaan tulostavoitetehokkuuden
• Perusmalli rakennettu tilanteeseen, jossa monta
panosta mutta vai yksi tuotos
Taustaa
Efficiency – Effectiveness – Equality
• DEA alun perin kehitetty vain teknisen tehokkuuden
(efficiency) analysointiin
• Teknisen tehokkuuden parantamista ja
tulostavoitetehokkuuden (effectiveness) analysointia
varten monia jatkomalleja kehitetty tämän jälkeen
– Resurssien allokointia myös muun kuin pelkän teknisen
tehokkuuden nojalla
– Tuotosjoukon tarkkailua annetuilla panoksilla, tai toisin päin
• Muuttuja/Tavoite
Efficiency vs. Effectiveness
• Efficiency
– Kuvaa valitun toiminnan tehokkuutta tavoitteen saavuttamiseksi
– Kurssilta aikaisemmin tuttu tehokkuus
– ”Tekninen tehokkuus”
• Effectiveness
– Kuvaa sitä kuinka hyvin asetetut tavoitteet saavutetaan
– ”Tulostavoitetehokkuus”
– Teknisesti tehokkaiden (efficient) yksiköiden
tulostavoitetehokkuutta (effectiveness) voidaan vielä parantaa ja
kehittää
• Resurssien allokointimalli yhtenä potentiaalisena vaihtoehtona
Equality
• Tasapuolisuusaste
• Mittaa resurssien jakamisen tasapuolisuutta
päätöksentekijän päätöksen alaisuudessa oleville
tuotantoyksiköille
• Gini-mittari epätasapuolisuudelle (Mandell, 1991)
Selventävä esimerkki
Efficiency – Effectiveness – Equality
School
Teachers
Capital
SE
Index
Test
Attendance
Students
1
11
10
1
85
87
407
2
13
20
3
89
95
430
3
13
15
1
80
84
455
4
12
11
2
90
95
420
•
•
3 panosta, 2 tuotosta
Tekninen tehokkuus (efficiency) voidaan määrittää DEA:n keinoin
– Panos/tuotossuhde
•
Tulostavoitetehokkuus (effectiveness) määritetään tavoitteiden saavuttamisen
perusteella
– Esimerkiksi koulu on tulostavoitetehokas jos sen testituloksien ka. on yli 85 ja
paikallaoloprosentti vähintää 90 %.
•
Tasapuolisuusaste määritetään opettajien määrällä sataa oppilasta kohden,
keskiarvon ollessa 2.86
Selventävä esimerkki, tulokset
School
Efficiency
Effectiveness
Equality
1
Yes
No
Under
2
No
Yes
Over
3
No
No
Average
4
yes
yes
Average
• Miten näitä yksiköitä voidaan nyt vertailla eri kriteerien
valossa? Miten allokoida resursseja?
 DEA perusteinen resurssien allokointimalli
• Miten trade-offit arvotetaan?
DEA-RAM resurssien allokointimalli
matemaattisesti, Golany&Tamir



•
Maksimoidaan yksikköjen tuotosten
summaa (tulostavoitetehokkuutta)
•
Tuotokset ja panokset saadaan olemassa
olevasta mitatusta/havaitusta datasta
allokoimalla resurssit optimaalisesti
•
Rajoitetaan panokset ylärajan B
alapuolelle
=1
s.e.

 ∗ λ ≥ 
=1

 ∗ λ ≤ 
=1

λ = 1
=1

 ≤ 
=1
λ ,  ,  ≥ 0
DEA-RAM resurssien allokointimallin
lisälaajennukset
1. Tasapainoisuusasteen tarkkailu ja sen vertailu
tulostavoitetehokkuuteen ja tekniseen tehokkuuteen
•
Verrataan ”epätasapainoisuutta” tehokkuuksiin ja muutetaan mallia
vastaavasti hyödyntäen Gini-kerrointa (1)
2. Harkinnanvaraiset rajoitteet
–
–
Rajoitetaan päätöksentekijän päätöksiä tietylle alueelle
Esimerkiksi työntekijöiden määrää saa muuttaa vain tietyillä
prosenttiosuuksilla eikä mielivaltaisesti
(1) Mandell, M. B., ”Modelling Effectiveness-Equity Trade-offs in
Public Service Delivery Systems,” Management Science., 37.
4(1991), 467-482.
DEA-RAM resurssien allokointimallin
lisälaajennukset
3.
Monen tuotoksen malli
–
–
DEA-mallissa pystytään helposti analysoimaan monta tuotosmuuttujaa omaavaa mallia
Resurssien allokointimalli voidaan rajoituksin muokata myös kykeneväksi ratkomaan
monen tuotoksen malleja
•
4.
Tällöin kuitenkin joudutaan rakentamaan subjektiivisten painojen avulla yhteys eri tuotosten välille
Teknisen tehokkuuden saavuttamattomuuden huomioonottaminen
–
Vaikka resursseja allokoitaisiinkin uudelleen, osa yksiköistä saattaa pysyä yhä teknisesti
tehottomana
•
5.
Mallin laajentamismahdollisuutena esitetään teknisellä tehokkuusarvolla painotettua tarkkailua
tasapuolisempana vaihtoehtona
Tulostavoitetehokkuuden rajoitteet
–
Tuodaan malliin laajennuksena alarajatavoite tulostavoitetehokkuudelle, joka tulee täyttyä
ennen kuin yksikköä voidaan pitää tulostavoitetehokkaana/varteenotettavana vaihtoehtona
Vertaus aikaisempaan malliin (Mandell
1991)
•
Mandell kehitti aikaisemmin mallin,
jossa vertaillaan tasapainoisuuden
ja tulostavoitetehokkuuden
painottamista ja arviointia
  =
( ,  )

s.e.
≤
 ≤ 
•

Regressiomalli*, jolla
tuotantofunktio estimoidaan
 ≥ 0
 = 1, … , ,  = 1, … , 
•
Maksimoidaan oletettua
tuotantofunktiota, joka riippuu
panoksista
•
Sisältää Gini-kertoimen
epätasapainoisuudelle, jolla
maksimiarvo
=

*=(ei esitetä tässä esitelmässä)
> |
∗  −  ∗  |
 
Golany&Tamir vs. Mandell
Golany&Tamir
Mandell
- Ei tarvetta etukäteisoletuksiin
tuotantofunktiosta
- olettaa tuotantofunktion tunnetuksi
- Mallintaa lähtödataa suoraan
kokoajan
- Mallintaa tuotantofunktion
lähtödatan perusteella
- Lineaarinen ohjelmointi
-Epälineaarinen ohjelmointi
- Tarkastelee tehokasta rintamaa eli
parhaiksi havaittujen yksiköiden
suorituskykyä empiirisessä
tuotantofunktiossaan
- Tarkastelee yksiköiden
keskimääräistä suorituskykyä
tuotantofunktion estimoinnissaan
Golany&Tamir vs. Mandell
Golany&Tamir vs. Mandell
•
Tuotantofunktio-oletus ja
keskimääräisen
suorituskyvyn tarkkailu
Mandellin mallissa
aiheuttavat
”alisuorittavan” ratkaisun
•
DEA-RAM taas käyttää
tehokasta rintamaa
Yhteenveto DEA-RAM
• Resurssien allokointimalli, joka pyrkii ottamaan
huomioon teknisen tehokkuuden,
tulostavoitetehokkuuden (ja tasapainoisuuden)
• Kehitetty additiivisen DEA-mallin pohjalta
• Pyrkii paikkaamaan aikaisempien mallien heikkouksia
kuten edellä vertailtiin
Resurssien allokointimalli #2
Taustaa
• DEA-mallin avulla pystytään määrittämään
tuotantomahdollisuusjoukko
• DEA:n lisäksi hyödynnetään monitavoitteista lineaarista
ohjelmointia (MOLP)
– Etsitään samanaikaisesti optimaalista ratkaisua usealle eri
tavoitteelle
• Yksiköillä mahdollisuus muokata tuotantoaan
tuotantomahdollisuusjoukossa tietyin ehdoin
• Resurssien allokointia ottaen huomioon kaikkien
tuotantoyksiköiden tuotokset yhtä aikaa
Taustaa
• Ratkottava ongelma samanlainen kuin edellä esitetyssä mallissa
– Keskitetty päätöksentekoyksikkö
• Määrittää esimerkiksi työvoimaresurssit tuotantoyksiköille kokonaistuotos
maksimoiden
• Miettiä kannattaako jokin yksikö sulkea jopa kokonaan
– Tuotoksia ja panoksia enemmän kuin yksi
• Tarvitaan monitavoiteoptimointia (MOLP)
 Ratkaisutapa tässä mallissa täten eroaa edellisestä koska useaa tavoitetta
optimoidaan samanaikaisesti
• Useampia tavoitteita
–  
–  
•
Ei yhtä oikeaa vastausta vaan käypien ratkaisujen joukko
Tehokas resurssien allokointimalli
• Määritelmä: allokointimalli, jossa päätöksentekijä pyrkii
allokoimaan lisäresursseja tai olemassa olevia
resursseja uudelleen saavuttaakseen optimaaliset
tuotokset
1. Määritetään nykyisistä panoksista ja tuotoksista
tuotantomahdollisuusjoukko ja muutosmahdollisuusjoukko
(CCR/CRS tai BCC/VRS perustainen)
2. Oletetaan panokset resursseiksi ja tuotokset tavoitteiksi
3. Kun kyseessä olevia tavoitteita enemmän kuin yksi puhutaan
monitavoiteoptimoinnista (MOLP)
Tehokas resurssien allokointimalli
 Δ = Δ1 = Δ1 , Δ2 , … , Δ 1
s.e.
•
•
 + Δ
∈
 + Δ

 ≤ ,  ≤ ,  ∈ Λ, y

≥ ,  ≥ },  = , , … , 
T=
•
 on tuotantosuunnitelmien joukko,
jonka yksikkö i voi saavuttaa. Tätä
kutsutaan myös
muutosmahdollisuusjoukoksi
(transformation possibility set)
•
r on sallittujen resurssimuutosten
joukko
Λ = λ λ ∈ R  λ ≤  ,
 + Δ
∈  ,  = 1,2, … , ,
 + Δ
Δ = Δ1 = Δ1 , Δ2 , … , Δ 1 ≤ 
T on tuotantomahdollisuusjoukko
 + Δ
kuvaa tuotos- ja
 + Δ
panosvektoreita allokoinnin jälkeen
Tuotantomahdollisuusjoukko vs.
muutosmahdollisuusjoukko
• Tuotantomahdollisuusjoukko T kuvaa kaikki teknisesti
käyvät tuotantojoukot
• Muutosmahdollisuusjoukko F kuvaa yksikön
pystyvyyttä muuttaa tuotantoaan rajoitteiden rajoissa
Tehokas resurssien allokointimalli – case
1&2
•
Case 1
– Suhteelliset skaalaukset sallittuja tuotoksissa ja panoksissa
• Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F
•
Case 2
– Yksikön tekninen tehokkuus pidetään vakiona
• Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F
•
Molemmissa tapauksissa katsotaan tuotantomahdollisuusjoukot CCR/CRS
ja BCC/VRS malleihin perustuen
Case 1
• Suhteellinen tuotosten ja panosten skaalaus sallittu ja
rajoitettu
• δ kuvaa pienimmän suhteen panosten muutokselle, joka
toimii ylärajana tuotosmuuttujille
• Saadaan muutosmahdollisuusjoukko F
Esimerkkirajoitteet:
Case 1
• Ehdot tuotantomahdollisuusjoukolle
– CCR/CRS-tapauksessa
– BCC/VRS-tapauksessa
Case 1
• MOLP-ongelma saadaan muotoon
• Lisäehdot BCC/VRS:lle
Case 1
•
Resurssien allokoinnin ratkaisu:
–
–
•
Suurimman marginaalituoton omaavalle yksikölle allokoidaan ensimmäisenä lisäresurssit
kunnes yläraja saavutetaan
Jne. kunnes kaikki resurssit jaettu
Esimerkin tulokset:
Case 1
• Marginaalituotto graafisesti tarkoittaa jyrkintä kulmakerrointa
pisteen ja origon kautta piirrettynä (CCR-CRS)
– BBC-VRS-tapauksessa tuotantomahdollisuusjoukko kuitenkin lisärajoitteena
Case 2
• Tehokkuus pidetään vakiona epätehokkuusluvun σ avulla
resursseja allokoidessa
– Tehokkuus θ=1/(1+σ)
– Lisärajoitteet:
• Lisäehdot BCC/VRS:lle
• Myös itse MOLP-ongelma muokkautuu vastaavasti rajoitteiden
pohjalta
Case 2
Tehokas resurssien allokointimalli –
esimerkkisovellus
•
Resurssien allokointi supermarketeissa
– 25 myymälää
•
Kaksi tuotosmuuttujaa
– Liikevaihto
– Voitto
•
Kaksi panosmuuttujaa
– Työvoima
– Koko
•
•
•
Yksiköt eivät voi vaikuttaa havaittuihin epätehokkuuslukuihin
Molemmissa tapauksissa tavoite on maksimoida liikevaihto ja voitto
Pareto Race menetelmänä optimointiongelman ratkaisun löytämisessä
Supermarkettien
resurssiallokointisovellus
• Model 1:
• Model 2:
– Case 1 ja CRS
• 1% muutokset kaikkien
panosten summaan sallittuja
(r)
• Panokset rajoitettuja
– 10 % lasku sallittu
– 30 % kasvu sallittu
– Case 2 ja VRS
• Koko vakio
• Työtuntien summan
muutokset rajoitetaan yhden
prosentin kasvuun (r)
• Työtunnit rajoitettuja
– 10 % lasku sallittu
– 30 % kasvu sallittu
• Ongelma siis käytännössä
työvoiman uudelleen sijoittelun
optimointi
Supermarkettien resurssiallokointisovellus
Supermarkettien
resurssiallokointisovellus
• Model 1:
– Solution 1
• Ratkaisu perustuen liikevaihtoon
– Solution 2
• Ratkaisu perustuen voittoon
– Solution 3
• Ratkaisu perustuen molempiin tekijöihin
• Tehokkaat yksiköt saivat lisäresursseja
• Yksikään tehoton yksikkö ei saa lisäresursseja jokaisessa
ratkaisuvaihtoehdossa
Supermarkettien resurssiallokointisovellus
3, 10, 23, 25
CCR-tehokkaita
Supermarkettien
resurssiallokointisovellus
• Model 2
– Solution 1
• Ratkaisu perustuen liikevaihtoon
– Solution 2
• Ratkaisu perustuen voittoon
• Myös jotkin epätehokkaat yksiköt saavat lisää työvoimaa
• Tulokset vaihtelevat ratkaisujen 1 ja 2 välillä
Supermarkettien resurssiallokointisovellus
3, 4, 7, 8, 9, 10,
11, 23, 25 BCCtehokkaita
Yhteenveto
• DEA-mallin ja monitavoiteoptimoinnin yhdistävä
menetelmä resurssiallokoinnille
– Kaksi menetelmää
1. Suhteellisiin muutoksiin perustuva menetelmä
2. Vakiotehokkuuksinen menetelmä
1. Nämä muodostavat reunaehdot tehtäville (Case 1 & 2)
• Käytännön sovellus, jossa molempia menetelmiä
hyödynnettiin
Kotitehtävä
1. Golanyn ja Tamirin DEA-RAM-malli
a)
b)
Minkä haasteen resurssien allokointimallit kohtaavat monen tuotoksen
malleissa?
Miksi DEA-RAM-mallin ja Mandellin mallin lopulliset kokonaistuotosarvot
eroavat? Esitä asia sanallisesti ja/tai graafisesti
2. Korhosen ja Syrjäsen tehokas resurssien allokointimalli
a)
b)
Miten esitelmässä esitetyn tehokkaan resurssien allokointimallin case 2:ssa
määritetään yksikön E uudelleen allokoidut panos- ja tuotosarvot?
Miten selittäisit tuotos/panossuhteen muutokset case 2:n tuloksissa esim.
yksikölle A vaikka ehtona on, että tehokkuus säilyy vakiona?
(Case 2 = artikkelin kpl 3.2 (vakiotehokkuus))
Lähteet
• Golany ja Tamir (1995): Evaluating efficiency-effectiveness-equality
trade-offs: a data envelopment analysis approach, Management
Science 41/7, 1172-1184.
• Korhonen ja Syrjänen (2004): Resource allocation based on
efficiency analysis, Management Science 50/8, 1134-1144.

similar documents