DalTriangoloAlCerchio

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Poligoni regolari -
definizione
Sono poligoni equilateri ed equiangoli
ovvero
hanno tutti i lati uguali
hanno tutti gli angoli uguali
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Poligoni regolari
3
lati
Triangolo
Equilatero
5
lati
8
lati
4
lati
6
lati
PENTAgono
OTTAgono
Quadrato
12
lati
ESAgono
DODECAgono
Next
Poligoni regolari -
proprietà
Sono ISCRITTIBLI:
è possibile trovare una circonferenza in cui
inscriverli,
ovvero una circonferenza esterna alla figura e
che la ‘tocca’ nei vertici
Invio
Sono CIRCOSCRITTIBLI:
è possibile trovare una circonferenza a cui
circoscriverli,
ovvero una circonferenza interna alla figura e
che la ‘tocca’ sui lati
Next
Poligoni regolari
Circonferenza Circoscritta
Per questa lezione concentriamo la nostra
attenzione sulla circonferenza circoscritta
Next
Poligoni regolari
Circonferenza Circoscritta
raggio
Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della
circonferenza circoscritta è il circocentro:
il punto d’intersezione degli assi dei lati
Next
Poligoni regolari
Circonferenza Circoscritta
Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la
circonferenza attorno ad ogni poligono regolare
Next
Poligoni regolari
raggio
Circonferenza Circoscritta
Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile
disegnare all’interno del poligono tanti triangoli quanti
sono i lati che formano il poligono stesso
Next
Poligoni regolari
Quali segmenti formano i
triangoli?
?
Quale tipo di triangoli
vengono formati?
?
ISOSCELI, perché
hanno 2 lati uguali
raggio
1 lato del poligono
2 raggi
Invio
Come sono tra loro i
triangoli?
Se il poligono di partenza
NON fosse stato
REGOLARE, saremmo
arrivati agli stessi risultati?
?Uguali!
?NO!
perché . . .
Next
Poligoni regolari
raggio
Riassumendo
Un T.Equilatero
è formato da
3 T.isosceli
uguali tra loro
Un Pentagono è
formato da
5 T.isosceli
uguali tra loro
Un Quadrato è
formato da
4 T.isosceli
uguali tra loro
Un Esagono è
formato da
6 T.isosceli
uguali tra loro
Next
Poligoni regolari
L’altezza di ognuno di questi t.isosceli
prende il nome di
APOTEMA del POLIGONO (a)
raggio
apotema
apotema
apotema
Next
Poligoni regolari
Area
lato  apotema
2
=
apotema
L’area di un
triangolino
Area poligono
=
numero L’area di un

lati
triangolino
=
=
numero

lati
lato  apotema
2
=
2p  a
2
pa
=
=
=
apotema
Invi
o
perimetro  apotema
2
=
semiperimetro  apotema
Next
Poligoni regolari
Area
a
a
a
a
a
a
Area poligono regolare
=
semiperimetro  apotema
Next
Poligoni regolari
Numero fisso
Si può mostrare coi calcoli o ‘sperimentalmente’ che il rapporto
apotema / lato
è un valore costante per ogni poligono regolare.
Tale rapporto viene detto
numero fisso
e indicato con la lettera f
Il numero fisso è un valore importante perché
consente di calcolare la misura dell’apotema nota
quella del lato (o viceversa)
f = apotema / lato

apotema = f  lato
Next
Poligoni regolari
Numero fisso - tabella
T. Equilatero
3
lati
f = apotema / lato
= 0.289
5
lati
8
lati
4
lati
f = apotema / lato
= 0.688
Quadrato
f = apotema / lato
= 0.500
6
lati
f = apotema / lato
= 0.866
pentagono
esagono
f = apotema / lato
= 1.207
f = apotema / lato
= 1.866
ottagono
12
lati
dodecagono
Next
Poligoni regolari
Area - Problema
l
Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area?
Metodo “classico”:
a r
A =?l 2 = 102 = 100 cm2
Metodo “del poligono regolare”:
Invio
Essendo la figura un poligono regolare,
noto il lato posso calcolare l’apotema
utilizzando il relativo numero fisso
a=f
Calcolo il perimetro del poligono
2p = 4  l = 4  10 = 40cm
Calcolo l’area del poligono
A = p  a = 20  5 = 100cm2
 l = 0.5  10 = 5cm
Next
Poligoni regolari
Area - Problema
Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm,
quanto vale l’area?
?
l
r
a
Metodo “del poligono regolare”:
Essendo la figura un poligono regolare,
noto il lato posso calcolare l’apotema
utilizzando il relativo numero fisso
a=f
Calcolo il perimetro del poligono
2p = 5  l = 5  10 = 50cm
Calcolo l’area del poligono
A = p  a = 25  6.88 = 172cm2
 l = 0.688  10 = 6.88cm
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Poligoni regolari
perimetro e apotema
Abbiamo detto che il rapporto
apotema / lato
è un valore costante per ogni poligono regolare.
Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto
perimetro / apotema
che indichiamo con la lettera 2s
Quale relazione
intercorre tra
2s e f ?
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Poligoni regolari
da
2s
a
2p
T. Equilatero
3
lati
2s = 2p / a
= 10.380
4
lati
Quadrato
2s = 2p / a
= 8.000
2s = 2p / a
2s = 2p / a
5
lati
= 7.267
esagono
pentagono
2s = 2p / a
8
lati
= 6.628
ottagono
= 6.928
6
lati
2s = 2p / a
12
lati
= 6.431
dodecagono
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Poligoni regolari
da
Triangolo - 3 lati
2s = 10.380
2s
a
2p
25 lati
2s = 6.316
175 lati
2s = 6.284
Si osservi50
ora
laticon molta
200 lati
2s = 8.000
2s = 6.291
2s = 6.284
attenzione come
varia il valore di
Quadrato - 4 lati
Pentagono - 5 lati
2s = 7.268
75 lati
2s =2s
6.287
225 lati
2s = 6.284
cioè il rapporto
Esagono - 6 lati
100tra
lati il perimetro e 250 lati
2s = 6.928
2s =poligono
6.285 regolare2s = 6.284
l’apotema del
Ottagono - 8 lati
125 lati
275 lati
2s = 6.628
2s = 6.285
2s = 6.283
Dodecagono - 12 lati
150 lati
300 lati
2s = 6.431
2s = 6.284
2s = 6.283
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Poligoni regolari
da
lati
3
4
5
6
8
12
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
2s
10.380
8.000
7.268
6.928
6.628
6.431
6.316
6.291
6.287
6.285
6.285
6.284
6.284
6.284
6.284
6.284
6.283
6.283
2s
a
2p
Aumentando il numero dei lati il valore di 2s diminuisce
2s NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno al
valore 6.2831853…
Il valore 6.2831853… , che chiameremo 2p, viene
raggiunto quando il poligono è formato da un numero
grandissimo (infinito) di lati
p = 3.1415927…
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Poligoni regolari
dal
2p
alla
Circonferenza
Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati?
?
È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti.
Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA
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Poligoni regolari
dal
2p
alla
Circonferenza
Cosa è l’apotema di un poligono con un numero infinito di lati?
?
raggio
Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato,
diventa sempre ‘lungo’ e quindi anche la sua altezza,
cioè l’apotema, si allunga.
a
a
a
a
a
Linee di riferimento
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Poligoni regolari
dal
2p
alla
Circonferenza
Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare …
… il poligono diventa una circonferenza
… l’apotema diventa lunga come il raggio: a = r
… il rapporto 2s tra il perimetro e l’apotema diventa
uguale a 2p = 6.2831853… :
circonferenza  2 π r
raggio

apotema
2p  circonferenza  circ

r
apotema
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Poligoni regolari
Circonferenza
Abbiamo così determinato la formula per calcolare
la misura della lunghezza di una circonferenza
circonferenza = 2pr
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Poligoni regolari
Cerchio
Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla
circonferenza
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Poligoni regolari
Cerchio
Ricordando che la misura della superficie di un
poligono regolare è data dalla formula
A=pa
per il cerchio posso scrivere
cerchio = r  semicirconferenza =
= r  2pr / 2 = p  r2
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Circonferenza e Cerchio
2
pr
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