Teknik Resim

Report
Sonlu Elemanlar Yöntemi
1
Ders Notları:
Giriş
Mehmet Çevik
Celal Bayar Üniversitesi
2013
2/75
Info
Instructor:
Doç. Dr. Mehmet Çevik
e-mail: [email protected]
Mühendislik Fakültesi A-Blok
Dekanlık Ofisi
Office hours: Çarşamba 14:00 - 15:00
Course website:
Giriş
http://mehmetcevik.cbu.edu.tr
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
3/75
Ders kitabı
• Ders Kitabı
A First Course in the Finite Element Method
Daryl L. Logan, 4th Edition, Thomson, 2007.
Giriş
• Yardımcı Ders Kitabı
Lecture Notes: Introduction to the Finite
Element Method, Yijun Liu
http://urbana.mie.uc.edu/yliu
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
4/75
Diğer Kaynaklar
• Mehmet H. Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Birsen Yayınevi, 2012
• J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, McGraw
Hill, Third Edition, 2006.
• S. S. Rao, The Finite Element Method in Engineering, ButterworthHeinemann, 5 edition, 2010.
• S. Moaveni, Finite Element Analysis- Theory and Application with
ANSYS, Prentice Hall, 1999.
Giriş
• O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Element Method, Volume 1:
The Basis, Butterworth-Heinemann, 5 edition, 2000.
• K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall,
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
5/75
Ders notları için yararlanılan kaynaklar
• Suvranu De, Lecture Notes. http://homepages.rpi.edu/~des/
• Department of Aerospace Engineering Sciences, University of
Colorado at Boulder, Introduction to Finite Element Methods, Lecture
Notes. http://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/IFEM.d/
• Introduction to the Finite Element Method, Yijun Liu, Lecture Notes.
•
N. Zabaras, Finite Element Analysis for Mechanical and Aerospace
Design, Cornell University, Lecture Notes.
http://mpdc.mae.cornell.edu/Courses/MAE4700/MAE4700.html
Giriş
• Nazmiye Yahnioğlu, Sonlu Elemanlar Yöntemi, Ders Notları
• Mehmet Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Ders Notları
http://www.mehmetomurtag.com/tr/tr/node/101
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
6/75
Değerlendirme
Grades will be based on:
% 20
• Mini Proje
% 10
• Vize
% 30
• Final
% 40
Giriş
• Ödevler ve kısa sınavlar
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
7/75
Mini Proje
• Kendi belirleyeceğiniz ve benim onaylayacağım bir
problemi ANSYS veya benzeri bir paket problem
ile çözerek Kasım ayı sonuna teslim edeceksiniz.
• Problem konusu ile ilgili önerinizi en geç 7 Ekim
tarihine kadar sunmalısınız.
• Teslim ettiğiniz projede şunlar bulunmalıdır:
– Çözdüğünüz problemin tanımı (Yükler, sınır şartları, vb.)
– Analiz adımları (uygun şekiller ile birlikte)
– Sonuçlar ve değerlendirme
Giriş
• Proje her açıdan değerlendirilecektir.
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
8/75
Dersin İçeriği
Giriş – Matris işlemlerinin genel tekrarı
Yay eleman için «Doğrudan Direngenlik» yaklaşımı
Çubuk ve kafes elemanlar
2-B ve 3-B uzayda çubuk elemanlar
Kiriş eleman
Çerçeve sistemlerinin SE analizi
SE analizinde «Enerji» yaklaşımı
2 Boyutlu problemler
Sonlu eleman modellemesi ve çözüm teknikleri
Plak ve kabuk elemanlar
3 Boyutlu katı elemanlar
Isıl gerilme problemleri
Giriş
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
9/75
Giriş
Sonlu Eleman Analizi
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
10/75
Sonlu Eleman Analizi
Fixed boundary
uniform loading
• Approximate method
(Yaklaşık yöntem)
• Geometrik model
• Node (Düğüm noktası)
Cantilever plate
in plane strain
• Element (Eleman)
• Mesh (Ağ)
Giriş
• Discretization
(Ayrıklaştırma)
Problem: Levhadaki gerilmeleri
ve şekil değiştirmeleri bulunuz.
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
11/75
Sonlu Elemanlar Yöntemi
• Çeşitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir
bir yaklaşımla çözüm arayan bir sayısal çözüm
yöntemidir.
• Çok güçlü bir sayısal hesaplama yöntemidir.
Giriş
• Son 50 yılda bilgisayarların hızlı gelişimine
paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri
içinde çok önemli bir yer tutmaktadır.
12/75
Sonlu Elemanlar Yönteminin Tarihçesi
• İlk kez 1940’lı yıllarda inşaat mühendisliğinde çubuk ve
kiriş elemanlar için kullanıldı.
• 1950’li yıllarda uçak sanayiinde kullanılmaya başlandı.
• İlk kez 1956’da Turner ve arkadaşları tarafından
doğrudan direngenlik yöntemi ile kafes elemanlar, kiriş
elemanlar, ve iki-boyutlu üçgen ve dörtgen düzlem
elemanlar kullanılmaya başlandı.
Giriş
• Sonlu eleman ifadesi ilk kez Clough tarafından 1960
yılında kullanıldı.
• Bilgisayarların gelişmesi (*) ile birlikte bu konuda
çalışanların sayısı ve yöntemin kullanımı artmaya
başladı; sürekli geliştirilmeye devam edilmektedir.
13/75
Sonlu Elemanlar Yönteminin Kullanımı
• Sonlu Elemanlar Yöntemi günümüzde neredeyse
mühendisliğin tüm alanlarında kullanılmaktadır:
• Mekanik problemleri (statik/dinamik, lineer/nonlineer)
• Akışkanlar mekaniği
• Uzay ve uçak mühendisliği
• Otomotiv mühendisliği
• Isı transferi
• İnşaat mühendisliği
Giriş
• Elektrik mühendisliği, elektromanyetik
• ………
14/75
Sonlu Elemanlar Yönteminin Özellikleri
• Sonlu elemanlar analizi fiziksel bir sistemin matematik olarak ifade
edilmesidir.
• Sistem malzeme özelliklerine ve uygulanabilir sınır şartlarına sahip olup
alt parçalara ayrılmaktadır.
• Bu parçalara ait matris denklemler oluşturulmakta ve matrisler
bilgisayarla çözülmektedir.
• Düzensiz ve çok karmaşık geometriye sahip sistemlerin incelenmesine
olanak sağlar. (CAD/CAM uygulamalarına kolayca entegre edilebilir.)
Giriş
• Değişik ve karmaşık malzeme özellikleri olan sistemlere uygulanabilir.
Örneğin, heterojen, anizotropik, nonlineer malzemeler, vb.
• Karışık ve süreksiz sınır şartlarının, düzensiz yükleme durumlarının,
süreksiz ve tekil yüklerin, vb. nin sisteme uygulanması mümkündür.
15/75
Giriş
Yaygın olarak kullanılan SEM yazılımları
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ANSYS
ABAQUS
ADINA
COMSOL Multiphysics
FEFLOW
JMAG
LS-DYNA
LUSAS
NASTRAN
SAP2000
…
16/75
Giriş
Sonlu Eleman Nedir ?
17/75
Giriş
Analiz için Modelleme İşlemi
Giriş
18/75
19/75
Hiyerarşik modelleme
• Doğayı, daha yüksek bir hassasiyetle simule etmek
için gittikçe daha karmaşık modelleri kullanmak
demektir.
Giriş
Gittikçe
daha
karmaşık
modeller
Kabuller:
Yay, çubuk, kafes eleman
Kiriş, mil
2-B katı eleman
Plak
Kabuk
Tamamen üç boyutlu
Dinamik etkiler
Nonlineer etkiler
DOĞA
20/75
Matematiksel model: Düzlem Gerilme
Giriş
Elle çözümü zor !
21/75
Mühendislik Tasarımı
Giriş
PREPROCESSING
1. Bir geometrik model oluşturun
2. Sonlu eleman modelini geliştirin
Katı model
Sonlu eleman modeli
22/75
Mühendislik Tasarımı
FEM analysis scheme
Giriş
Step 1: Divide the problem domain into non
overlapping regions (“elements”) connected to
each other through special points (“nodes”)
Sonlu eleman modeli
23/75
Mühendislik Tasarımı
FEM analysis scheme
Step 2: Describe the behavior of each element
Giriş
Step 3: Describe the behavior of the entire body by
putting together the behavior of each of the
elements (this is a process known as “assembly”)
24/75
Mühendislik Tasarımı
POSTPROCESSING
Giriş
Compute moment at section AA
25/75
Mühendislik Tasarımı
Preprocessing
Step 1
Analysis
Step 2
Step 3
Giriş
Postprocessing
26/75
Mühendislik Tasarımı
Giriş
1. The selection of the mathematical model
depends on the response to be
predicted.
2. The most effective mathematical model
is the one that delivers the answers to
the questions in reliable manner with
least effort.
3. The numerical solution is only as
accurate as the mathematical model.
27/75
SEM’in kritik değerlendirmesi
Güvenilirlik:
For a well-posed mathematical problem the numerical technique should
always, for a reasonable discretization, give a reasonable solution
which must converge to the accurate solution as the discretization is
refined.
Sağlamlık:
The performance of the numerical method should not be unduly
sensitive to the material data, the boundary conditions, and the loading
conditions used.
Giriş
Verimlilik:
28/75
Örnekler
Giriş
Boeing 777
Kaynak: Boeing Web site (http://www.boeing.com/companyoffices/gallery/images/commercial/).
28
29/75
Örnekler
Uçaklarda drag force (sürüklenme kuvveti) analizi
Giriş
• Soru
Uçak üzerinde sürüklenme kuvveti dağılımı nasıldır?
• Çözüm
– Navier-Stokes Kısmi Diferansiyel Denklemleri
• Son Gelişmeler:
– Multigrid Methods for Unstructured Grids
30/75
Giriş
Örnekler
San Francisco Oakland Bay Köprüsü
Köprüyü sismik
yükler altında
analiz etmek için
hazırlanan sonlu
eleman modeli
31/75
Örnekler
Motor Termal Analizi
Picture from
http://www.adina.com
•
Giriş
•
Soru
– Motor bloğunda sıcaklık dağılımı nasıldır?
Çözüm
– Poisson Kısmi Diferansiyel Denklemi.
• Son Gelişmeler
- Fast Integral Equation Solvers, Monte-Carlo Methods
32/75
Örnekler
Mikromotor Cihazı Performans Analizi
From www.memscap.com
• Denklemler
– Elastomechanics, Electrostatics, Stokes Flow.
Giriş
• Recent Developments
– Fast Integral Equation Solvers, Matrix-Implicit Multi-level Newton
Methods for coupled domain problems.
32
33/75
Giriş
Akciğer Kanserinde Radyasyon Tedavisi
http://www.simulia.com/academics/research_lung.html
34/75
Örnekler
Giriş
• 2010 Toyota Yaris Sonlu Eleman Modeli
34
35/75
Giriş
Lineer Cebir – Genel Tekrar
Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
What is a matrix? (Matris nedir?)
A rectangular array of numbers (we will concentrate on
real numbers). A nxm matrix has ‘n’ rows and ‘m’
columns
 M 11 M 12 M 13 M 14  First row
M 3x4

 M 21 M 22
M 31 M 32
M 23
M 33

M 24 
M 34 
Second row
Third row
First Second Third Fourth
column column column column
M 12
Row number (Satır sayısı)
Column number (Sütun sayısı)
What is a vector?
A vector is an array of ‘n’ numbers
A row vector of length ‘n’ is a 1xn matrix
a 1
a2
a3
a4
A column vector of length ‘m’ is a mx1 matrix
a1
a 
 2

a3 

Linear System of Algebraic Equations
Solution Techniques for Linear
Systems of Equations
• Gauss elimination methods
• Iterative methods
Special matrices (Özel Matrisler)
Zero (Sıfır) matrix : A matrix all of whose entries are zero
03x 4
0 0 0 0 
 0 0 0 0 
0 0 0 0 
Identity (Birim) matrix: A square matrix which has ‘1’ s on
the diagonal and zeros everywhere else.
I3x 3
1 0 0 


 0 1 0
0 0 1 
Matrix operations
Equality of matrices
(Matrislerin eşitliği)
If A and B are two matrices of the same size,
then they are “equal” if each and every entry of one
matrix equals the corresponding entry of the other.
 1 2 4


A   3 0 7 
 9 1 5 
a  1,
a b c 


B  d e f 
 g h i 
b  2, c  4,
A  B  d  3,
e  0,
f  7,
g  9,
h  1,
i  5.
Matrix operations
Addition of two matrices
(İki matrisin toplanması)
If A and B are two matrices of the same size,
then the sum of the matrices is a matrix C=A+B whose
entries are the sums of the corresponding entries of A and
B
 1 2 4
  1 3 10 




A   3 0 7 B   3 1 0 
 9 1 5
 1 0 6 
 0 5 14 


C  A  B   6 1 7 
 10 1 11 
Addition of of matrices
Matrix operations
Properties
Properties of matrix addition:
1. Matrix addition is commutative (order of
addition does not matter)
A B  B  A
2. Matrix addition is associative
A  B  C    A  B   C
3. Addition of the zero matrix
A  0  0  A  A
Matrix operations
Multiplication by a
scalar
If A is a matrix and c is a scalar, then the product cA is a
matrix whose entries are obtained by multiplying each of
the entries of A by c
1

A   3
 9
 3

cA    9
 27
2 4

0 7 c  3
1 5
6 12 

0 21
3 15 
Multiplication by a scalar
(Bir skaler ile çarpım)
Matrix operations
Special case
If A is a matrix and c =-1 is a scalar, then the product
(-1)A =-A is a matrix whose entries are obtained by
multiplying each of the entries of A by -1
 1 2 4


A    3 0 7
 9 1 5
1

cA  -A   3
  9
c  1
2
0
1
 4

 7
 5
Matrix operations
Subtraction
(Çıkarma)
If A and B are two square matrices of the same
size, then A-B is defined as the sum A+(-1)B
 1 2 4
  1 3 10 




A   3 0 7 B    3 1 0 
 9 1 5
 1 0 6 
 2  1  6


C  A  B  0  1 7 
8 1  1
Note that A - A  0 and 0 - A  -A
Special
operations
Transpose
(Devrik)
If A is a mxn matrix, then the transpose of A is
the nxm matrix whose first column is the first
row of A, whose second column is the second
column of A and so on.
 1 2

A   3 0
 9 1
4

7
5 
1

T
 A  2
 4
 3 9

0 1
7 5 
Special
operations
Transpose
(Devrik)
If A is a square matrix (mxm), it is called
symmetric if
A  A
T
Matrix operations
Scalar (dot) product of two vectors
İki vektörün skaler çarpımı
If a and b are two vectors of the same size
 a1 
 b1 




a   a 2 ; b  b 2 
 a 3 
b 3 
The scalar (dot) product of a and b is a scalar
obtained by adding the products of
corresponding entries of the two vectors
a b   a 1b 1  a 2 b 2  a 3b 3 
T
Matrix operations
Matrix multiplication
(Matris çarpımı)
For a product to be defined, the number of columns
of A must be equal to the number of rows of B.
A
mxr
B
rxn
inside
outside
=
AB
mxn
Matrix operations
Matrix multiplication
(Matris çarpımı)
If A is a mxr matrix and B is a rxn matrix, then the
product C=AB is a mxn matrix whose entries are
obtained as follows. The entry corresponding to row ‘i’
and column ‘j’ of C is the dot product of the vectors
formed by the row ‘i’ of A and column ‘j’ of B
 1 2 4
 1 3 
A 3x3   3 0 7  B3x2   3 1 
 9 1 5 
 1 0 
C 3x2
 3
 AB   10
 7
5 
 1
9  notice  2 
 4 
28 
T
 1
 3   3


 1 
Matrix operations
Multiplication of
matrices
Properties
Properties of matrix multiplication:
1. Matrix multiplication is noncommutative
(order of addition does matter)
A B  B A in g e n e ra l
 It may be that the product AB exists but BA
does not (e.g. in the previous example
C=AB is a 3x2 matrix, but BA does not
exist)
 Even if the product exists, the products AB
and BA are not generally the same
Matrix operations
Multiplication of matrices
(Matrislerin çarpımı)
Özellikler
2. Matrix multiplication is associative
A B C    A B C
3. Distributive law
A B  C   AB  AC
B  C A  BA  CA
4. Multiplication by identity matrix
A I  A ; IA  A
5. Multiplication by zero matrix A 0  0 ; 0 A  0
T
T
T
6.
A B 
B A
Matrix operations
Miscellaneous
properties
1. If A , B and C are square matrices of the
same size, and A  0 then A B  A C
does not necessarily mean that B  C
2. A B  0 does not necessarily imply that
either A or B is zero
Inverse of a matrix
(Bir matrisin tersi)
Definition (Tanım)
If A is any square matrix and B is another
square matrix satisfying the conditions
AB  BA  I
Then
(a)The matrix A is called invertible, and
(b) the matrix B is the inverse of A and is
denoted as A-1.
The inverse of a matrix is unique
Inverse of a matrix
(Bir matrisin tersi)
Uniqueness (Teklik)
The inverse of a matrix is unique
Assume that B and C both are inverses of A
AB  BA  I
AC  CA  I
(BA)C  IC  C
B(AC)  BI  B
BC
Hence a matrix cannot have two or more
inverses.
Inverse of a matrix
(Bir matrisin tersi)
Some properties
Property 1: If A is any invertible square
matrix the inverse of its inverse is the matrix A
itself
-1  1
A 
 A
Property 2: If A is any invertible square
matrix and k is any scalar then
k A 
1
1 -1
 A
k
Inverse of a matrix
(Bir matrisin tersi)
Properties
Property 3: If A and B are invertible square
matrices then
1
1
-1
(AB) AB 
1
A B 
I
B A
Premultiplying both sides by A-1
A (AB) AB   A 1
1
-1
A ABAB 
1
-1
 A 1
BAB   A 1
1
Premultiplying both sides by B -1
AB 1  B 1A 1
What is a determinant? (Determinant nedir?)
The determinant of a square matrix is a number
obtained in a specific manner from the matrix.
For a 1x1 matrix:
A  a 1 1  ; d e t ( A )  a 1 1
For a 2x2 matrix:
a11 a12 
A
; det( A )  a 1 1a 2 2  a 1 2 a 2 1

a 21 a 22 
Product along red arrow minus product along blue arrow
Example
Consider the matrix
1 3 
A

5
7


Notice (1) A matrix is an array of numbers
(2) A matrix is enclosed by square brackets
det( A ) 
1 3
5 7
 1  7  3  5  8
Notice (1) The determinant of a matrix is a number
(2) The symbol for the determinant of a matrix is
a pair of parallel lines
Computation of larger matrices is more difficult
Duplicate column method for 3x3 matrix
For ONLY a 3x3 matrix write down the first two
columns after the third column
 a 11 a 12
A   a 21 a 22
 a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
 a11 a12
a
 21 a 22
a 31 a 32
a13  a11 a12

a 23  a 21 a 22
a 33  a 31 a 32
Sum of products along red arrow
minus sum of products along blue arrow
det( A )  a 1 1a 2 2 a 3 3  a 1 2 a 2 3a 3 1  a 1 3a 2 1a 3 2
 a 1 3 a 2 2 a 3 1  a 1 1a 2 3 a 3 2  a 1 2 a 2 1a 3 3
This technique works only for 3x3 matrices
Example
2 4 - 3
A  1 0 4

 2 - 1 2




2
1

 2
0 -8
 3 2

0
4 1

 1 2  2
1
0
32
4
8
4
0
3
Sum of red terms = 0 + 32 + 3 = 35
Sum of blue terms = 0 – 8 + 8 = 0
Determinant of matrix A= det(A) = 35 – 0 = 35
Finding determinant using inspection
Special case. If two rows or two columns are proportional
(i.e. multiples of each other), then the determinant of the
matrix is zero
2
7
8
3
2
4 0
2 7 8
because rows 1 and 3 are proportional to each other
If the determinant of a matrix is zero, it is called a
singular matrix
Eğer bir matrisin determinantı sıfır ise, o matrise tekil
matris denir.
Cofactor method
What is a cofactor?
If A is a square matrix
 a 11 a 12
A   a 21 a 22
 a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
The minor, Mij, of entry aij is the determinant of the submatrix
that remains after the ith row and jth column are deleted from A.
The cofactor of entry aij is Cij=(-1)(i+j) Mij
M 12
a 21 a 23
a 21 a 23

 a 2 1a 3 3  a 2 3a 3 1 C 12   M 12  
a 31 a 33
a 31 a 33
What is a cofactor?
Sign of cofactor










-
Find the minor and cofactor of a33
2 4 - 3
A  1 0 4

 2 - 1 2




Minor
M 33 
2
4
1
0
 2  0  4  1  4
Cofactor C  (  1 ) ( 3  3 ) M
33
33  M 33   4
Cofactor method of obtaining the determinant of a matrix
Matrisin determinantının kofaktör yöntemiyle bulunması
The determinant of a n x n matrix A can be computed by
multiplying ALL the entries in ANY row (or column) by
their cofactors and adding the resulting products. That is,
for each 1  i  n and 1  j  n
Cofactor expansion along the jth column
d e t ( A )  a 1 jC 1 j  a 2 jC
2j
   a n jC n j
Cofactor expansion along the ith row
d e t ( A )  a i 1C i 1  a i 2 C
i2
   a in C in
Example : evaluate
1
det(A)= 1
5 -3
0
2
3 -1 2
By a cofactor along the third column
det(A)=a13C13 +a23C23+a33C33
4 1
-3*
(-1)
det(A)=
3
0
-1
+2*(-1)5
1
5
3
-1
= det(A)= -3(-1-0)+2(-1)5(-1-15)+2(0-5)=25
+2*(-1)6
1
5
1
0
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 1
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 2
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 3
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 4
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 5
Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 6
Finding Inverse of a 3x3 Matrix – Gauss Elimination Method
Quadratic form
The scalar
U  d k d
T
d  v ector
k  square m atrix
is known as a quadratic form
If U>0: Matrix k is known as positive definite
If U≥0: Matrix k is known as positive semidefinite
Quadratic form
Let
Then
 d1 
 k 11
d  k
d 2 
 k 21
k 12 

k 22 
Symmetric
matrix
 k11 k12   d 1 
U  d k d  d 1 d 2 
 

 k12 k 22  d 2 
 k11d 1  k12 d 2 
 d 1 d 2 

k12 d 1  k 22 d 2 
T
 d 1 ( k11d 1  k12 d 2 )  d 2 ( k12 d 1  k 22 d 2 )
 k11d 1  2k12 d 1 d 2  k 22 d 2
2
2
Differentiation of quadratic form
Differentiate U wrt d1
U
 2 k11d 1  2 k12 d 2
d 1
Differentiate U wrt d2
U
 2 k12 d 1  2 k 22 d 2
d 2
Differentiation of quadratic form
Hence
 U 
 k11
U  d 1 

 2

 d  U 
 k12
 d 2 
2k d
k12   d 1 
 

k 22  d 2 
79/75
Giriş
Types of Finite Elements
80/75
Haftaya görüşürüz 
Haftaya
QUIZ: Lineer Cebir Tekrarı
(3x3 matrisin tersinin bulunması)
Giriş
Konu: YAY ELEMAN

similar documents