Resposta no Tempo de SLITs Causais

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Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Teoremas do valor inicial e do valor final
Sistema de 1ª ordem sem zeros
Sistema de 2ª ordem sem zeros
Sistema sub-amortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema sobre-amortecido
Influência de um zero na resposta do sistema de 2ª ordem
criticamente amortecido
Sistemas de ordem superior
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Teoremas do
Inicial
e do Valor
Final
Resposta
noValor
Tempo
de SLITs
Causais
x t 
y t 
H s 
Dados x t  , H  s  e as condições
iniciais, calcular y t  .
Entradas típicas
 Impulso de Dirac: t 

TL  t   1
 Escalão unitário: u 1 t 

TL u 1 t  
 Rampa unitária: tu 1 t 

 Parábola unitária:
1
2
 Sinusoide:
Isabel Lourtie
t u  1 t  
2
sin  t 
TL tu 1 t  
1
s
1
s
2
1
1 2

TL  t u 1 t   3
2
 s
resposta em frequência
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
x t 
H s 
y t 
H s  
c.i.=0
1
s  3s  2
condições
2
;
iniciais
x t   u 1 t ;
: y 0 , y 0 
Sistema inicialmente em repouso y 0 , y 0 , y0  , y  n 1  0   0
Y s   H s  X s 
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
y t   TL
1
Y  s 
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Dados:
x t 
H s 
y t 
H s  
c.i.=0
Condições iniciais não nulas
Y s   H s  X s 
c.i.  0
  
c.i.  0
  
Isabel Lourtie
1
s  3s  2
2
condições
equação diferencia
Y s 


x t   u 1 t ;
: y 0 , y 0 
iniciais
y 0 , y 0 , y0  , y
;
 n 1 
0   0
l
y t   TL
1
Y  s 
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Dados:
x t 
y t 
H s 
H s  
1
s  3s  2
condições
Y s   H s  X s 
Y s  
1
s  3s  2
2
c.i.  0


X s 
d y t 
2
dt
Isabel Lourtie
2
3
2
iniciais
equação diferencia
;
x t   u 1 t ;
: y 0   1, y 0   0
l
s Y  s   3 sY  s   2Y  s   X  s 
2
dy t 
dt
 2 y t   x t 
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Dados:
x t 
y t 
H s 
H s  
1
s  3s  2
2
condições
equação diferencia
d y t 
2
dt
2
3
dy t 
dt
l
c.i.  0


iniciais
;
x t   u 1 t ;
: y 0   1, y 0   0
Y s 
 2 y t   x t 
Resposta devido
às condições
iniciais não nulas
s Y s   sy 0   y 0   3sY s   y 0   2Y s   X s 
2
resposta ao sinal de
entrada com condições
iniciais nulas
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Y s  
1
s  3s  2
2
X s  
 s  3  y 0   y 0 
s  3s  2
2
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Dados:
x t 
y t 
H s 
H s  
1
s  3s  2
2
condições
Y s 


Y s  
1
Y s  
y t   TL
X s  
s  3s  2
2
s  3s  1
2
s
2

 3s  2 s

s  3s  2
2

1
s 1

regime estacionário
Isabel Lourtie
: y 0   1, y 0   0
Y  s 
 s  3  y 0   y 0 
1/ 2
s
-1
iniciais
x t   u 1 t ;
;

1
1
s  3s  2 s
2

s3
s  3s  2
2
1/ 2
regime transitório
s2
y t  
 t 1 2t 
u  1 t    e  e  u  1 t 
2
2


1
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X s  
1
Y s   H s 
H s 
s
1
s
Qual o valor final da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Final
lim y t   lim sY  s 
t 
lim y t   lim sH  s 
t 
s 0
Forma das constantes de tempo
H s   K 0
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1  sT 1 1  sT 2  1  sT M 
1  s  1 1  s  2  1  s  N 
s 0
1
s
 lim H  s   K 0
s 0
A resposta estacionária do SLIT à
entrada escalão unitário é um
escalão de amplitude igual ao
ganho estático K 0 .
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X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
1
s
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da resposta no tempo do sistema ao
sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
lim  y t   lim sY  s 
t0
s 
Forma factorizada
H s   K
Isabel Lourtie
 s  z1  s  z 2   s  z M 
 s  p1  s  p 2   s  p N 
lim  y t   lim sH  s 
t 0
s 
1
s
 lim H  s 
s 
K

0
;
N M
;
N M
Quando o número de polos é
igual ao número de zeros, a
resposta ao escalão é descontínua
na origem.
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X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
1
s
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da derivada da resposta no tempo do
sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
lim  y t   lim s TL  y t 
t0
s 

t 0
s 
1

 
 lim s  sH  s   y 0 
s 
s


 

 lim s H  s   y 0
s 
Isabel Lourtie


lim  y t   lim s sY  s   y 0 


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Exemplo
H s  
X s  
1  as
y t 
b  as
1
1
s
y      lim H  s  
s 0
y 0

  lim
 
s 
1 b
1
b
0
H s   1

s 
a b  1 
t
   1  b


y 0  lim s H  s   y 0
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b 1
a
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Exemplo
H s  
X s  
s
 s  1 2
1
s
y      lim H  s   0
s 0
y 0

  lim
s 
H s   0




y 0   lim s H  s   y 0   1
s 
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Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
X s  
1
H s 
s
Y s   H s 
ganho estático
unitário
H s  
1
s
1
1  sT

1/T
s 1/T
Regime estacionário
Y s  
1/T
1
s 1/T s

1

s
1
y t   u 1 t   e
s 1/T
u 1 t 
Regime transitório
y t 
Im  s 
t /T
1
0
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86.5%
Re  s 
63.2%
1/T
T
95.0%
declive 1 / T
2T
3T
t
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Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
Im  s 
y t 
Re  s 
1/T
1
y 0  
1 / T aumenta
1
T
0
t s 1 %   4 . 6T
t
tempo de estabelecimento, t s , é o intervalo de tempo
necessário para que a resposta do SLIT atinja e se
mantenha numa vizinhança previamente especificada do
valor final da resposta.
t s  2 %   4T
t s (5%):
y t s   y      0 . 05 y    
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1 e
 ts / T
 1  0 . 05
e
 ts / T
 0 . 05
t s 5 %   3T
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s 
H s 
Y s 
H s  
 n - frequência natural
n
2
s  2 n s   n
2
2
 - coeficiente de
amortecimento
ganho estático unitário
Im  s 
Polos:
s  2  n s   n  0
2
0  1
2

s    n   n   1
s    n  j  n 1  
 1
2
Re  s 
  n
 j n 1  
Sistema sobre-amortecido
Polos reais distintos
2
  arcsin 
 1
 n
j n
j n 1  
n
Sistema criticamente amortecido
Polo real duplo s    n
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 
Sistema sub-amortecido
Polos complexos
conjugados
 1
 0
2
 0
2
 j n
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
1
H s 
s
Y s   H s 
0  
Sistema subamortecido
Y s  
n
2
s  2 n s  
2

y t   1 

1
1
a  n 1 
Isabel Lourtie
2
e
2

2
n
2
H s  
1
s  2 n s   n
2
s
 1
j n
1
j n 1  
2
n

sin  a t    u 1 t 

  arctan
2
Im  s 
s
  n t
n
1

2
 n
  n
Re  s 
 j n 1  
2
 j n
DEEC/IST
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros

y t   1 

1
1
e
  n t
2
0  
a  n 1 

sin  a t    u 1 t 

  arctan
parte real dos polos
1
2

j n
Ta
y t 
2
Im  s 
parte imaginária dos polos
ganho estático unitário
 1
j a
n
S
 n
1
  n
Re  s 
 5%
 j a
0
Isabel Lourtie
tr
tp
ts
t
 j n
DEEC/IST
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros

y t   1 

1
e
1
  n t
2

sin  a t    u 1 t 

0  
 1
y t 
1
a  n 1  ;
1
  arctan
2
2

0
Máximos e mínimos:
dy t 
0

dt
t
n

a
Isabel Lourtie
tp 
n 1 
Ta 
Período das oscilações:
Tempo de pico:
n

a

Ta
2
a
;
t
tr
n  0 ,1, 2 , 
2
Tempo de crescimento (0% a 100%):
y t r   1

tr 
 
a
2
DEEC/IST
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros

y t   1 

1
1
e
  n t
2
a  n 1  ;

sin  a t    u 1 t 

  arctan
2
1
y  
 0 . 05
S %   100
Isabel Lourtie
y  
y t 
 5%
S
1

0
1
1
e
2
  n t
sin  a t     0 . 05

 100 e
t
ts
t s 5 %  
t s 2 %  
Sobre-elevação:
y t p   y  
 1
2
Tempo de estabelecimento a 5%:
y t   y   
0  
3
 n
4
 n

1 
2
t s 1 %  
4 .6
 n
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0  
 1
 n constante
Isabel Lourtie
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0  
 1
 constante
Isabel Lourtie
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0  
 1
 n constante
Isabel Lourtie
DEEC/IST
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
1
H s 
s
Y s   H s 
Sistema criticamente amortecido 
Y s  
n
2
s  2 n s  
2
2
n

1
s
n
s   n 
2
H s  
s
2
s  2 n s   n
2
2
 1
2

1
n

1
s

y t   1  1   n t e
 nt
u
1
t 
Im  s 
 n
Isabel Lourtie
Re  s 
DEEC/IST
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
1
H s 
s
Y s   H s 
Sistema sobre-amortecido 
Y s  
s 
p1 p 2

 p1
s
y t 
Re  s 
s  2 n s   n
2
2

p2
p1
 p1t
 p 2t 

 u  1 t 
y t    1 
e

e

p 2  p1
p 2  p1


p1  s  p 2  s
 n
 p2
H s  
2
 1
1
Im  s 
1
n
p 1 fixo
1
Polos:  p 1    n   n  2  1
p 2 aumenta
 p 2    n   n   1
2
0
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t
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Resposta no Tempo
Influência de um Zero no Sistema de 2ª
Ordem Criticamente Amortecido
H s  
0  n  a
a
0  a  n

 n
Isabel Lourtie
 n s  a 
2
a s   n 
2
Im  s 

 n
Re  s 
Im  s 
a
Re  s 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Influência de um Zero no Sistema de 2ª
Ordem Criticamente Amortecido
Im  s 
n
H s  
 n s  a 
2
a s   n 
2
2
y ( 0 ) 
0
a

 n
a
Re  s 
Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um polo ou um zero
no semi-plano complexo direito.
Isabel Lourtie
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Resposta no Tempo
Sistemas de Ordem Superior
H s   K
polos distintos
p1  p 2    p n
 s  z1  s  z 2   s  z m 
 s  p1  s  p 2   s  p n 
resíduo associado
ao polo s   p i
ganho estático
Y s   H s 
1
s

K0
s
n


i 1
ai
s  pi
y t   K 0 u  1  t  
n

aie
 pit
u  1 t 
i 1
Polos não dominantes
 Se  i , k : p i  z k  a i  0 , a contribuição do polo para o regime transitório é
muito pequena.
 Se  i : p i  p k  k  i , a contribuição do polo para o regime transitório decai
muito rapidamente
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Sistemas de Ordem Superior
Exemplo
Im  s 
H s  

5000 s  2 s  100
2
 s  10  s  100  s
2

 2 . 1s  100




 10
 100
?
H aprox  s  
K
 s  10 
Re  s 
1

 j10
polo muito mais
distante do eixo
polos/zeros
muito próximos
y t 
mesmo ganho estático
6
lim H  s   lim H aprox  s 
s 0
j10
aproximado
s 0
3
K  50
H aprox  s  
50
original
 s  10 
0
Isabel Lourtie
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DEEC/IST

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