Modélisation des maladies transmissibles

Report
Séminaire sur les maladies transmissibles
Journée DES du 3 octobre 2011
Caroline Savalle
Nicolas Griffon
Définition
 Modéliser, c’est convertir un problème concret, issu du
monde réel, en termes de nature mathématiques
 Pour lui appliquer les outils, les techniques et les théories
mathématiques…
 Et trouver des solutions concrètes !
 Nécessité d’alimenter le modèle :
 Observations
 Hypothèses
2
Différents types de modèles
Naissance
ν
τ: immunité temporaire
γ : vaccination
x Susceptibles
δ1
α
y Infectés
δ2
β
z Retirés
δ3
Mort
3
Le modèle SIR
x Susceptibles
α
y Infectés
β
z Retirés
 α le taux d’infection
 Β le taux de retrait
 x (t  t )  x (t )    x (t )  y (t )

 y (t  t )  y (t )    x (t )  y (t )    y (t )
 z (t  t )  z (t )    y (t )

4
Situation épidémique
 Une épidémie suppose une augmentation du nombre
de personnes infectées :
  x (t )  y (t )    y (t )
   x (t )  

  x (t )

1
Théorème de seuil
5
Taux de reproduction
R (t ) 
  x (t )

 C’est le nombre de cas secondaires
directement infectés par une
unique personne infectieuse,
R0 
N

placée dans une population
totalement susceptible à la maladie.
6
Enrayer une épidémie
 Augmenter β :
 Traiter les cas
 Diminuer α :
 Port de masque
 Lavage des mains
 Diminuer x(t)
 Vacciner la population :
CV  1 
1
R0
7
Exemples empiriques
Maladie
Grippe
SRAS
Rougeole
Variole
Chikungunya
Ebola
R0
1,5-2,5
2-3
15-20
4-5
3-5
3-4
Couverture vaccinale
d’enrayement
33%-60%
50%-67%
93%-95%
75%-80%
67%-80%
67%-75%
8
Intervalle intergénérationnel
 Durée D entre la survenue
d’un cas index et la survenue
des cas fils
 Estimation de l’incidence :
I  R0
t/D
D D D D
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Exemples empiriques
Maladie
Grippe
Rougeole
SRAS
Variole
Chikungunya
Ebola
R0
1,5-2,5
15-20
2-3
4-5
3-5
3-4
Intervalle
intergénérationnel
(jours)
2-4
15
10
20
10-15
8-10
10
EXEMPLES
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Exemple 1 : Bernouilli et la variole
Tenter de savoir si
l'inoculation de la maladie
présente plus d'avantages
que de risques pour la
population sujette à cette
épidémie.
12
Étape 1 : retenir les hypothèses
« Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite vérole, pour
ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir satisfaire aux notions
générales que nous avons sur cette maladie, qu’en la supposant
d’un huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant »
« Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui
en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je l’ai un peu
diminué, en le faisant d’un huitième »
...
1313
Étape 2 : mettre en équations
 Modèle SIR avec mortalité
1

x
( t  1)  x ( t ) 

x
(t )  m (t )  x (t )

8

 N ( t  1)  N ( t )  1  1  x ( t )  m ( t )  x ( t )

8 8
1414
Étape 3 : résoudre les équations
 Laissons faire les mathématiciens...
1515
Étape 4 : analyser les résultats et la
validité de la modélisation
 Impact de l’éradication de la maladie :
 4 années d'espérance de vie supplémentaires
« … je me suis attaché surtout, à exposer dans une même Table les
deux états de l’humanité, l’un tel qu’il est effectivement, et l’autre
tel qu’il serait si on pouvait affranchir de la petite vérole tout le
genre humain. J’ai pensé que le parallèle de ces deux états en
expliquerait mieux la différence et le contraste, que ne ferait le plus
ample commentaire… »
 Plaidoyer pour la variolisation
 Risque individuel et bénéfice collectif
1616
Exemple 2 : Ross et le paludisme
 2 camps s’affrontent :
 Éradiquer les moustiques  éradiquer le palu
 Éradiquer les moustiques  éradiquer le palu
 R Ross modélise le paludisme pour étayer sa théorie
1717
Étape 1 : formulation d'hypothèses
 Modèle SI double
1818
Étape 2 : mise en équation
1919
Étape 4 : conclusions
 Théorème du moustique de Ross : Réduction de la
population de moustiques pour combattre le
paludisme
 Éradication des moustiques non nécessaire
 Diminuer le R0
 R0 dépend de beaucoup d'autres facteurs que le nombre
de moustique
 Lutte anti-vectorielle et disparition du paludisme
dans certaines régions
2020
2121
Bibliographie
 http://lertim.timone.univ-
mrs.fr/Ecoles/infoSante/2007/supports_ppt/lundi%2016%20juill
et/Flahault_Corte_0707.pdf
 http://mbb.univ-montp2.fr/MBB/uploads/sallet.pdf
 Boelle PY. La modélisation des épidémies de maladies
émergentes : les exemples du chikungunya et de la pandémie
grippale. Responsabilité & Environnement. 2008(07);51:49-55
 Dartois Y. Modélisation des épidémies. IREM
 « Un exemple de modélisation » par Annette Leroy
2222

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