Pierre Badel

Report
Centre Ingénierie et Santé
LCG - UMR CNRS 5146
Pierre BADEL
Bases de MMC
Introduction
I – Introduction
 Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
2
Pierre BADEL - EMSE
Introduction
I – Introduction
Solide rigide
 Exemple introductif : solide rigide
• Description du mouvement
• Description des actions mécaniques
• Principal fondamental dynamique/statique
3
Pierre BADEL - EMSE
Introduction
I – Introduction
Pierre BADEL - EMSE
Solide rigide
 Repérage d’un solide
y1
y0
• Soient 2 solides S0 et S1 indéformables.
O0
On peut associer un repère R0 et R1 à chacun
( = 1 point + 1 base).
O1
x0
z0
S0
• Relativement à R0 :
uuuur
uur
uur
ur
3 paramètres de positionnement d’1 point : O 0 O 1 = x x 0 + y y 0 + zz 0
3 paramètres de positionnement d’1 base / l’autre : par exemple, les angles d’Euler.
 Description du mouvement
• Variation de position entre 2 configurations.
4
z1
x1
S1
Introduction
I – Introduction
Pierre BADEL - EMSE
Solide rigide
 Description des actions mécaniques sur un solide
• Définition : Action mécanique = toute action pouvant provoquer le mouvement d’un solide
(ou une déformation)
• Classification des actions mécaniques
Actions à distance
Actions de contact (intérieures à la matière = cohésion, ou extérieures)
• Sur un solide rigide, les actions se résument à :
Un effort résultant
Un moment résultant
A
F3
5
R
Fj
F1
F2
MA 
A
r
ïì
R = å
ï
ïï
i
í ur
ï M (A ) =
ï
å
ï
i
îï
r
Fi
ïü
ï
ïï
uur r ý
A Pi Ù Fi ïï
ï
ï
þ
Introduction
I – Introduction
Pierre BADEL - EMSE
Solide rigide
 Principe fondamental
• Statique
• Dynamique
r
ïì R =
ï
= í ur
A
ïM=
ïîï
Un solide est en équilibre statique  {FΣ Σ }
ìï
uuuur
ïì R
ïü ïï
ï
Σ® Σ
ïï = ï
{Fe xt }A = ïí uuuur
ý í
ïM
ï
ï
ïîï Σ ® Σ ( A )ïþ
ï
ï
ï
îï
å
i
r
Fi
ü
ï
ï
i
ïï
uur r ý
A Pi Ù Fi ïï
ï
ï
þ
å
{Fe xt } = {D gΣ }
ïì
ï
ï
ïï
g
D
=
{ Σ }A íï
ï
ï
ïï
î
6
r
0 ïüï
rý
0 ïïþï
ïü
ï
ï
ïï
Σ
ý
uur ur
ï
g
A P Ù Γ (P )d m ïï
ïï
þ
ò
ò
Σ
ur
g
Γ (P )d m
Introduction
I – Introduction
 Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
7
Pierre BADEL - EMSE
Pierre BADEL - EMSE
II – Cinématique des milieux continus solides
1 – Description du mouvement
2 – Mesures de déformation
…
8
II – Cinématique
0 – cadre de travail
Pierre BADEL - EMSE
 Hypothèses et limitations
• Limitation au cas des solides
 Chaque point matériel est identifié par sa position initiale X . Il est « étiqueté ». Il s’agit de la
description lagrangienne.
Pour le cas des fluides, on considère généralement une variable qui désigne une zone de l’espace (où
passent les points matériels). Il s’agit de la description eulérienne.
• Hypothèse de milieu continu
 « Des points voisins restent voisins »
 Leurs propriétés physiques évoluent comparablement
• Référentiel
 Nécessaire pour caractériser positions et déplacements. En l’absence de précision, nous serons
dans le cas simple (le plus courant) du référentiel du laboratoire, lié à l’observateur.
9
Configurations du système
II – Cinématique
1 – Description du mouvement
Pierre BADEL - EMSE
 Notion fondamentale : 2 configurations géométriques du système
n
N
(C0)
(C)
Configuration initiale
Variable lagrangienne :
Configuration actuelle (ou déformée)
X
Variable eulérienne : x
Configurations initiale et déformée sont différentes!
(mais considérées très proches sous l’hypothèse de petites perturbations, HPP)
On peut définir/écrire toute équation/grandeur dans l’une ou l’autre des
configurations
10
Mouvement du solide
II – Cinématique
1 – Description du mouvement
Pierre BADEL - EMSE
 Fonction placement (mapping) : description globale du mouvement du solide
• Fonction qui, à chaque point matériel X de (C0), associe x de (C)
X3
x3
(C0)
(C)
X
O
 
xx X
X1
Fonction placement
x1
r r r
x = x X, t
( )
r
xi = xi X, t
( )
11
x2
X2
Déplacement u
r r
r r
x = X + u X, t
( )
r
x i = X i + ui X , t
( )
Tenseur gradient
II – Cinématique
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1 – Description du mouvement
 Description locale : le tenseur gradient de la transformation (gradient tensor)
(Appelé aussi application linéaire tangente, et parfois, à tort, gradient de la déformation)
• Localement, il définit la transformation d’un vecteur matériel infinitésimal:
X3
(C0)
x3
r
dX
(C)
X2
x2
X1
x1
r
r
r
dx = F X , t . dX
( )
Tenseur gradient F
12
r
dx
r
¶x
F = r
¶X
¶ x i = Fij¶ X j
Fij =
¶ xi
¶ Xj
Tenseur gradient
II – Cinématique
1 – Description du mouvement
Pierre BADEL - EMSE
 Exemples
• Déformation triaxiale
x3
X3
1
x 1 = ...
λ3
λ2
1
x2
X2
1
x 2 = ...
F 
= ...
F 
= ...
x 3 = ...
λ1
x1
X1
• Cisaillement simple
x3
X3
γ
1
x 1 = ...
x 2 = ...
x2
1
1
x1
13
X1
X2
x 3 = ...
Tenseur gradient
II – Cinématique
Pierre BADEL - EMSE
1 – Description du mouvement
 Transformation d’une surface, d’un volume
n
N
r
dx 3
F
r
dX 3
r
dx 1
r
dX 2
r
dx 2
r
dX 1
d V ® d v = d e t (F ) d V = Jd V
r
r
r
- T
N d S ® n d s = J F .N d S
•
14
r
r
r
r
r
r
Preuve: d v = dx 1 Ù dx 2 .dx 3 = F.dX 1 Ù F.dX 2 . F.dX 3 = ...
(
)
(
)
r T r
r T r
d v = dx 3 . n d s = J d V = J dX 3 . N d S = ...
Milieu incompressible
 J=1
Tenseur gradient
II – Cinématique
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1 – Description du mouvement
 Décomposition polaire du tenseur gradient
• Théorème de décomposition polaire:
Le théorème de décomposition polaire stipule que le tenseur gradient peut se décomposer,
multiplicativement, de manière unique:
F = R .U = V .R
- 1
T
•
R est le tenseur de rotation. Il est orthogonal: R
•
U e t V sont les tenseurs des dilatations droit et gauche. Ils sont symétriques et définis positifs.
R
= R
V
F
U
15
R
II – Cinématique
2 – Mesures de déformation
II – Cinématique des milieux continus solides
1 – Description du mouvement
2 – Mesures de déformation
…
16
Pierre BADEL - EMSE
Changement de forme
II – Cinématique
2 – Mesures de déformation
Pierre BADEL - EMSE
 Description des déformations
• Caractérisation des changements de formes/angles  évolution des produits scalaires
r
dU
r
du
F
r
dv
ur
dV
r r
du.dv = ...
r ur
r
r
-1
-1
dU.dV = F .du . F .dv = ...
C = F .F
Tenseur de Cauchy Green gauche B
B = F .F
r
Sens physique : le calcul de u
17
T
Tenseur de Cauchy Green droit C
2
T
Lagrangien
C =U
2
Eulerien
B = V
2
donne l’allongement λ dans cette direction.
« Tenseur des déformations »
II – Cinématique
2 – Mesures de déformation
Pierre BADEL - EMSE
 Mesure de déformation : le tenseur de Green Lagrange
• On caractérise les variations par rapport à la configuration initiale:
r r
r ur
r
ur
du.dv - dU.dV = 2 dU . E . dV
Tenseur des déformations de
Green Lagrange E
E=
Tenseur d’Euler-Almansi A
A =
1
2
(C - I ) =
1
2
(I -
B
- 1
1
2
(F
T
.F - I)
)
• Autres mesures de déformation (en théorie des grandes déformation)
The right and left stretch tensor: U a n d V
Logarithmic strain tensor: ln (U )
…
18
Lagrangien
Eulerien
« Tenseur des déformations »
II – Cinématique
2 – Mesures de déformation
Pierre BADEL - EMSE
 Introduction de l’Hypothèse de Petites Perturbations (HPP)
• En introduisant le champ de déplacement…
ur
ur
ur
x= X+u Þ F=
ur
dx
ur
dX
ur
dX
dX
dX
ur =
ur
du
ur + ur = I+ Ñ u
• Il vient
C = ...
E = ...
ur
HPP
Ñ Xu = 1
ε=
ur
ur
1
Ñ
u
+
Ñ
u
( X
X
2
ur
ur
1
ω = (Ñ X u - Ñ X u
2
19
T
ur
) = Ñ Xu
T
ur
S
) = Ñ Xu A
ε est le tenseur des déformations linéarisé
ω est le tenseur des rotations
Exemples
II – Cinématique
Pierre BADEL - EMSE
2 – Mesures de déformation
• Déformation triaxiale
x3
X3
C 
= ...
U 
E 
= ...
 ln U 
C 
= ...
E 
= ...
= ...
x2
X2
x1
X1
• Cisaillement simple
X3
x3
γ
x2
x1
20
X2
X1
= ...
Course content
Pierre BADEL - EMSE
 Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
21
Pierre BADEL - EMSE
III – Contraintes et lois de conservation
1 – Tenseur des contraintes
2 – Conservation de la quantité de mouvement
22
Effort interne : contrainte sur une surface
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
1 – Tenseur des contraintes
 Introduction : le vecteur contrainte
• Si répartition supposée homogène, point de vue « global »
F
F
(2)
n
Section S
Vecteur contrainte
t
T 
F
S
 σ n  t
contrainte
normale
(1)
(1)
F
contrainte
tangentielle
F
• Si répartition non homogène, point de vue « local », le vecteur contrainte dépend, en fait, de
l’orientation de dS et du point M
dF


T M, n 
n
t
M,dS
n'

T M, n
M,dS

dF
 σ n  t
dS

et T M , n'

F =

S
T (M ,n )d S
n e son t p as in d é p e n d an ts
 Notion d’état de contrainte en un point
23
Tenseur des contraintes de Cauchy
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
1 – Tenseur des contraintes
 Définition de la contrainte (Cauchy)
r
df
r
dF
r
N
r
n
ds
dS0
r
r
df
T =
ds
est le vecteur contrainte
r
r
df = σ .n d s
d fi = σ ij n j d s
Le tenseur des contraintes de Cauchy σ représente la contrainte « vraie ».
Il est eulérien (configuration déformée).
24
Composantes de contrainte
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
1 – Tenseur des contraintes
 Ecriture matriciel du tenseur
• Isolons un prisme de matière autour de M et étudions l’équilibre
M
e2
σ22
τ12
M
θ
n
τ
τ21
θ
σ11
e1
σ
dL
• PFS mène à …
r
r
éσ 11
T M, n = ê
ê 21
ë
(
)
r
 12 ù r
ú. n = σ (M ) . n
σ 22 úû
(écriture dans la base  e i  )
La matrice des contraintes en M définit
complètement l’état de contrainte en M,
quelle que soit la direction n.
Notion de tenseur ≠ matrice…
matrice = projection du tenseur dans une base
25
Composantes de contrainte
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
1 – Tenseur des contraintes
 Ecriture matriciel du tenseur
• Isolons un cube de matière autour de M et étudions l’équilibre des moments
e2
σ22 + dσ22
dL2
-σ11
τ21 + dτ21
M
e1
σ11+ dσ11
-τ21
-σ22
-τ12
dL1
• PFS (moment) mène à …
 12   21
éσ 11
σ (M ) = ê
ê 12
ë
26
M
τ12 + dτ12
 12 ù
ú
σ 22 úû
Contraintes et directions principales
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
1 – Tenseur des contraintes
 Directions principales
• Matrice symétrique donc diagonalisable.
 Valeurs propres réelles, appelées contraintes principales : σI, σII
 Directions propres orthogonales = directions principales, forment une base o.r.n. :
éσ 11
σ (M ) = ê
ê 12
ë
 12 ù
ú
=
σ 22 úû euur ,euur
{ 1 2}
éσ I
ê
ê0
ë
0 ù
ú
σ II úû eur ,euur
{ I II }
• Il n’y pas de cisaillement dans les directions principales, seulement des contraintes normales.
r r ur
ur
T n=e I = σ I e I
(
)
r r ur
ur
T n=e II = σ II e II
(
•
Exemple :
e2
0


τ


0  e ,e
 1 2
)
e2
e II
τ
τ
τ
e1
e1
τ
τ
27


0
eI
τ
τ
0

   e ,e
 I II 
Généralisation en 3D
III– Contraintes
1 – Tenseur des contraintes
Pierre BADEL - EMSE
 En 3D
 σ 11

σ  M  = 1 2

 1 3
 
T e1
1 2
σ 22
23
 
T e2
1 3 

23

σ 3 3 


T M , n  σ  M  .n
 e1 , e2 , e3 
 
T e3
 Quelques exemples d’états de contrainte
• Fluide au repos
• Traction/compression uniaxiale
• …
28
 σI

σ M  =

 sym
0
σ II
0 

0

σ III 
 eI , eII , eIII 
III– Contraintes
2 – Lois de conservation
III – Contraintes et lois de conservation
1 – Tenseur des contraintes
2 – Conservation de la quantité de mouvement
29
Pierre BADEL - EMSE
PFD sur une élément de volume…
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
2 – Lois de conservation
 Conservation de la quantité de mouvement
e2
• Bilan des actions extérieures sur le cube dL1 × dL2 × dL3,
on suppose deux types d’actions :
σ 12 
dL2
σ 13
σ 11
Actions de « contact » par u. de surface : σ
σ 13 
• On écrit masse . accélération = Σ actions ext.
σ 12
 Bilan sur la direction 1 seulement :
e3
æ
ö
¶ σ 11
÷
ρ d v a 1 = ççσ 11 +
d L 1 - σ 11 ÷
d L 2d L 3
÷
÷
çè
¶ x1
ø
æ
ö
¶ σ 12
÷
+ ççσ 12 +
d L 2 - σ 12 ÷
dL dL
÷
çè
÷ 1 3
¶ x2
ø
æ
ö
¶ σ 13
÷
+ ççσ 13 +
d L 3 - σ 13 ÷
dL dL
÷
÷ 1 2
çè
¶ x3
ø
+ ρ dv b1
30
x 2
r
Actions à distance par u. de masse (ex gravité) : b
 Puis sur les autres directions…
σ 12
ρ ai =
¶ σ ij
+ρ bi
¶ xj
r
uur
r
ρ a = d iv (σ )+ ρ b
σ 11 
σ 13
x3
dL3
e1
σ 11
x1
d L1
III– Contraintes
Pierre BADEL - EMSE
2 – Lois de conservation
 Exemple : cube unitaire pesant
r
r
• En statique, le principe fondamental devient… d iv (σ ) + ρb = 0
y
1
g
1
31
x
Course content
Pierre BADEL - EMSE
 Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
32
IV– Elasticité linéaire
IV – Elasticité linéaire
1 – Cas 1D
2 – Elasticité : loi de Hooke
33
Pierre BADEL - EMSE
Modèle de comportement élastique linéaire
(loi de Hooke)
IV– Elasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSE
1 – Cas 1D
 Introduction à la loi de Hooke : module d’Young
Ce modèle décrit une relation linéaire entre contrainte et déformation, observée expérimentalement
sur certains matériaux :
εx =
σx
E est le module d’Young,
E
Unité : Pa
 Introduction à la loi de Hooke : coefficient de Poisson
Déformation longitudinale εx  Déformation transversale εt
Relation linéaire :
ε t = - ν ε x = -ν
σx
ν est le coefficient de Poisson,
E
Sans unité
 Un matériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par :
• Module d’Young E
• Coefficient de Poisson ν
34
Loi de Hooke 3D
IV– Elasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSE
2 – 3D
 Ecriture de la loi de Hooke
On se place dans les axes principaux… Equations linéaires  superpositions de 3 cas 1D.
e3
σ1
σ 1

σ  0

 0
σ2
e2
ε1 =
σ1
-
ν
σ2 -
ν
σ3 =
1+ ν
E
E
E
1+ ν
ν
ε2 =
σ2 tr (σ )
E
E
1+ ν
ν
ε3 =
σ3 tr (σ )
E
E
35
σ2
0
0 

0

σ 3 
σ3
e1
Il vient :
0
Ecriture matricielle
ε =
Ecriture indicielle
ε ij =
1+ ν
E
1+ ν
E
E
σ -
σ1 -
ν
E
σ ij -
ν
E
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) =
tr (σ ) I
ν
E
σ kk δ ij
1+ ν
E
σ1 -
ν
E
tr (σ )
Loi de Hooke avec E,υ
Loi de Hooke 3D : remarques
IV– Elasticité linéaire
2 – 3D
Pierre BADEL - EMSE
 Remarques
• Loi de comportement 3D des solides élastiques isotropes
• Démontrée dans les axes principaux mais rien n’empêche de changer de base
 Valable dans n’importe quelle base
• 2 paramètres E, υ suffisent : comme en 1D, un essai de traction simple suffisant.
• Correspond à un grand nombre de problèmes courants : un grande majorité des solides sont
élastiques à faible contrainte.
• Si contrainte > limite élastique … loi de Hooke fausse.
• Il existe des solides anisotropes (ex : bois) : E, υ dépendent de la direction.
Ce que l’on va voir sous une autre approche, plus générale…
36
Elasticité anisotrope
IV– Elasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSE
2 – 3D
 Elasticité anisotrope, cas général
(
σ ij = C ijklε kl o u σ = C : ε
)
soit 9x9 = 81 coefficients !!
Mais des simplifications… au maximum 21 coeff. indépendants. C’est le cas du plus grand degré
d’anisotropie possible.
 Elasticité, cas isotrope et coefficients de Lamé
On montre qu’il y a 2 coeff. indépendants et que cela mène à :
Forme inverse de la loi de Hooke
ìï
E
ï μ=
ï
ï
2 (1+ υ )
σ = 2μ ε + λtr (ε ) I a ve c ïí
ï
Eυ
ï λ=
ï
ï
(1+ υ )(1-2υ )
ïî
σ ij = 2μ ε ij + λ ε kk δ ij
λ et μ sont les coefficients de
Lamé du matériau
37
-1 < υ < 0.5
Notation vectorielle
IV– Elasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSE
2 – 3D
 Problématique… représenter le tenseur d’élasticité
C
On profite des symétries de σ e t ε pour introduire une nouvelle notation :
Notation de Voigt (ou notation vectorielle)
ïì σ 11 ïü
ï
ï
ï
ï
ï σ 22 ï
ï
ï
ï
ï
ïσ ï
ïï 33 ïï
σ = C : ε d e vie n t í
ý=
ï σ 12 ï
ï
ï
ï
ï
ïσ ï
ï 23 ï
ï
ï
ï
ï
ï σ 31 ï
ïî
ïþ
ìï ε 11 ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï ε 22 ï
ï
ï
ï
ï
ïε ï
ï 33 ï
ïí
ïý =
ï ε 12 ï
ï
ï
ï
ï
ïε ï
ï 23 ï
ï
ï
ï
ï
ï ε 31 ï
ïî
ïþ
38
éλ+ 2μ
ê
ê λ
ê
ê λ
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ëê
é1 E
ê
ê
ê- υ E
ê
ê
ê- υ E
ê
ê
ê
ê
ê
ê
êë
λ
λ
λ+ 2μ
λ
λ
λ+ 2μ
2μ
2μ
-υ E
1 E
-υ E
ùìï ε 11 ü
ï
ï
úïï
úï ε 22 ïï
ï
úïï
ï
úïï ε ïï
ï
úíï 33 ý
úï ε ï
úïï 12 ïï
úï ε ï
úïï 23 ïï
ï
úïï
ï
2μ ûî
úï ε 31 þ
ï
-υ E
-
υ
E
1 E
(1+ υ ) E
(1+ υ ) E
ù
úìï σ 11 ü
ï
ï
úïï
ï
úïï σ 22 ïï
úï
ï
úïï σ 33 ïï
ï
úïí
úï σ ý
ï
úïï 12 ïï
úï σ ï
úïï 23 ïï
úïï σ ïï
(1+ υ ) E úúûïî 31 ïþ
Bibliographie
Pierre BADEL - EMSE
 Interesting references
• [Sidoroff F, Cours sur les « grandes déformations », rapport Gréco 51/1982, http://sitasido.eclyon.fr et http://perso.ec-lyon.fr/francois.sidoroff]
• [Basar Y, Weichert D, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer]
• …
39
Pierre BADEL - EMSE
40
Pierre BADEL - EMSE
41

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