Medidas de Dispersão

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Medidas de dispersão:
• Desvio médio,
• Desvio-padrão
• Variância
Estatística Aplicada
2º Ano – Ensino Subsequente
Prof. André Aparecido da Silva
E-mail: [email protected]
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
INTRODUÇÃO
Há situações em que as medidas de
tendência central - Média, Moda e
Mediana - não são suficientes para
caracterizar uma determinada coleta de
dados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO)
Nesse caso, é conveniente utilizar as
medidas de dispersão: desvio médio,
desvio padrão e variância, pois
expressam o grau de dispersão de um
conjunto de dados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
A média aritmética de um conjunto de
dados numéricos é obtida somando-se
os valores de todos os dados e
dividindo-se essa soma pelo número de
dados apresentados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
Por exemplo: Qual a média aritmética
entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO (MA)
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Para compreendermos melhor
esses conceitos relativos à
Estatística, vamos explicá-los a
partir da seguinte situaçãoproblema:
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SITUAÇÃO-PROBLEMA
Considere a distribuição numérica cujos
resultados constam na lista abaixo:
1, 6, 4, 10, 9
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética dessa distribuição 1,
6, 4, 10, 9 é:
MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5
MA = 30/5
MA = 6
A média aritmética é 6.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA / DESVIO
Chama-se DESVIO de cada valor
apresentado a diferença entre esse
valor e a média aritmética desses
valores.
Na situação anterior, a distribuição é
1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é
6. Portanto, temos:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DESVIO
 desvio do valor 1
1 - 6 = -5
 desvio do valor 6
6-6=0
 desvio do valor 4
4 - 6 = -2
 desvio do valor 10
10 - 6 = 4
 desvio do valor 9
9-6=3
Os desvios, em relação à média, são:
-5, 0, -2, 4 e 3.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
A partir da situação com a
distribuição dos números 1, 6, 4, 10,
9, considerando que a média
aritmética entre eles é igual a 6 e
que os desvios, em relação à
média, são -5, 0, -2, 4 e 3...
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
... vamos definir as medidas de
dispersão: desvio médio, variância
e desvio padrão.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DESVIO MÉDIO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se desvio médio (DM) de uma
distribuição a média aritmética dos
módulos dos desvios.
No exemplo em análise, os desvios
são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio
será:
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Formula desvio médio
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)
5
DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)
5
DM = 14
DM = 2,8
5
O desvio médio é 2,8.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
O módulo garante que o valor
seja positivo.
EX:
a)+3 = 3
b)-3 = 3
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e variância
VARIÂNCIA
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se variância (V) de uma distribuição a média
aritmética dos quadrados dos desvios dessa
distribuição.
Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3,
logo a variância será:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)
.
5
V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)
5
V = 54
V = 10,8
5
A variância é 10,8.
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e variância
DESVIO PADRÃO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se desvio padrão (DP) de uma
distribuição a raiz quadrada da
variância:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
No exemplo em análise, temos que a
variância é 10,8, portanto o desvio
padrão será: DP = 10,8  3,28.
O desvio padrão é  3,28.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
O desvio padrão...
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
OBSERVAÇÕES:
 Quando
todos os valores de uma
distribuição forem iguais, o desvio
padrão será igual a zero;
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
OBSERVAÇÕES:
 Quanto mais próximo de zero
for o desvio padrão, mais
homogênea será a distribuição
dos valores;
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
OBSERVAÇÕES:
 o desvio padrão é expresso na
mesma
unidade
distribuídos.
dos
valores
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1º) Considerando a distribuição dos
números 2, 4, 6 e 10, determine:
a) o desvio médio;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO - MÉDIA
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
MA = (2+4+6+12) MA = 24 M = 6
4
4
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)
4
DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
Tirando do módulo teremos:
DM = 4+2+0+6 DM = 12 DM = 3
4
4
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)
4
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²
4
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
Continuando
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²
4
V = 16 + 4 + 0 + 36
4
V= 56
4
V = 14
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12,
então temos:
c) DP = 14 = 3,74
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
2º)
Em um jogo de arremessos,
coletaram-se os dados da tabela a
seguir. Dessa forma, em relação aos
acertos, determine:
a) a média aritmética;
b) o desvio médio;
c) a variância;
d) o desvio padrão.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS
MÁRCIO
10 arremessos de
6
MURIEL
cada jogador
4
JONAS
8
EDSON
2
ROMUALDO
7
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4
b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5
DM = 1,92
c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5
V = 4,64
d) DP = 4,64 = 2,15
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
3º) No quadro a seguir, está representado o consumo
diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas,
em um período de quatro dias. Determine o desvio
padrão do consumo dos carros desses taxistas.
Taxistas segunda terça quarta quinta
23
12
I
10
9
8
32
II
16
18
III
25
17
30
10
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos,
antes, calcular a média aritmética e a variância.
Calculando a média aritmética de consumo dos carros
dos três taxistas, temos:
MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5
MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5
MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos
três taxistas.
VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25
VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75
VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a
maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a
menor dispersão.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o
consumo dos carros dos três taxistas.
DPI = 31,25  5,59 litros
DPII = 74,75  8,64 litros
DPIII = 58,25  7,63 litros
Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I
teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio
padrão é o menor.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por
duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a
tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor
opção? Por quê?
Oferta 1
Oferta 2
Média Salarial
890,00
950,00
Mediana
800,00
700,00
Desvio Padrão
32,00
38,00
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto
menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja,
a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1
é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E
PERCENTUAIS
REGIÃO
AÉCIO
%
% Acumulado
NORDESTE
7.967.846
15,66%
15,66%
Norte
3.376.148
6,63%
22,29%
Centro-Oeste
4.388.594
8,62%
30,92%
Sul
9.686.559
19,03%
49,95%
Sudeste
25.470.265
50,05%
100,00%
Total de eleitores
50.889.412
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
DESVIO MÉDIO - AÉCIO
REGIÃO
AÉCIO
Desvio Médio
NORDESTE
7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|+
Norte
3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|+
Centro-Oeste
4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|+
Sul
9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|+
Sudeste
25.470.265 25.470.264 - 10.177.882|
Valores
Total
Média Desvios
2.210.036
6.801.734
5.789.288
491.323
15.292.383
30.584.765
6.116.953
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA
Variância
REGIÃO
AÉCIO
Desvio Médio
Valores
NORDESTE
7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|^2+
4.884.260.889.325
Norte
3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|^2+
46.263.590.848.143
Centro-Oeste
4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|^2+
33.515.860.178.375
Sul
9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|^2+
241.398.683.388
Sudeste
25.470.265 |25.470.264 - 10.177.882|^2+
TOTAL
Variancia
Desvio
Padrão
233.856.965.584.783
318.762.076.184.013
63.752.415.236.803
7.984.511
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA
REGIÃO
NORDESTE
Norte
Centro-Oeste
Sul
Sudeste
Total de eleitores
Média por Região
Desvio Médio
DILMA
%
20.176.579
4.393.301
3.254.304
6.759.908
19.867.894
54.451.986
10.890.397
7305471,4
% Acumulado
37,05%
37,05%
8,07%
45,12%
5,98%
51,10%
12,41%
63,51%
36,49%
100,00%
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
REGIÃO
NORDESTE
Norte
Centro-Oeste
Sul
Sudeste
Total de eleitores
Média por Região
Desvio Médio
DILMA
Desvio Médio
20.176.579 |20.176.579 - 10.890.397|+
4.393.301 |4.393.301 - 10.890.397|+
3.254.304 |3.254.304 - 10.890.397|+
6.759.908 |6.759.908 - 10.890.397| +
19.867.894 |19.867.894 - 10.890.397|
54.451.986
10.890.397
7305471,4
9286182
6497096
7636093
4130489
8977497
Total
Desvio médio
36527357
1593343
Variância
REGIÃO
NORDESTE
DILMA
VARIANCIA
Valores
20.176.579 |7.967.846 - 10.177.882|^2+
99.973.933.698.852
Norte
4.393.301 |3.376.148 - 10.177.882|^2+
33.461.381.973.226
Centro-Oeste
3.254.304 |4.388.594 - 10.177.882|^2+
47.935.937.860.947
Sul
6.759.908 |9.686.559 - 10.177.882|^2+
11.682.548.999.055
Sudeste
19.867.894 25.470.264 - 10.177.882|^2+
93.896.324.808.135
TOTAL
Variancia
Desvio Padrão
286.950.127.340.214
57.390.025.468.043
7.575.620
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
 IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio.
Atual, São Paulo, 2004.
 GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
 PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Disponível em:
www.oxnar.com.br

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