SLIDES – Estatística – (Médias, mediana, moda

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Estatística
Medidas de tendência central
Média aritmética
As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um
conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação
“medida de tendência central”, se deve ao fato de que, por ser uma
medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos
valores. São medidas de tendência central:
• Média aritmética
• Média aritmética ponderada
• Média geométrica
• Mediana
• Moda
Média aritmética é a razão entre a soma de todos os valores de
determinada variável e o número total de valores.
x 1  x 2  ...  x n
x
n
Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno
em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do
ano letivo: 7,5 – 6,0 – 4,2 – 3,9 – 4,6 – 6,2 – 8,2 – 5,4
CALCULE a média aritmética desses valores.
7,5  6  4,2  3,9  4,6  6,2  8,2  5,4 46
 5,75
x

8
8
A média dos salários de quinze funcionários de uma loja de autopeças é
R$ 790,00. Se forem contratados mais dois funcionários, com salários de
R$ 855,00 e R$ 980,00, qual será a nova média salarial da loja?
 salários  790   salários  790  15
15
11850  855  980  13685 reais
13685
x
17
 805 reais
 11850 reais
(nova som a)
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos
de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar
duas das empresas listadas na
tabela. Para tal, ele calcula a
média da receita bruta anual dos
últimos três anos (de 2009 até
2011) e escolhe as duas
empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor
escolhe comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y.
B) Chocolates X e Tecelagem Z.
C) Pizzaria Y e Alfinetes V.
D) Pizzaria Y e Chocolates X.
E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
200  220  240
 220
3
200  230  200
 210
W:
3
250  210  215
 225
X:
3
V:
A)
B)
C)
D)
E)
Balas W e Pizzaria Y.
Chocolates X e Tecelagem Z.
Pizzaria Y e Alfinetes V.
Pizzaria Y e Chocolates X.
Tecelagem Z e Alfinetes V.
230  230  230
Y:
 230
3
160  210  245
 205
Z:
3
18%  19%  21%  15%  19%

5
18,4 %
Estatística
Medidas de tendência central
Média aritmética ponderada
Dado um conjunto de valores X1, X2, X3, ..., Xn, cada um com
um respectivo peso p1, p2, p3, ..., pn, a média ponderada desses
valores é dada por:
x 1  p 1  x 2  p 2  x 3  p 3  ...  x n  p n
p
p1  p 2  p 3  ...  p n
Preço médio do quilo do peixe
M.A. 
359
3
 5,67
M.P. 
3  18  5  10  9  6
18  10  6
M.P. 
54  50  54
 4,65
34
Média de pontos – partida de futebol
Vitória – 3 pontos; empate – 1 ponto; derrota – nenhum ponto
M.P.  0,55  3  0,30  1  0,15  0
M.P.  1,95
55  3  30  1  15  0
M.P. 
100
165  30  0
M.P. 
 1,95
100
Estatística
Medidas de tendência central
Média geométrica
Dado um conjunto de n valores X1, X2, X3, ..., Xn, a média
geométrica desses valores é dada por:
mg  n X 1  X 2  X 3  ...  X n
Calcular a média geométrica dos valores 1, 2 e 4.
mg  1  2  4  8  2
3
3
Um retângulo tem lados com medidas 2 cm e 8 cm. Obtenha a
medida do lado de um quadrado que possua a mesma área.
  2  8    16
8 cm

2cm
4
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões a = 2 cm, b = 3 cm
e c = 4,5 cm. Obtenha a medida da aresta de um cubo que
tenha o mesmo volume.
x  3 2  3  4,5
 x  3 27
3 cm
4,5cm
 x3
2cm
x
Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu
da seguinte forma: 25% no primeiro ano e, após uma
alavancada nos negócios, 80% no segundo. Em média, quanto
cresceu por ano?
Crescim ento de 25%  1,25
Crescim ento de 80%  1,80
1,50 representa um crescimento
médio de 50% por ano.
mg  1,25  1,80
mg  2,25
m g  1,5  1,50
Estatística
Medidas de tendência central
Mediana
Dado um conjunto de valores ordenados, a mediana desses
valores é dada
• Pelo elemento central, no caso de um número ímpar de
valores.
• Pela média aritmética entre os dois valores centrais, no caso
de número par de valores.
Calcular a mediana de cada um dos conjuntos de dados
1. {9, 3, 7, 5, 1}
2. {4, 5, 10, 12, 8, 6}
1.
1, 3, 5, 7, 9
2.
4, 5, 6, 8, 10, 12
68
7
2
1 . R $ 73,10
2 . R $ 81,60
3 . R $ 82,00
4 . R $ 83,00
5 . R $ 84,00
6 . R $ 84,60
7 . R $ 85,30
Estatística
Medidas de tendência central
Moda
Em um conjunto de dados, MODA é o valor que
ocorre com maior frequência, isto é, o valor mais
comum. A moda não é necessariamente única, ao
contrário da média ou da mediana.
• Bimodal: dois valores modais
• Amodal: não possui moda
• Multimodal: possui mais de duas modas
Dados referentes às numerações dos sapatos vendidos em
uma loja em certo dia:
{35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42}
33, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 39, 40, 42, 42, 43
Duas modas (bimodal): 35 e 36
Moda  1
1, 1, 1, 1, 2,4, 4, 5, 5,6
Mediana 
24
3
2
Estatística
Medidas de dispersão
Variância e desvio padrão
As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os
dados são semelhantes, descreve então o quanto os
dados distam do valor central. Deste modo, as medidas de
dispersão servem também para avaliar qual o grau de
representação da média.
• Variância
• Desvio padrão
Dado um conjunto de n dados (x 1, x 2 , x 3 , ... , x n ), cuja média
aritmética é dada por x, a variância é dada por
(x 1 - x )²  ( x 2  x )²  ...  ( x n  x )²
 
n
2
E o desvio padrão é dado por
(x 1 - x )²  ( x 2  x )²  ...  ( x n  x )²

n
• O desvio
padrão é a raiz
quadrada da
variância.
• A variância é
o quadrado do
desvio padrão.
Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três
atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento
diário, consideraram seus três melhores saltos, em
centímetros. Qual foi o atleta mais regular?
Med ( X ) 
144  171  150
 155
3
Med ( Y ) 
146  170  152
 156
3
145  169  154
Med ( Z ) 
 156
3
Med ( X )  155
( X )  11,58
Med ( Y )  156
Med ( Z )  156
( X ) 
( X ) 
(144 - 155 )²  (171  155 )²  (150  155 )²
(-11)²  (16 )²  ( 5 )²

3
3
121  256  25

3
402
3
 11,58
Med ( X )  155
( X )  11,58
Med ( Y )  156
( Y )  10,20
Med ( Z )  156
( Y ) 
( X ) 
(146 - 156 )²  (170  156 )²  (152  156 )²
(-10)²  (14 )²  ( 4 )²

3
3
100  196  16

3
312
3
 10,20
( Z ) 
( X ) 
Med ( X )  155
( X )  11,58
Med ( Y )  156
( Y )  10,20
Med ( Z )  156
( Z )  9,90
(145 - 156 )²  (169  156 )²  (154  156 )²
(-11)²  (13 )²  ( 2)²

3
3
121  169  4

3
294
3
 9,90
Med ( X )  155
( X )  11,58
Med ( Y )  156
( Y )  10,20
Med ( Z )  156
( Z )  9,90
Como o atleta Z teve o menor desvio padrão, isso
significa que seus resultados oscilaram menos em relação
à média, comprovando que é o atleta mais regular.

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