Das Brachistochronenproblem - Ruhr

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Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
Teil I – Mathematische Voraussetzungen
1. Länge eines Kurvenstücks
2. Parameterdarstellung
3. Die Zykloide (Rollkurve)
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Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Die Länge eines Kurvenstücks
Definition: parametrisierte Kurve
Sei ∅ ≠ I ⊆ ℝ ein Intervall. Eine stetige Abbildung φ: I ⟶ ℝ heißt parametrisierte Kurve in ℝ .
Das Bild φ(I) heißt die Spur von φ (Bezeichnung: Spur (φ))
: 0, 2 ⟶ ℝ2 ,  ⟶   ≔
 cos 
 sin 
  > 0
 cos 
: 0, ∞ ⟶ ℝ3 ,  ⟶   ≔  sin 
ℎ
2
Seminar:
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 , ℎ > 0
Anwendungsgebiete der Analysis
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Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Die Länge eines Kurvenstücks
Definition: Länge einer Kurve
Es seien W eine Kurve in ℝ und φ: I ⟶ ℝ eine Parameterdarstellung von W, wobei das Intervall I mehr als einen Punkt enthält.
(a) Sind 0 , 1 ,...,  aufeinander folgende Kurvenpunkte, d.h. ρ = φ(ρ ) mit ρ ∈ I für ρ = 0,1,....,r und 0 < 1 <. . . <  , so heißt
P := P(0 , 1 ,...,  ) := S(0 , 1 ) + . . . + S(−1 ,  )
ein der Kurve W einbeschriebener (gerichteter) Polygonzug. Seine Länge wird definiert durch
L(P) := L(P(0 , 1 ,...,  )) :=

=1
∥  − −1 ∥2
2 ()
ψ(0 )
⊆ℝ
ψ(5 )
ψ(4 )
ψ(1 )
 ∶  ⟶ ℝ2
⟶  ≔
ψ(6 )
(b) Das Supremum (das ∞ sein kann)
ψ(7 )
ψ(2 )
1 ()
2 ()
[
ψ(3 )
1 (t)
]
L(W) := sup ()   ℎ 
7
6
3
5
2
4
0 1
heißt die Länge von W. Ist I einpunktig, so sei L(W) := 0.
W heißt rektifizierbar, wenn L(W) < ∞.
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Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
y
( )

∆
(3 )
3
(2 )
(1 )
(0 )
2
1
∆
 = 0
∆1
1
∆
∆2
2
∆3
∆
∆
3
 = 
x
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1. Länge eines Kurvenstücks
y
( )
∆

(µ)
(3 )
3
(2 )
(1 )
(0 )
2
1
∆
 = 0
∆1
1
∆
∆2
2
∆
2
∆
∆
2
∆µ
∆3
3 µ

x
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1. Länge eines Kurvenstücks
y
( )

(µ)
(3 )
3
(2 )
(1 )
(0 )
2
1
 = 0
1
2
3 µ

x
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1. Länge eines Kurvenstücks
y
( )
(Δ)2 +(Δ )2
 =

∆

(3 )
3
(2 )
(1 )
(0 )
2
1
∆
 = 0
∆1
1
∆
∆2
2
∆3
=1
∆
3
(Δ)2 +(Δ )2
 =
∆
 = 
x
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1. Länge eines Kurvenstücks
=
Δ
2
(Δ) ∗ (1 +
Δ

=
=1
2
)
Δ 2
Δ ∗ 1 + (
)
Δ
Δ 2
= Δ∗ =1 +(Δ)
( 2 +(Δ
)
)2

Δ

(Δ)2 +(Δ )2
 =
=1
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1. Länge eines Kurvenstücks
ℎ:
Δ   − (−1 )
=
Δ
 − −1
∘
Δ 2
 ⟶ ∞,
:

 ü
2
2
Δ ∗ 1 + (
)
 =
(Δ) +(Δ ) =
Δ
=1
∘ Δ ⟶ 0 =1


∘
Δ
⟶ ′ 
Δ

1 + ( ′  )2 
ü =
0
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2. Parameterdarstellung
Definition:
Eine Funktion/Abbildung  von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element  ∈ X in eindeutiger Weise ein
Element () ∈ Y zuordnet.
(Skript zur Analysis I, Kapitel 3)


Gebilde, wie z.B. die Ellipse, lassen sich nicht durch Funktionen beschreiben! Denn:
▪ für jeden x-Wert müsste es 2 y-Werte geben!
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2. Parameterdarstellung
▪ Abhilfe durch Parameterdarstellung
▪ Punkte des Graphen durch 2 verschiedene Funktionen beschrieben

Parameter

  
 ∗ ()

 =: 

 
   ≔  ∗ cos  ,
  ≔  ∗ sin()
 ∗ cos()
  ∗ ()  ∗ ()
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2. Parameterdarstellung
y
  ℎ ,  
  ≔     ≔   .

1 + ( ′  )2 
ü =
( )
0

∆
(3 )
3
(2 )
(1 )
(0 )
2
1
∆
 = 0
∆1
1
∆
∆2
2
∆3
∆
Abwandeln für die
Parameterdarstellung!
∆
3
 = 
x
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2. Parameterdarstellung

1 + ( ′  )2 
ü =
0

=
0

=
0
( ′  )2
1+ ′

(  )2
′ 
⇒

2
( ′  )2
2 + ( ′  )2 
′
 

′ 
 =
, 
2
+ ′ 
2

′
=

′
2

 ′()
 =

=

 ′()
+
′
0
,  ′() =
0
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2
1
∗

′()


⇔  =

′()
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2. Parameterdarstellung

′ 
 =
2
+ ′ 
2
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Beispiele

0

 ∗ ()
   

 =: 
 ∗ cos()
  ∗ ()  ∗ ()
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2. Parameterdarstellung

′ 
 =
2
+ ′ 
2
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Beispiele

0
 ä    
2
 = (, 2 ) 0 ≤ ≤

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3. Die Zykloide
Definition:
Die Zykloide ist die Kurve, die von
einem festen Punkt auf einem Kreis
gezeichnet wird, der auf einer
Geraden abrollt.
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3. Die Zykloide
y
,  = 

 ∗ sin( − )
2
t  = ( ∗ , )
a
0

− ∗ cos( − )
2
 = ( ∗ , 0)
x

  =  − (− ∗ cos  − ) =  −  ∗ sin  =  ∗ ( − sin  )
2

  =  +  ∗ sin  −
=  −  ∗ cos  =  ∗ (1 − cos  )
2
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