Potencial vector

Report
POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR CREADO POR UN DIPOLO EN UN PUNTO LEJANO
CÁLCULO DE CAMPO Y FLUJO MAGNÉTICO A PARTIR DEL POTENCIAL VECTOR
Antonio J. Barbero García
Dpto. Física Aplicada
UCLM
1
POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO

 ux
Potencial vector en el punto P:
 0 I
A
4


dl '
 
r r'
 0 I
A
4
2

 /2



u c sin  '
 u x c sin  '  u y c cos '
0 I
2
d ' 
  d '
 
4
r  r'
r  r'
0
C'


El unitario u en dl’ no es el mismo que el unitario u


en P. Véase que en P se verifica u   ux
 


dl '  u c d '   ux sin  'u y cos ' c d '

 / 2

Por cada elemento de corriente I dl ' hay un simétrico
que contrarresta la componente del vector A según Y.


1/ 2
 
r  r '  r 2  c 2  2c r cos 
   
 
r r' q r q r'
Elegimos un punto P en el plano YZ. Esto no resta
 sin   sin  '


cos  
generalidad al resultado pues hay simetría de revolución
q

r
'
r  r' q  r
alrededor del eje Z.
 
 
Z
q r'
q r
cos90   '  sin  ' 
cos90     sin  
Pr ,  ,  / 2
q  r'
qr
1 / 2

r

C'
 
r  r'

'

r'
P'
HOME
X
1/ 2
 1  2c
1
1  c 2 2c

   1  2  sin   sin  '   1  sin   sin  ' 
r  r' r  r
r
r

 r
r  c

I dl '


r '  c  ur

q
Y
Desarrollo del binomio:
1
1 c

   1  sin   sin  ' 
r r' r  r

2
POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO (CONT.)
 0 I
A
2
4
 /2



0 I c u
u c sin  '
  d ' 
2
r  r'
 / 2
 /2

 / 2
1
1 c

   1  sin   sin  ' 
r r' r  r

Definiendo el momento
magnético de la espira:



m  I c2 uz  m uz


uz

90 º
90  
1 c

1  sin   sin  '  sin  ' d '
r r

 /2

 /2
sin  ' d '  0
 / 2



ur

sin 2  ' d ' 

2
 / 2

  0 I c 2
A  u
sin 
4 r 2
m  I  c2
  0 I c 2
A  u
sin 
4 r2
 
 0 m
 ur
A
(Wb/m)
4 r 2
  0 m  uZ  ur
A
(Wb/m)
2
4 r


¿Cómo calcular el campo B a partir del potencial vector A ?
Plano XY

u


  m  sin   
B   A   0
 u 
2
 4 r

 

uz  ur cos  u sin 
 




uz  ur  ur cos  u sin   ur  sin   u
HOME
  
 u  ur  u
3
CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO


  m  sin   
B   A   0
 u 
2
4

r


  m  sin  
A 0
 u
4 r 2
Ar  0

ur

1

 A  2
r sin  r
Ar

ru


rA
A  0
0 m  sin 
4 r 2


r sin  u
ur

 m 1

 0

4 r 2 sin  r
r sin  A
0
 0 m 1
 A 
4 r 2 sin 
 0 m 1
 A 
4 r 2 sin 
A 
 

 


ru


0
 sin 2   
  sin 2    

 ur - r 
 u 
r  r  
 r 
 m  2 cos  sin   
 2 cos sin 
sin 2   

ur  3 u 
ur  r 2 u   0

3
r
r
4

r
r




 0 m  2 cos  sin   

B   A 
ur  3 u 

3
4  r
r

HOME

r sin  u


sin 2  / r
4

LÍNEAS DE CAMPO B DE UN DIPOLO MAGNÉTICO. PUNTO LEJANO
 0 m



B
2
cos

u

sin

u
r

4 r 3

B

ur

Cuando 0     / 2
sin   0
 0 m



B
2
cos

u

sin

u
r

4 r 3

u

r
cos   0


r

B

ur

u
Cuando  / 2    
cos   0
sin   0
  m


B  0 3  2 cos  ur  sin  u 
4 r

La componente radial es de sentido contrario a ur
HOME
5
LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO
Z
  m  2 cos  sin   

B   A  0
ur  3 u 

4  r 3
r


uZ

r

m

ur

u

u
 0 m  uZ  ur
A
4 r 2
  
uZ  ur  u

Líneas de campo B

Igual módulo del potencial vectorial A
Potencial vectorial entrante (mitad derecha)
Potencial vectorial saliente (mitad izquierda)
6

uZ
POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1.

Calcular el coeficiente de inducción mutua entre
R
dos espiras concéntricas de radios r y R (r <<R)
r
cuyos planos forman un ángulo  (véase figura).
Resolver el problema por dos procedimientos:
I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente.
II. Considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo
magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes
para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el
contorno de la espira externa.
I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente.
 
u  uZ cos

uZ

B
I

r


uR

R
Campo magnético creado por la corriente I que   0 I 
B
uZ
circula por la espira grande en su centro geométrico
2R
Al ser r << R, podemos suponer que el campo magnético a
través de la espira pequeña es constante en todos sus puntos e
igual al valor que tiene en el centro común de ambas espiras, y
en consecuencia, también podemos suponer que el flujo
magnético a través de la espira pequeña es el producto escalar
del campo magnético por su vector superficie:
 
  I
I 
  B S (r )  0 u Z ·  r 2 u  0  r 2 cos 
2R
2R

uZ  perpendicular al plano de la espira de radio R

u R  contenido en el plano de la espira de radio R

u  perpendicular al plano de la espira de radio r




Relación entre el flujo  que atraviesa la espira pequeña
y la corriente I que circula por la espira grande:   M ·I
donde M es el coeficiente de inducción mutua.
7


 0  r 2 cos
M 
I
2
R
POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/2)
II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y
calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes
para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira
externa.
 
u  uZ cos

uZ

I

r




m  I  r2 u

dl 
u

uR

R
Para calcular el coeficiente de inducción mutua hay
que determinar el flujo magnético  a través de la
espira grande (radio R), flujo que tiene su origen en
el campo magnético B producido por la corriente I
que circula por la espira pequeña (radio r << R).

u

uZ

uR
 

uZ  uR  u
Una forma asequible (no demasiado complicada)
de hacer esto es tratar a la espira pequeña como un
dipolo magnético que origina un potencial vector
que puede ser calculado con facilidad, y convertir
la integral de superficie necesaria para calcular el
flujo magnético en una integral de línea de ese
potencial vector (que es el rotacional del campo
magnético), aplicando el teorema de Stokes.

Potencial vector creado por el dipolo m
en un punto genérico de la   0 m  uR
A
(Wb/m)
circunferencia de radio R
4 R 2

uZ  perpendicular al plano de la espira de radio R

u R  contenido en el plano de la espira de radio R

u  perpendicular al plano de la espira de radio r

uZ

u
Véase que

m
Vista de perfil







m  I  r 2 u  I  r 2 cos uZ


uR
2r
2R
Teorema de Stokes:
 
  B dS 

S




 0 I  r 2 cos  
0 I  r 2 cos 
u
A
uZ  u R 
4
R2
4
R2

C
 
  B dl 

 
A dl
puesto que


B   A
C
Siendo dS el elemento de superficie de la espira grande
8
POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/3)
II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y
calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes
para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira
externa.
 
u  uZ cos

uZ

I

r




m  I  r2 u

dl 
u

uR

R


u

uZ

uR
 

uZ  uR  u

uZ  perpendicular al plano de la espira de radio R

u R  contenido en el plano de la espira de radio R

u  perpendicular al plano de la espira de radio r

uZ

u

m

Vista de perfil

uR
2r
2R

 0 I  r 2 cos 
A
u
4
R2




 
B dS 
S

 
A dl
C
0 I  r 2 cos  
u ·dl
4
R2
C
0 I  r 2 cos

4
R2
0 I  r 2 cos

4
R2



u ·dl u
C

0 I  r 2 cos
2 R 
dl 
4
R2
C

0 I  r 2 cos
2
R
Relación entre el flujo  que atraviesa la espira grande y
la corriente I que circula por la espira pequeña:   M ·I
donde M es el coeficiente de inducción mutua.


 0  r 2 cos
M 
I
2
R
(Igual resultado que el obtenido usando el procedimiento I)
9
POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2
Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m
dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el
eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira.

uZ
sin 
a
b


uZ
a
r
cos  
Cálculo del potencial vector en un
punto genérico de la espira (P)

uZ

ur

r

ur


M  M 0 uZ
b
r

ur

uZ
a
P
b

m

r
R
Vista desde fuera, la esfera
imanada se comporta como
un dipolo cuyo momento
magnético es
 4
 4

m  R 3 M  R 3 M 0 u Z
3
3
Líneas del campo B alrededor
de la esfera imanada
 
 0 m
 ur
A
4 r 2
(Wb/m)

 
 4
A  0 2 R 3 M 0 u Z  u r
4 r 3

u

uZ

ur

90º
P
  
uZ  ur  u



 4
 a
A  0 2 R 3 M 0 sin u  0 3 R 3 M
u
0
10 
4 r 3
3r
POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2 (/2)
Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m
dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el
eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira.
Una vez hemos calculado el potencial vector en cada punto del contorno de la espira, 
 a 3
aplicamos el teorema de Stokes y convertimos la integral de superficie necesaria para A  0
R M0
3 r3
calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el
rotacional del campo magnético).

 
 
 

uZ
uZ
  B dS    B dl  A dl



C
 
A dl 



S
a
C
C
 a
 a


R 3 M 0 u dl·u  0 3 R 3 M 0 dl  0 3 R 3 M 0 2 a 
3r
3r
3r
0 a

3
P

m
b
C
C
2
 a2
  0
3
a 2  b2


3/ 2

u


dl
R3M 0
rr a2  b2

u
C

A

uZ
S

u

u

dl
11

ur

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