Polares

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Sistemas de coordenadas polares
Ponto (r, )
Polo
Eixo polar
°
°
r
 (0 <  < 90º)
r


180º <  < 270º)

270º <  < 3600º)
°
°
(90º <  < 180º)
Observação:
As coordenadas polares
de um ponto não são
Únicas.
Ex.:
(1, 315º), ( 1, -45º) e
(1, 675º) representam
o mesmo ponto
Relações entre as coordenadas polares e as retangulares
2 = 2 + 2
P (x, y)
P (r, )
y
r

x

tan  =


sen  =


cos  =

r = 2 + 2
y = r. sen 
x = r.  
As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton:
Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139.
r = cos(2θ)
Em coordenadas polares
Obs.: r < 0 considerar o
ponto(-r, π + α)
Gráficos em coordenadas polares
t grau
cos(2t)
t grau
cos(2t)
0
1
195
0,866025
15
0,866025
202,5
0,707107
22,5
0,707107
210
0,5
30
0,5
225
3,06E-16
45
6,13E-17
240
-0,5
60
-0,5
247,5
-0,70711
67,5
-0,70711
255
-0,86603
75
-0,86603
270
-1
90
-1
285
-0,86603
105
-0,86603
112,5
-0,70711
292,5
-0,70711
120
-0,5
300
-0,5
135
-1,8E-16
315
-4,3E-16
150
0,5
330
0,5
157,5
0,707107
337,5
0,707107
165
0,866025
345
0,866025
180
1
360
1
r = cos(2θ)
Em coordenadas retangulares
r
1
π/2
3π/2
π
-1
θ
Exercícios:
1. Escrever r = cos(2θ) em coordenadas retangulares.
2. Esboçar as curvas em coordenadas polares e escrevê-las em
coordenadas retangulares:
a) r = 1; b) θ = π/4; c) r = θ (θ > 0)
3. Desenhar r = 1 - cos(θ) (cardióide) em coordenadas retangulares.
Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa
equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot.
Escrever r = 1 – cos(θ) em coordenadas retangulares.
Desenhar com o Winplot
4. Seja r2 = 4cos(2θ). Construir uma tabela com o Excel, de 15º
em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar.
Confirmar com o Winplot.
5. Desenhar com o winplot as duas famílias de rosáceas:
r = a.sen(nθ) e r = a.cos(nθ). Fazer a = 1 e desenhar essas curvas
considerando n = 2, 3, 4, 5, 6.
Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.
6. Desenhar com o winplot as famílias de espirais:
a) De Arquimedes (r = aθ). b) Parabólica (r = aθ1/2).
c) Logaritmica (r = aebθ). d) Hiperbólica ( r = a/θ)
Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.
7. Desenhar com o winplot as famílias de circunferências:
a) r = a; b) r = 2ª.cos(θ); C) r = 2ª.sen(θ);
Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.
Exercícios:
1. Identifique a curva transformando as equações polares em
retangulares
a) R = 2; b) r.sen(θ) = 4; c) r = 3.cos(θ); d) r = 6/(3cos (θ) + 2 sen(θ))
e) R = 5.sen (θ); f) r = 4.cos (θ) + 4.sen (θ); g) r = sec(θ).tg(θ)
2. Expressar as equações em coordenadas polares:
a) x = 7; b) x2 + y2 = 9; c) x2 + y2 – 6y = 0; d) 4xy = 9; e) y = -3;
f) x2 + y2 + 4y = 0; g) x2(x2 + y5)= y2
Esboçar os gráficos em coordenadas polares
a) θ = π/6; b) r = 3; c) r = 4.senθ; d) r = 6.cosθ; e) r = 1 + senθ;
f) R = 3.(1- senθ); g) r = 4 – 4cosθ; h) r = 3 + 4cosθ;
i) r2 = 9cos(2θ); j) r2 = 16sen(2θ); h) r = 4θ (θ ≤ 0)
As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton:
Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139.
Retas tangentes para curvas paramétricas e polares
Uma curva y = F(x) pode ser dada por suas equações paramétricas:
x = f(t), y = g(t)
Se f(t) e g(t) têm derivadas primeiras contínuas, temos, usando a
derivada da função composta:
sendo dx/dt≠ 0,
que permite encontrar dy/dx a partir das equações paramétricas da curva
Exemplo: Achar a equação da reta tangente ao círculo dado por suas
equações paramétricas x = cos t, y = sen t, para 0 ≤ t ≤ 2π,
no ponto onde t = π/6. E no ponto t = 4π/3.
y
Exemplo: Um avião de papel, lançado
no instante t = 0 segue a trajetória
x = t – 3sen(t), y = 4 – 3cos(t)
t=3
t=4
t=10
t=2
t=8
t=5
t=1
t=0
t=7
e bate em um muro quando t = 10.
a) Em que instantes o avião voou horizontalmente?
b) Em que instantes o avião voou verticalmente?
Fonte: ANTON , H. (1999). P. 136
t=9
t=6
x
y
Exemplo: Encontrar
e
nos pontos (1,1) e (1,-1) na parábola
semicúbica dada pelas equações
(1,1) t = 1
paramétricas x = t2 , y = t3
para -∞ < t < ∞
x
(1,-1) t = -1
Como escrever essa função como
y = F(x)?
Exemplo: Encontrar a inclinação da reta tangente e a reta tangente à
curva paramétrica dada por x = cos(3t), y = 4sen(2t) nos pontos t = π/4
e t = 7π/4
Retas tangentes a curvas polares
Vimos que se r = f(θ) é uma curva em coordenadas polares, então
cos(θ) = x/r
x = r.cos(θ) e sen(θ) = y/r
y = r. sen(θ)
E então, x = f(θ).cos(θ) e y = f(θ).sen(θ)
Assim, x e y são funções de θ. Logo, derivando x e y em relação a θ,
Derivada de y em relação
a x quando temos uma
curva polar
Exemplo: Achar a inclinação da reta tangente ao círculo r = 4cos(θ)
no ponto onde θ = π/4. Confirmar a resposta obtendo y = f(x).
Exemplo:Achar os pontos da cardióide r = 1 – cos(θ) onde há uma reta
tangente horizontal e onde há uma reta tangente vertical.
Teorema:Se a curva polar r = f(θ) passa na origem em θ = θ0, e se
dr/dθ ≠ 0 em θ = θ0 então a reta θ = θ0 é tangente à curva na origem.
θ = 2π/3
θ = π/2
θ = π/3
Exemplo:A rosácea de três
pétalas r = sen(3θ) tem três retas
tangentes à origem.
Comprovar com o teorema e
com y = f(x). (em sala de aula
r = sen(3θ)
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