anova – análise de variância

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ANOVA
Prof. Herondino
ANOVA

Análise de variância (Analysis of variance -ANOVA) é um
método para testar dois ou mais tratamentos para
determinar se a sua amostra média poderia ter sido
obtido a partir de populações com a mesma média real.
ANOVA

"... A análise de variância é mais do que uma técnica de
análise estatística. Assim entendida, a análise de variância
fornece uma visão sobre a natureza da variação de
eventos naturais, dentro da Natureza em suma, o que é,
possivelmente, de um valor ainda maior do que o
conhecimento do método como tal. Se podemos falar de
beleza em um método estatístico, análise de variância a
possui mais do que qualquer outro " (Sokal and Rohlf,
1969).
A área em verde escuro está a menos de um desvio padrão(σ) da média. Em
uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto,
enquanto dois desvios padrões desde a média (verde médio e escuro)
representam cerca de 95%, e três desvios padrões (verde claro, médio e
escuro) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra 68-95-99.7,
ou a regra empírica, ou a regra dos 3-sigmas.
Variância Dentro dos Grupos (Sd)

Supondo-se que todos os grupos têm a mesma
variância da população, podemos reunir as variâncias
k amostras para estimar a variância dentro do grupo
(n1  1)s12  (n2  1)s22  ... (nk  1)sk2
S 
(n1  1)  (n2  1)  ... (nk  1)
2
d

ou
2
2
2
(
n

1
)
s

(
n

1
)
s

...

(
n

1
)
s
1
2
2
k
k
S d2  1
N k

onde N  n1  n2  ... nk
Variância Entre Grupos (Se)

A variância entre grupos é calculado utilizando as médias
dos grupos e da média global
2
2
2
n
(
x

X
)

n
(
x

X
)

...

n
(
x

X
)
2
2
k
k
Se2  1 1
k 1

onde a média global é dada por:
X
n1  x1  n2  x2  ...  nk  xk
n1  n2  ...  nk
Exemplo1
Média do grupo
Variância do Grupo
Média Global
A
B
C
12
13
18
10
17
16
13
20
21
9
14
17
11
16
18
3,33
10,00
4,67
15
(n1  1) s12  (n2  1) s22  ...  (nk  1) sk2
S 
N k
2
d
(4  1)  3,33  (4  1) 10  (4  1)  4,67 54
S 

 6,0
12  3
9
2
d
A variância dentro dos grupos
Exemplo1
2
2
2
n
(
x

X
)

n
(
x

X
)

...

n
(
x

X
)
2
2
k
k
Se2  1 1
k 1
2
2
2
4
(
11

15
)

4
(
16

15
)

4
(
18

15
)
4(16  1  9) 104
2
Se 


 52
3 1
2
2
A variância entre grupos
Se reduzirmos a duas variâncias podemos aplicar o teste F.
S E2
F 2
SD
52
F
 8,67
6
Graus de liberdade
S E2 
 k 1
SD2 
 N  k
S E2
F 2
SD
O numerador é a raiz quadrada da média da variância
“entre grupos", que tem ν1 graus de liberdade
O denominador é sempre a estimativa da variância de
erro randômico puro , neste caso, a variação "dentro
dos grupo", que tem ν2 graus de liberdade
Um valor F com estes graus de liberdade é designado
por Fv1,v2,α onde α é o ponto percentual superior a que
o teste está a ser feito.


O teste será feito ao nível de 5% com o grau de liberdade
ν1 = k - 1 = 3 - 1 = 2 e ν2 = N-K = 12 - 3 = 9. O valor
relevante é F 2,9,0.05 = 4,26.
O índice calculado para o nosso experimento, F = 52/6 =
8,67 é maior que F2,9,0.05 = 4,26, então podemos concluir
que este fornece elementos suficientes para concluir o
intervalo de confiança de 95% de que as médias dos três
grupos não são iguais.
Usualmente α = 0.05 (5%) ou α = 0.01 (1%).
Estudo de Caso – 5 laboratórios
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

Os dados mostrados na Tabela abaixo foram obtidos
através da divisão de uma grande quantidade de material
preparado em 50 alíquotas iguais e possuindo analise de
cinco laboratórios diferentes em cada 10 amostras
selecionadas aleatoriamente.
Pelo projeto do experimento, não há diferença real na
concentração de amostras, mas os laboratórios têm
produzido diferentes médias e variâncias diferentes.
Aqui vamos usar uma ANOVA one-way, que se concentra
em comparar a variação dentro de laboratórios com a
variação entre laboratórios. A análise é de sentido único,
porque há um fator (laboratórios) para ser avaliado.
Dez medidas de concentração de chumbo(μg/L)
de amostras idênticas em cinco laboratórios
Referência Bibliográfica

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