مقدمه

Report
‫بسم ا‪ ...‬الرحمن الرحيم‬
‫سیستمهای کنترل خطی‬
‫پاییز ‪1389‬‬
‫دکتر حسین بلندي‪ -‬دکتر سید مجید اسما عیل زاده‬
Recap.
• Solution of State Space Equation.
• 2nd Order systems
• Design Specifications
2
PERFORMANCE INDICES
AND OPTIMAL SYSTEMS
‫مقدمه‬
‫سیستم کنترل بهینه ‪ :‬سیستمی است که طراحی آن مقدار یک تابع انتخاب شده‬
‫بعنوان شاخص عملکرد را بهینه سازی می کند‪.‬‬
‫تفاوت سیستم بهینه با یک سیستم ایده آل ‪ :‬سیستم بهینه بهترین سیستم قابل‬
‫حصول با وجود محدودیت های فیزیکی است و حال آنکه یک سیستم ایده آل‬
‫ممکن است یک هدف غیر قابل حصول باشد‪.‬‬
‫شاخص های عملکرد ‪ :‬در طراحی یک سیستم کنترل بهینه‪ ،‬برای تعیین یک تصمیم‬
‫کنترلي تحت محدودیت های خاص الزم است قانونی پیدا کنیم که معیاری از‬
‫انحراف از عملکرد ایده آل را به حداقل برساند‪ .‬آن معیار توسط شاخص عملکرد‬
‫انتخاب شده فراهم می گردد‪ .‬لذا شاخص عملکرد تابعی است که مقدار آن‬
‫بعنوان نشانه ای از میزان تطبیق عملکرد واقعی با عملکرد مطلوب درنظر گرفته‬
‫می شود‪.‬‬
‫مقدمه‬
‫• بهينه‌سازي‌به‌عنوان‌هنر‌بدست‌آوردن‌بهترين‌نتيجه‌تحت‌شرايط‌موجود‌است‌كه‌‬
‫مي‌تواند‌در‌تمام‌ابعاد‌سيستم‌هاي‌مهندس ي نظير‌طراحي‪‌،‬نگهداري‌و‌‪ ...‬مطرح‌شود‪.‬‬
‫• متناسب‌با‌اين‌مطلب‌تصميمات‌مديريتي‌و‌تکنولوژيکي‌در‌سطوح‌مختلف‌مطرح‌‬
‫مي‌شود‌که‌نتيجه‌‌نهايي‌اين‌نگاه‌اتخاذ‌تصميماتي‌براي‌کمينه‌سازي‌يا‌بيشينه‌سازي‬
‫پارامترهاي‌مطلوب‌مي‌باشد‌که‌در‌وضعيت‌کاربردي‌مورد‌نظر‌مطرح‌است‪.‬‬
‫• آرزوي‌انسان‌براي‌رسيدن‌به‌كمال‌توضيح‌فلسفة‌بهينه‌سازي‌و‌تبيين‌کنندة‌تئوري‌‬
‫بهينه‌سازي‌مي‌باشد‬
‫مقدمه‬
‫بدين ترتيب بهينهسازي به عنوان فرآيندي که متغیرهاي مسئله را به منظور‬
‫برخورداري از شرايط بهينگي مقدار تابع هدف‪ ،‬پيدا ميکند؛ تعريف ميشود‪.‬باید توجه‬
‫کرد که‪:‬‬
‫بهينه‌سازي به دنبال بهبود عملكرد در رسيدن به نقطه يا نقاط بهينه‬
‫است‪.‬‬
‫مقدمه‬
‫توجه به بهينه‌سازي مي‌تواند از منظر مصالحه بین دقت ‌و سرعت‬
‫در تصميم‌گیري بهينه مورد توجه قرار گیرد‪.‬‬
‫مي توان هدف از فرآيند‌هاي جستجو را در سه دسته زير بيان‬
‫كرد‪:‬‬
‫‪ ‬بهينه‌سازي‌‬
‫‪ ‬يافتن جواب عملي‬
‫‪ ‬شبه بهينه‌سازي‌‬
‫مقدمه‬
‫‌از ديدگاه کنترلي اغلب صنايع داراي پيچيدگي هاي خاص خود هستند‪:‬‬
‫در‬
‫در آنها بهره‌وري مناسبي نداشته ‌و ‌‬
‫‪ ‬استفاده ‌از كنترل‌كننده‌هاي ساده ‌‬
‫ي موارد ناكارآمد مي‌باشند‪.‬‬
‫بسيار ‌‬
‫راهکار‪:‬‬
‫استفاده‌از‌ساختارهاي‌بهينهبخش‌هاي مختلف‬
‫نیز وابستگي‬
‫‪‌ ‬از طرفي گستردگي ‌و پيچيدگي اين صنايع ‌و ‌‬
‫ي كنترل‌كننده‌هاي پيشرفته‪،‬‬
‫به هم‪ ،‬سبب شده است تا براي پياده‌ساز ‌‬
‫نياز باشد كه برون رفت‬
‫بستر سخت‌افزاري‌ ‌و نرم‌افزاري‌ پيشرفته ‌‬
‫‌‬
‫=======<‪.‬‬
History
‫انواع بهینه‬
‫سازی‬
‫‪Off –line‬‬
‫‪On-line‬‬
‫بهینه سازی ‪Off-line‬‬
‫• مسئله مجزاي ‌از سيستم مطرح مي‌شود‪.‬‬
‫• ارتباطي بین تغيیرات ‌و شرايط کنوني سيستم با مسئله وجود ندارد‪ ،‬به‬
‫دار است‪.‬‬
‫ساختار ايستا ‌و ثابت برخور ‌‬
‫‌‬
‫ديگر مسئله ‌از يک‬
‫عبارت ‌‬
‫بهینه سازی ‪On-line‬‬
‫• مسئله به علت تعامل با سيستم مورد نظر داراي ماهيت متغیر‬
‫مي‌باشد و به شرايط و تغيیرات سيستم وابسته است ‪.‬‬
‫• از داده‌هاي موجود در سيستم براي طرح و تعريف مسئله استفاده‬
‫مي‌کند ‪.‬‬
‫ي ‪: On-line‬‬
‫در بخش بهينه‌ساز ‌‬
‫‌‬
‫در هرلحظه باتوجه به شرايط ‌از‬
‫‪‬سرعت ‌و دقت براي پيداکردن نقاط بهينة فرآيند ‌‬
‫دار مي‌باشد‪.‬‬
‫اهميت مضاعفي برخور ‌‬
‫گیر مورد‬
‫در عین حال فرا ‌‬
‫‪ ‬بکارگیري‌ کامپيوترهاي سريع ‌و ارائه مسئله‌اي استاندارد ‌و ‌‬
‫توجه قر ‌ار مي‌گیرد ‪.‬‬
‫براي اجتناب از معادالت پيچيده فعاليت هاي زير را انجام مي دهيم‪:‬‬
‫‪ -1‬فرضهاي ساده کننده و معقول‬
‫‪ -2‬برخي چشم پوش يها و صرفنظر کردنها‬
‫‪ -3‬تقريب و خطي سازي مدل‬
‫زیر بخش های سیستم بهینهسازي ‪on-line‬‬
‫سیستم بهینه‬
‫سازی ‪On-line‬‬
‫بخش فرآیند‬
‫بخش کنترل‬
‫بخش بهینه‬
‫سازی‬
‫مراحل کار‬
‫‌گیرند ‪.‬‬
‫کار مي ‌‬
‫در حال ‌‬
‫مقادير متغیرها را ‌از فرآيند ‌‬
‫‌‬
‫‪ ‬ابتدا سنسورها‬
‫‪ ‬بعد از حذف اغتشاشات به عنوان پارامترهاي ورودي بهينه‌گر مورد‬
‫استفاده قر ‌ار مي‌گیرند‪.‬‬
‫فرآيند تعيین‬
‫‌گر بهترين جواب ممکن را با توجه به شرايط کاري‌ ‌‬
‫‪ ‬بهينه ‌‬
‫در آمده‬
‫در کنتر ‌ل کننده‌ها ‌‬
‫مقادير پايا ‌‬
‫‌‬
‫مي‌کند ‌و اين جواب به عنوان‬
‫‌و به فرآيند برمي‌گردد‪.‬‬
‫گامهاي بهینهسازي ‪On-Line‬‬
‫گامهاي بهينهسازي ‪ On-line‬عبارتند از‪:‬‬
‫مرحلة ‪ :1‬شناسايي حالت ماندگار‬
‫مرحلة ‪ :2‬اعتبار سنجي داده و مصالحه در مسئله‬
‫مرحلة ‪ :3‬تخمین پارامتر‬
‫مرحلة ‪ :4‬بهينه سازي‬
‫مرحلة ‪ :5‬اعمال نتيجه جهت بدست آوردن سيستم بهينه‬
‫مراحل فرمول بندي و حل مسائل بهینهسازي ‪On-Line‬‬
‫مرحله‪ :1‬شناسايي متغیرهاي فرآيند‬
‫مرحله‪ :2‬انتخاب تابع هدف‬
‫مرحله‪ :3‬توسعة مدل فرآيند و توصيف قيود‪.‬‬
‫مرحله‪ :4‬ساده‌سازي مدل و تابع هدف‬
‫مرحله‪ :5‬محاسبة نقطة بهينه‬
‫مرحله‪ :6‬انجام بررس ي‌هاي حساسيت‬
Management objectives
AUTOMATION
AREA
Process simulation
Model
Feedstock selection,Pricing,
Purchasing, Logistic
Product opportunities,
sales, pricing, Logistics
Performance
Monitoring
Planning
Accruing
Scheduling
Data Reconciliation
(DR)
Historian
Interface
Central
Historian
On-line Optimization
Historian nterface
APC layer
Historian
Interface
DCS
DCS layer
DCS
Physical
Processing Unit
Physical Plant
layer
Physical
Processing Unit
MVC/APC
MVC/APC
BUSINESS DOMAIN OBJECTIVES
SUPPLY CHAIN
MANAGEMENT
ENTERPRISE
RESOURCE
PLANNING
CONTROL HIERARCHY TYPICAL
TIMING
Typical Cost/Benefit Relation due to Plant
Domain Automation based on
Automation Level
‫موارد مورد نیازبرای مسائل کنترل بهينه‬
‫• معادالت سیستم‬
‫• بازه بردارهای مجاز کنترل‌‬
‫•محدودیت های بر روی مسئله‬
‫•شاخص عملکرد‬
‫•پارامترهای سیستم‬
‫حل مسئله کنترل بهینه‪ ،‬تعیین بردار کنترل بهینه )‪ u(k‬در میان بازه بردارهای مجاز‬
‫کنترل است‪ .‬این بردار به عوامل زیر بستگی دارد ‪:‬‬
‫‪‬ماهیت شاخص عملکرد‬
‫‪‬ماهیت محدودیت ها‬
‫‪‬حالت اولیه یا خروجی اولیه‬
‫‪‬حالت مطلوب یا خروجی مطلوب‬
‫هدف در کنترل بهينه بدست آوردن سيگنال کنترل بهينه‬
‫است‪.‬‬
‫منظور از بهينه كردن‪ ،‬ممكن است كمينه سازي يا بيشنه‬
‫سازي باشد‪.‬‬
‫در اتوماسيون صنعتي‪:‬‬
‫کنترل‌ کننده‌اي متناسب با نوع فرآيند استفاده می شود که‪:‬‬
‫ي مي کند‬
‫‪‬عملکرد مطلوب را براي فرآيند پيگیر ‌‬
‫‪‬پارامترهاي كنترل‌كننده‌ بايستي با توجه به تغيیرات سيستم‬
‫كار با يك عمليات بهينهسازي ‌بر‬
‫مجددا‌ تنظيم شوند که اين ‌‬
‫روي كنترل‌كننده صورت مي‌پذيرد‪.‬‬
‫ي با توجه به ساختار‬
‫‪‬طو ‌ل بازة تعريف شده براي بهينه ساز ‌‬
‫‪ On Line‬مي‌بايست مورد توجه قر ‌ار گیرد‪.‬‬
‫انواع متعارف مسائل بهینهسازي در‬
‫اتوماسیون صنعتي‬
‫‪ -1‬شرايط عملياتي‪ :‬دماي راکتور‌‬
‫ي سوخت‪ ،‬انتخاب خوراک موجود‬
‫‪ -2‬تخصيص‪ :‬بکارگیر ‌‬
‫ي‬
‫ي‪ :‬تمیزکار ‌‬
‫‪ -3‬طرح ريز ‌‬
‫جايگاه بهينهسازي بهنگام در اتوماسيون صنعتي‬
‫باتوجه به تغيیر پارامترهاي پوياي‬
‫فرآيند در طول زمان و غیرخطي‬
‫بودن و متغیر با زمان بودن‬
‫سيستم‬
‫دستيابي به توليد‬
‫محصول با خلوص‬
‫بيشتر و بازدهي‬
‫باالتر‬
‫گسترش بهينهسازي ‪On-line‬‬
‫در نگاهي فراتر از کنترل فرآيند که بحث در مورد غلبه بر اغتشاش و نوع تغيیر‬
‫نقطة پاياي فرآيند مورد توجه قرار ميگیرد بهينهسازي بهنگام براي محاسبة‬
‫مجدد نقطة بهينه‬
‫در شرايط جاري مطرح ميشود که با توجه به‬
‫نيازمندي هاي سيستم و مسئله مي تواند از يک ساعت تا يک روز باشد‪.‬‬
‫بنابراين در اين سطح به حل تکراري يک مسئله بهينهسازي حات‬
‫ماندگار مقيد روي ميآوريم‬
‫مثال‪ :‬توابع‌هدف‌در‌صنايع‌پتروشيمي‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫کمينه‌سازي مصرف انرژي‬
‫کمينه‌سازي حداکثر نياز خنک‌سازي‌‬
‫کمينه‌سازي فشار‬
‫بيشينه‌سازي میزان جداسازي‌‬
‫کمينه‌سازي ضايعات و مواد مضر و ‪...‬‬
‫بررس ي توابع معيار(شاخص عملكرد)‬
‫• مسئله حداقل زمان‬
‫• مسئله کنترل وضعيت نهايي‬
‫• مسئله کنترل حداقل تالش‬
‫• مسئله تعقيب و رديابي‬
‫• مسئله تنظيم کننده‬
‫مسئله حداقل زمان‬
‫• برای انتقال سیستمی از شرایط اولیه دلخواه به یک‬
‫مجموعه هدف ‪ S‬در حداقل زمان‪ ،‬تابعی معیاری که‬
‫باید حداقل شود را به صورت زیر در نظر می گیریم‪.‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t0 ‬‬
‫‪ tf‬‬
‫‪J‬‬
‫مسئله کنترل حداقل تالش‬
‫در واقع منظور‌ ‌از مسئله کنتر ‌ل حداقل تالش‪ ،‬انتقال سیستمی ‌از یک‬
‫• ‌‬
‫‪x (t 0 )  x 0‬به مجموعه هدف مشخص شده با‬
‫وضعیت اولیه‬
‫مصرف حداقل نیروی کنتر ‌ل می باشد‪.‬‬
‫معیار برای حداقل کردن مصرف سوخت‬
‫‌‬
‫• به عنوان نمونه‪ ،‬تابعی‬
‫‪tf‬‬
‫‪u (t ) d t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪J ‬‬
‫مسئله تعقيب و رديابي‬
‫نزدیک کردن و نگه داشتن حالت های سیستم (‬
‫وضعیت مطلوب‬
‫در ‪x‬بازه ی زمانی‬
‫) ‪(t‬‬
‫‪d‬‬
‫حد( ‪x‬ممکن به‬
‫) تا ) ‪t‬‬
‫‪f ‬را‪t 0 , t‬‬
‫مسئله ردیابی(تعقیب) گویند‪.‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪Q (t‬‬
‫)‪Q(t‬ویژگی های ماتریس ‪:‬‬
‫‪ -1‬ماتریس حقیقی و متقارن است‪.‬‬
‫‪ -2‬یک ماتریس نیمه معین مثبت است‪.‬‬
‫) ‪x (t )  x d (t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪J ‬‬
‫مسئله کنترل وضعيت نهايي‬
‫هدف‪ ،‬حداقل کردن انحراف وضعیت نهایی سیستم از یک مقدار‬
‫مطلوب‬
‫باشد(‪x .‬‬
‫می ) ‪t‬‬
‫تابع معیار با توجه به این هدف‪ ،‬به صورت زیر است‪:‬‬
‫‪f‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫]) ‪)  x di ( t f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ [ x (t‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪J ‬‬
‫مسئله تنظيم کننده‬
‫مسئله تنظیم کننده در واقع حالت خاص مسئله ردیابی(تعقیب‬
‫کننده) است که تمام حالت های مورد نظر سیستم باید به صفر‬
‫ختم شوند‪.‬‬
‫)] ‪( x d ( t )  0 fo r a ll t  [ t 0 , t f‬‬
‫نمايش کلي تابعي معيار‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ g ( x ( t ), u ( t ), t ) dt‬‬
‫‪) ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪), t‬‬
‫‪f‬‬
‫‪J  h ( x (t‬‬
‫‪t0‬‬
‫زماني که مي گوييم سيگنال کنترل بهينه *‬
‫‪u‬‬
‫معيار ‪J ( x‬‬
‫سبب مي شود که تابعي )‬
‫حداقل شود‪ ،‬بدان‬
‫معني است که نامساوي زير هميشه برقرار باشد‪.‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪ g ( x ( t ), u ( t ), t ) dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪g ( x ( t ), u ( t ), t ) dt  h ( x ( t f ), t f ) ‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h ( x ( t f ), t f ) ‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪J‬‬
‫‪‬مدل رياض ي يك مسئله كنترل بهينه در حالت كلي‪:‬‬
‫‪or t o  t  t f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ( t )  a ( x ( t ), u ( t ), t )  t  t o‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪‬سيگنال كنترلي كه‬
‫‪‬‬
‫در تمام مدت ‪t f‬‬
‫‪ t o‬در محدوديت هاي‬
‫كنترل صدق نمايد‪ ،‬به كنترل قابل قبول معروف است‪.‬‬
‫تابعي معيار را با‬
‫) ‪J(X‬‬
‫نمايش مي دهند‪ ،‬تابعي معيار در نهايت يک عدد‬
‫حقيقي نتيجه مي دهد که يک معيار مقايسه است‪.‬‬
• The resulting system is termed optimal with
respect to the selection criteria.
Parameter Adjuster
system
Performance
index
37
Simplified description of a control system
38
Performance Indices
Elevator
39
Elevator input and output
When the fourth floor button is pressed on the first floor, the elevator rises to
the fourth floor with a speed and floor level accuracy designed for passenger
comfort.
40
Push of the fourth-floor button is an input that
represent a desired output, shown as a step
function.
41
Transient response
Passenger comfort and passenger patience are
dependent upon the transient response.
If this response is too fast, passenger comfort is
sacrificed; if too slow, passenger patience is
sacrificed.
42
Steady-state error
Passenger safety and convenience would be
sacrificed if the elevator is not properly level.
43
Response of the system
44
ISE - Integral of Square of Error
T
I1 

2
e step ( t )dt
0
45
The Integral Squared Error
T
I1 
e
2
( t )dt
0
46
Example 1:
Mason’s Rule:
Error
transmittance:
Error to step input:
Error signal:
Error square:
Integral square error :
Example 2:
IAE - Integral of the Absolute Magnitude of the
Error
T
I2 

e ( t ) dt
0

52
ITAE - Integral of Time Multiplied by Absolute
Error
T
I3 
 t e( t ) dt
0

53
ITSE - Integral of Time Multiplied by Squared
Error
T
I4 
 te
2
(t )dt
0

54
General form of the performance integral
T
I

f [e( t ), r( t ), c (( t ), t ]dt
0

55
In general:
T
ISE 
e
2
T
( t ) dt
IAE 
 | e ( t ) | dt
0
T
T
ITAE 
0
 t | e ( t ) | dt
ITSE 
0
 te ( t ) dt
2
0
T
I 

f ( e ( t ), r ( t ), y ( t ), t ) dt
0
56
T ( s) 
1
Performance criteria
s  2 s  1
2
57
58
• Steady-state tracking &
sys. types
Steady-State Error
Steady-state error is defined as the difference between the
input and output of a system in the limit as time goes to
infinity
(i.e. when the response has reached the steady state).
The steady-state error will depend on the type of input
(step, ramp, etc) as well as the system type (0, I, or II).
Note: Steady-state error analysis is only useful for stable
systems. It is your responsibility to check the system for
stability before performing a steady-state error analysis.
Many of the techniques that we present will give an answer
even if the system is unstable; obviously this answer is
meaningless for an unstable system.
Calculating steady-state errors
Before talking about the relationships between steady-state
error and system type, we will show how to calculate error
regardless of system type or input.
Then, we will start deriving formulas we will apply when we
perform a steady state-error analysis.
Steady-state error can be calculated from the open or closedloop transfer function for unity feedback systems.
The Different Errors
Percent Overshoot
Settling Time
Rise Time
Steady-State Error
Calculating steady-state errors
Steady-state error can be calculated from the open or closedloop transfer function for unity feedback systems.
For example, let's say that we have the following system:
which is equivalent to the following system:
We can calculate the steady state error for this system from
either the open or closed-loop transfer function using the final
value theorem (remember that this theorem can only be
applied if the denominator has no poles in the right-half
plane):
Now, let's plug in the Laplace transforms for different inputs
and find equations to calculate steady-state errors from openloop transfer functions given different inputs:
•Step Input (R(s) = 1/s):
•Ramp Input (R(s) = 1/s2):
•Parabolic Input (R(s) = 1/s3):
Lastly, we can calculate steady-state error for non-unity feedback
systems:
By manipulating the blocks, we can model the system as follows:
Now, simply apply the equations we talked about above.
In General:
• Unity feedback control:
+
r(s)
e
C(s)
plant
y(s)
G(s)
-

r(s)
+
e
-
Go.l.(s)
y(s)
y(s)
r (s)
y(s)
e(s)

G ol
1  G ol
 G o .l . ( s ) is the open loop T.F. from e to y
i.e. cut loop open, & get T.F.
 G o .l . can always be factored into :
G o .l . 

K (T a s  1)( T b s  1)  (T m s  1)
s (T1 s  1)( T 2 s  1)  (T p s  1)
N
bm s
s  a n 1 s
n
N 0
N  pn
K 
n 1
m
   b1 s  b 0
   a N 1 s
N 1
 aN s
N
   a1 s  a 0
a N 1  a 1 , a 0  0
but a N  0
b0
aN
If N  0 , need b 0  0 , otherwise
bm  0
can cancel an s.
 closed - loop : y ( s ) 
 tracking
G o .l . ( s )
1  G o .l . ( s )
R (s)
error : e ( s )  R ( s )  y ( s ) 
 steady - state tracking
s 0
 For step input : R ( s ) 
sR ( s )
1  G o .l . ( s )
1
s
1
1  G o .l . ( s )
1  G o .l . ( s )
:
e ( t   )  e ss  lim se ( s ) 
e ss to step 
1

s0
1
1 K p
s0
R (s)
denote
K p  lim G o .l . ( s )  G o .l . ( 0 )
s 0

called static position error const.
Then e ss to step 
1
1 K p
( here use small p, not to be confused
with proportion al control K P )
 If N  0 , the system is called " type 0" with respect to r,
K p  G o .l . ( 0 ) 
b0
a0
finite
e ss 
1
1 K p
1

1
0
b0
a0
 type 0 system can track a step input with non - zero e ss .
 If N  1, or 2, or larger
system is called type 1, or type 2, 
K p  G o .l . ( 0 ) 
b0

a0

a0  0
e ss to step 
1
1 K p
0
 A system of type 1 or higher can track a step input with zero e ss .
For unit step input :
e ss
 1

 1  b0

a0

 0
for type 0
for type 1 or higher
If step is not unit : r ( s ) 
R
, then
s
e ss
 1
R

 1  b0

a0

 0
for type 0
for type 1 or higher
If r ( s ) is unit ramp :
r (s) 
1
s
2
e ss to ramp  lim
sr ( s )
s 0
s
1  G ol ( s )
1
t
2
1
s
 lim
 lim
s 0 1  G ( s )
s  0 s  sG
(s)
ol
ol
 lim
s 0
1
sG ol ( s )
r(t)

1
Kv
denote : K v  lim sG ol ( s )
s 0
called static velocity
error const
 For type 0 system,
N  0 , a 0  0 , b0  0
b m s    b1 s  b 0
m
K v  lim s
s 0
 lim s 
s 0
b0
s    a1 s  a 0
n
0
a0
 e ss to ramp 
1

Kv
 type 0 system can not track a ramp input signal.
 For type 1: N  1, a 0  0 , a 1  0 , b 0  0!
K v  lim s
s 0
 lim
s 0
bm s
s
m
n 1
bm s
m
   b1 s  b 0
s    a1 s  a 0
n
   b1 s  b 0
   a 2 s  a1
 e ss to ramp 
1

b0
finite,  0
a1
 0 , finite
Kv
 type 1 system tracks ramp with
non - zero steady state error e ss .
 For type 2 or higher, N  2 , 3 , 
a 0  a1  0 , b0  0
K v  lim s
s 0
m
bm s
   b1 s  b 0
s    a 3 s  a 2 s  a1 s  a 0
     

n
3
2
cancel ones still has s as a f actor
bm s
 lim
s 0
s
n 1
m
   b1 s  b 0
   a3s  a2 s
 e ss to ramp 
2
1
0

0
Kv
 type 2 or higher system can track
a ramp input with no e ss .
 For unit ramp input :
e ss


a1
 1


b0
Kv
0

if type  0
if type  1
if type  2
If ramp is not unit, r ( s ) 
R
s
then : e ss 
1
Kv
R
2
if type  1
 unit accelerati on input : r ( s ) 
1
s
r (t ) 
1
3
t  1( t )
2
2
e ss to acc
r(t)
e ss
0
s
sr ( s )
1
3
s
 lim
 lim
s 0 1  G (s)
s 0 1  G ( s )
t
 lim
s 0
1
s  s G (s)
2
2
 lim
s 0
1
2
s G (s)

1
Ka
K a  lim sG ( s ) is the accelerati on error constant.
s 0
 For type 0 system, no factor of s in den. a 0  0
 K a  lim s
2
 lim s 
s 0
b0
m
   b1 s  b 0
s    a1 s  a 0
n
s 0
2
bm s
0
a0
 e ss to acc 
1
Ka

 For type 1 system, one factor of
1
in G ( s ).
s
i.e. one factor of s in den.
i.e. a 0  0 , bu a 1  0
 K a  lim s
2
s 0
 lim s 
s 0
b0
bm s
m
   b1 s  b 0
s  a n 1 s
n
n 1
  a1 s  a 0
0
a1
 e ss to acc 
1

Ka
 type 0 or 1 system can' t tract acc. sig.
 type 2 : N  2 , two factors of
1
in G
s
or, two factors of s in den.
or a 0  0 , a 1  0 , a 2  0
 K a  lim s
2
s 0

b0
a2
bm s
m
   b1 s  b 0
s  a n 1 s
n
n 1
  a2s
2
 0   ( b 0  0 )
 e ss to acc 
1
Ka

a2
0
b0
 type 2 system can tract acc sig. with finite s.s. error.
 type 3 or higher
N 3
a 0  a1  a 2  0 , b0  0
K a  lim s
s 0

b0
2
bm s
m
   b1 s  b 0
s  a n 1 s
n
n 1
  a3s
3

0
 e ss to acc 
1
0
Ka
 type 3 or higher syst. can tract acc sig. with no s.s. error.
 summary
e ss
for acc. input :


a2
 1
to acc  

b0
Ka
0

If not unit acc, rather : A 
if type  0,1
if type  2
if type  3
1
2
t 1( t )
2
then, e ss needs to be multiplied
by A.
 Caution :
 seems like larger typer  better tracting.
 but type 2 or higher system are difficult to stabilize.
sys.
type
ref.
input
type 0
(N=0 a0≠0)
r(t)=R·1(t)
r(s)=R/s
r(t)=R·t·1(t)
r(s)=R/s2
r(t)=R·1/2·t2
r(s)=R/s3
Kp=b0/a0
ess=R/(1+Kp)
Kv=0
ess=∞
Ka=0
ess=∞
Kv=b0/a1
ess=R/Kv
Ka=0
ess=∞
type 1
Kp= ∞
(N=1 a0=0 a1≠0 ess=0
b0≠0 )
type 2, N=2
a0=a1=0
a2≠0,b0≠0
Kp= ∞
ess=0
Kv= ∞
ess=0
Kp=b0/a2
ess=R/Ka
type≥3, N ≥ 3
a0=a1=a2=0
b0≠0
Kp= ∞
ess=0
Kv= ∞
ess=0
Ka= ∞
ess=0
Example of tank
+
K p control :
H (s) 
-
R
RAs  1
, C (s)  K p
G o .l . ( s )  C ( s ) H ( s ) 
K
p
K pR
RAs  1
, N  0 type 0
 G (0)  K p R , K v  K a  0
e ss to step 
C
1

1 K p
e ss to ramp   
e ss to acc   
1
Kv
1
Ka
1
1 K pR
H
PI control : same H ( s ),
KI
but C ( s )  K p 

K ps  K I
s
G (s)  C (s)H (s) 
s
(K ps  K I )R
s ( RAs  1)
one factor of s in den, N  type  1
K p   , K v  lim sG ( s )  K I R , K a  0
s 0
e ss to step 
1
1 K p
e ss to ramp 
e ss to acc 
1

Kv
1
Ka

0
1
KIR
Key to steady state tracking is sys. type.
sys. type w.r.t. r ( s ) is  #
1
in G ( s )
s
i.e. #
1
in the open loop T.F.
s
#
1
r(s)
in the path from e following
+
the loop to the
s
e.g.
+
r(s)
e
-
count #
1
s
Kps+KI
ωn2
1
s
s(s+2ξ ωn)
Ts+1
in path : 2  type 2 w.r.t. r ( s )
example
G (s) 
K ( s  3 . 15 )
s ( s  1 . 5 )( s  0 . 5 )
find system type, error constants
& steady state error to step. ramp. acc.
Note : No input or dist. specified.
Take default :
e(s)
r(s)
there is one
y(s)
G(s)
1
s
, type  1
K p   for type 1
K v  lim sG ( s ) 
s 0
K  3 . 15
1 .5  0 .5
K a  0 for type 1
e ss to step  0 for type 1
e ss to acc   for type 1
e ss to ramp 
1
Kv

1
4 .2 K
 4 .2 K
Example
#
1
: G (s) 
5 ( s  1)
s ( s  12 )( s  5 )
2
 2, type  2
s
 K p  , K v  
 type  2
 e ss to step  0 
  type  2
e ss to ramp  0 
K a  lim s G ( s ) 
2
s 0
e ss to acc 
1
Ka
5 1
12  5
 12

1
12

similar documents