Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK

Report
Probestudium
Graphentheorie
Die Mathematik von FACEBOOK
Konstantinos Panagiotou
Organisatorisches
Das Team
Benedikt Stufler
Robert Graf
Tobias Ried
Iosif Petrakis
Manuel Wickmann
Ronja Kuhne
Alexisz Gaal
Michael Wolff
Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…!
Die Geburtsstunde der
Graphentheorie
Vor vielen Jahren …
• Populäres Puzzle (~1700): ist es möglich durch die Stadt zu
laufen, so dass man jede Brücke genau einmal überquert?
• Ist es wichtig, wie breit der Fluss ist?
• Ist es wichtig, wie groß die Insel ist?
• Ist es wichtig, dass die Brücke aus
Stein gebaut ist?
• Ist es wichtig, ob es regnet?
• Was ist wichtig?
Andere Beispiele
• Kann man eine gegebene
Figur zeichnen, ohne den
Stift abzusetzen und ohne
eine Linie doppelt zu
ziehen?
Euler
• Euler‘s Kommentar:
„Was dieses Problem angeht, so kann
es gelöst werden, indem alle
möglichen Wege ausprobiert werden,
um herauszufinden ob es einen gibt
der den Anforderungen genügt.
Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese
Vorgehensweise schwer und
umfangreich, und in anderen Fällen,
mit mehr Brücken, wäre sie
unmöglich.“
Nur eine Spielerei?
• Problem in der Logistik:
– Post
– Müllabfuhr
–…
• Viele weitere Anwendungen:
– Gentechnologie: Sequenzierung
–…
 Euler‘s Problem
Ein ähnliches Problem
• Ein Reisender möchte bestimmte Städte
besuchen
• Er kennt die Verbindungen zwischen den
Städten
• Am Schluss möchte er wieder an seinem
Ausgangsort ankommen
• Er will keine Stadt mehrmals besuchen
Was ist (nicht) wichtig?
Beispiele
Ursprung
Wie macht man das?
„[…] so kann es
gelöst werden,
indem alle
möglichen Wege
ausprobiert
werden, um
herauszufinden
[…]“ (Euler)
…
• Es gibt insgesamt n Städte
• Die Städte sind komplett
miteinander verbunden
• Jede Verbindung hat
ein unterschiedliches Gewicht
• Möglicher Lösungsansatz:
vollständige Aufzählung aller
möglichen Wege!
• Wieviel Zeit braucht ein
heutiger Computer?
Zeit?
• Zeit = Anzahl Wege * t, wobei
– t = Zeit, um die Länge des Weges zu berechnen
• Nehmen wir mal an, dass t sehr klein ist:
1/1.000.000 Sekunden
• Was ist die Anzahl Wege?
Anzahl Wege
• Anzahl Wege =
Anzahl Mögl. den ersten Schritt zu machen
* Anzahl Mögl. den zweiten Schritt zu machen
…
* Anzahl Mögl. den i-ten Schritt zu machen
…
* Anzahl Mögl. den letzten Schritt zu machen
=
(n-1) * (n-2) *… * (n-i) * … * 1
= (n-1)!
Beispiele
•
•
„Weil die Anzahl Wege
n = 11: Die benötigte Zeit ist
groß ist, ist diese
– 10 * 9* 8* … *2*1 * t = 3628800*1/1000000 ~ 3 Sek.Vorgehensweise schwer
und umfangreich, und
in anderen Fällen, mit
n = 13:
mehr Brücken, wäre sie
– 12*11*…*2*1 * t ~ 360 Sek. (6 Minuten!)
unmöglich.“
• n = 16:
– 15*14*…*2*1 * t ~ 1.000.000 Sek (ca. 300 Stunden!!)
• n = 21:
– 20*19*….*2*1 * t ~ 2* 10 12 Sek. (ca. 700 Jahre!!!)
• n = 41
– 40*39*…*2*1 * t ~ …
(> Alter des Universums!!!!)
Ein Zuordnungsproblem
Nikolaus hat viele verschiedene Geschenke,
die er verteilen möchte.
Jedes Kind freut sich nur über bestimmte
Geschenke.
z.B. Peter freut sich über Modelleisenbahn,
Nintendo WII, aber nicht über Lego.
Problem: Wie soll der Nikolaus die Geschenke
verteilen (eins pro Kind), so dass möglichst
viele Kinder sich freuen?
Was ist (nicht) wichtig?
Eine abstrakte Sichtweise
Die Aufgabe vom Nikolaus:
Eisenbahn
Lego
Peter
WII
“Mache möglichst viele Kinder
glücklich und jedes Kind bekommt
höchstens ein Geschenk”
…
…
…
Kinder
Geschenke
= “Finde eine maximale Menge
von Verbindungen, so dass jeder
rote und blaue Punkt zu
höchstens einer gehört!”
Nur eine Spielerei?
• Welche Züge sollen welche Routen fahren?
• Welche Professoren sollen welche
Vorlesungen halten?
• Welche Zulieferer sollen welche Waren wo
liefern?
• …
Ein letztes Beispiel
• Experiment in den 60er Jahren,
durchgeführt von Stanley
Milgram
– Eine Person s erhielt einen Brief,
der an eine andere Person t
adressiert war
– Wichtige Informationen über t
wurden s mitgeteilt
– s konnte den Brief nur an
jemanden schicken, der/die
ihm/ihr persönlich bekannt war
1) Viele Briefe gingen
verloren
2) Mittlere Länge
einer erfolgreichen
Kette: 5.6
Fragen
• Warum existieren kurze Ketten?
• Wie können Individuen solche Ketten finden
(ohne alle Bekanntschaften zu kennen?)
• Heute:
Es gibt auch
deutlich längere
Ketten.
– Durchschnittliche Länge in Facebook: 4.7 (!)
– Yahoo! Labs Small World Experiment
– Ähnliche Eigenschaften in anderen Netzwerken:
Twitter, Youtube, …
Eine abstrakte Sichtweise
• Mitglieder von FACEBOOK: Punkte
• Freundschaft in FACEBOOK: Verbindung
• Wie sieht FACEBOOK aus?
FACEBOOK
Zusammenfassung
Euler’s Problem
FACEBOOK
Reisender
Zuordnungsproblem
Was haben diese Probleme
gemeinsam?
• Sie lassen sich durch sehr ähnliche (abstrakte)
Objekte beschreiben:
– Punkte
– Verbindungen
• Genau das sind Graphen…!

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