ve x - Başkent Üniversitesi

Report
TBF 121 - Genel Matematik I
DERS – 1 : Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Kümeler. Matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır.
Bu dersi alan öğrencilerin küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel
işlemleri bildiğini kabul ediyoruz.
b, K nın elemanı değildir.
a, K nın elemanıdır.
Küme: Nesneler topluluğu. Topluluktaki nesnelerden her birine kümenin
bir
elemanı denir.
, bK
aK
K : küme. a , b : nesneler.
Boş Küme: Hiç elemanı bulunmayan küme. 
Altküme: A  B ; A nın her elemanı B nin elemanıdır.
Eşit kümeler: Elemanları aynı olan kümeler. A = B  A  B ve B  A.
Küme gösterimi: Kümeler, elemanları { ve } işaretleri arasına listelenerek veya
elemanları tanımlanarak gösterilir.
• Türkçe alfabedeki ilk üç küçük harften oluşan küme : {a,b,c}
• 1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi : {1,2,3,4,5} = {x : 1  x  5}
Küme işlemleri: A ve B kümeler.
AB ={x : xA veya xB}
A B ={x : xA ve xB}
A \ B ={x : xA ve x  B}
A ve B nin birleşimi
A ve B nin kesişimi
A ve B nin farkı
Venn Çizelgeleri
a
A  K
A
b
aA
K
B
A
B
A
A B
AB
B
A
A\B
, bA
Sayılar. Matematiğin temel kavramlarından biri de sayı kavramıdır.
Bu dersi alan öğrencilerin sayı kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel
özellikleri bildiğini kabul ediyoruz.
Şimdi, ders içinde kullanacağımız gösterimleri tanıtacağız ve bu vesileyle sayılarla ilgili
temel özelliklerden bazılarını hatırlayacağız.
ℕ : doğal sayılar kümesi:
ℤ : tam sayılar kümesi:
1,2,3,...
. . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .
ℚ : rasyonel sayılar kümesi:
1
2
ℝ : reel sayılar kümesi:
;
5
7
; 1
1
; 1,33 ;  3
gibi
4
rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur.
ℝ \ ℚ: irrasyonel sayılar kümesi:
2 ; ;
3
2 ; e gibi
Bu dersi alan öğrencilerin reel sayıların dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme)
hakkında yeterince bilgi sahibi olduğunu kabul ediyoruz. Ayrıca, herhangi bir reel
sayının ya pozitif, ya negatif, ya da sıfır olduğunun bilindiğini kabul ediyoruz. Bununla
beraber, reel sayıların kökleri ile ilgili olarak birkaç hususu belirtmekte yarar görüyoruz.
m ϵ ℕ bir tek (çift olmayan) sayı ve x ϵ ℝ ise, x in m’inci mertebeden kökü, m’inci
kuvveti x olan sayıdır. Görüldüğü üzere, m ϵ ℕ tek ise, her reel sayının m’inci
mertebeden kökü vardır. Eğer m ϵ ℕ çift, x ϵ ℝ ve x negatif değilse, x in m’inci
mertebeden kökü, negatif olmayan ve m’inci kuvveti x olan sayıdır. Sadece negatif
olmayan sayıların çift mertebeden köklerinin tanımlandığına ve onların da köklerinin
negatif olmayan sayılar olduğuna dikkat ediniz. Negatif sayıların çift mertebeden kökleri
(reel sayı olarak) tanımlı değildir.
1
x reel sayısının m’inci mertebeden kökü,
x ϵ ℝ için
m
m
x
veya
x
m
ile gösterilir. Böylece, m ϵ ℕ ve
m
y
, m tek, y  x

m
x  y
, m çift, x  0, y  0, y  x
tanimsiz , m çift, x  0.

Bir sayının ikinci mertebeden köküne karekök, üçüncü mertebeden köküne de küpkök
denir. Karekök gösteriminde bir ayrıcalık vardır: x ϵ ℝ nin karekökü x ile gösterilir.
Şu örnekleri dikkatle inceleyiniz:
4  2,
0  0,
 1 tanimsiz,
3
8  2,
3
 8  2,
5
 1  1.
Reel Sayılarda Sıralama Bağıntısı : < . Herhangi bir reel sayının ya pozitif ya negatif ya da
sıfır olduğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildiğinde, eğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y
den küçüktür denir ve x < y yazılır.
x , y , z  ℝ için
• x < y ve y < z ise, x < z dir.
• x < y , x = y ve y < x ten bir ve yalnız biri geçerlidir.
• x < y ise, x + z < y + z dir.
• x < y ve 0 < z ise, x z < y z dir.
(x < y ve 0 > z ise, x z > y z dir. )
# Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y
sayısı x den büyüktür denir.
# x < y veya x = y ise, x  y ( veya y  x ) yazılır.
Mutlak Değer. x  ℝ nin mutlak değeri
 x
x 
 x
,
x0
,
x0
0 0
,
olarak tanımlanır.
Örnekler:
2 2
,
2  2 ,
3
4

3
4
Özellikler:
 Her x  ℝ
için
 Her x , y  ℝ
 Her x , y 
x 0 ;
için
ℝ için
 Her x , y  ℝ
için
x  0  x  0.
xy  x y .
x  y  x  y.
x y  x 

Üçgen Eşitsizlikleri
y.

Yukarıdaki ifadelerde de görüldüğü gibi, herhangi bir sayıyı veya daha genel olarak bir
kümenin herhangi bir elemanını göstermek için x, y, z, ... gibi harfler veya semboller
kullanırız. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya
sembole bir değişken denir.
Sigma Gösterimi. Bir n doğal sayısı için a1, a2, . . . , an reel sayıları verilmiş olsun.
Bu sayıların toplamı olan
a1+ a2+ . . . + an
n

toplamı için ∑ (sigma) gösterimi adı verilen
n

i 1
i 1
ai
gösterimi kullanılır:
ai  a1  a2    an .
Benzer şekilde, 1 ≤ k ≤ n olmak üzere,
ak+ ak+1+ . . . + an
n
toplamı için

i k
ai
n

gösterimi kullanılır:
i k
ai  ak  ak 1    an .
Sigma gösterimi ile ilgili birkaç özelliği aşağıya listeliyoruz.
n
• Her r reel sayısı için i 1
• Her r reel sayısı için
Örnekler.

4
i 1
n
r
n
• Her 1 ≤ k < n için  j 1
r  rn.
h1
i  1  2  3  4.
n
ah  
h1
(rah )

4
i 1
i 1
2
n
aj  
n
k
n
j 1
aj  
j  k 1
n
• i 1(ai  bi )  i 1 ai  i 1 bi .
 1  2  4  8.
3

k 1
k
k 1

1
2

2
3

3
4
.
aj
Denklemler ve Eşitsizlikler.
Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir
değişken denir.
Bu dersimizde, aksi belirtilmedikçe, değişkenler reel sayılar için kullanılacaktır.
Derslerimizde,
2
x  5  2x  1 0
örneklerinde olduğu gibi
çalışmamız gerekecektir.
2
x  5  2 x  10
;
değişkenler içeren denklem veya eşitsizlikler üzerinde
Bir denklem veya eşitsizliği sağlayan her sayıya o denklem veya eşitsizliğin bir çözümü
denir.
Örneğin, 5 sayısı yukarıda verilen denklemin; 2 sayısı da oradaki eşitsizliğin bir
çözümüdür:
5  5  2  5 10
2
;
2  5  2  2  10
2
Bir denklem veya eşitsizliğin tüm çözümlerinin oluşturduğu kümeye o denklem veya
eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
Örneğin, x2-5=2x+10 denkleminin çözüm kümesi {-3, 5} tir.
Eğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir.
Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir.
Bir denklemi (veya bir eşitsizliği) çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen
denklem (veya eşitsizlik), kendisine denk olan öyle bir dizi denklemle (veya eşitsizlikle)
değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin (veya eşitsizliğin) çözüm küme-sinin ne olduğu
kolayca görülebilmektedir.
Örnek. x2-5=2x+10 denkleminin çözümü :
x2-5=2x+10 ,
x2-2x-15=0 ,
(x+3)(x-5) =0.
Yukarıdaki denklemler dizisindeki her denklem diğerine denktir ve son denklemin çözüm
kümesinin {-3, 5} olduğu açıktır.
Lise bilgilerinizden, önceki örnekte ele alınan türden denklemlere ikinci dereceden
denklemler dendiğini anımsayınız.
İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c reel sayılar, a sıfırdan farklı olmak
üzere
ax2 + bx + c = 0
biçimindedir ve çözümleri aşağıdaki formülle elde edilir:
x
b
b
2
 4ac
2a
Önceki örnekteki x2-5=2x+10 denklemi x2-2x-15=0 biçiminde düzenlenince ikinci derece-den
bir denklem olur. Bu denkleminin çözümü :
x 
 ( 2 ) 
( 2 )
2
 4 .1 .( 15)
2 .1

2
64
2

x  3
Eşitsizliklerin çözümünü ileride ele alacağız.
veya
x  5.
Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi ℝ , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Başka bir
deyişle, reel sayılar sistemini, bir doğru üzerinde her noktaya bir reel sayı karşılık getirerek
koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokta(orijin ,
merkez) ve bir birim uzunluk işaretlendiği takdirde, doğru üzerindeki noktalar ile reel sayılar
sistemi arasında bire-bir bir eşleme elde edilir.
1
-3
-1
2
5
1
0
2
1
2
3
sayı ekseni
Orijin olarak işaretlenen nokta 0 (sıfır) sayısı ile, orijinin sağına doğru bir birim uzaklık-taki
nokta 1 (bir) sayısı ile eşlenir.
Üzerinde orijin ve birim uzunluk işaretlenmiş doğruya sayı ekseni denir.
Sayı ekseni üzerinde, bir a pozitif reel sayısı ile eşlenen nokta, orijinin sağ tarafında ve
orijinden a birim uzaklıktaki nokta; bir b negatif reel sayısı ile eşlenen nokta da orijinin sol
tarafında ve orijinden -b birim uzaklıktaki noktadır.
Sayı ekseni üzerinde bir noktanın eşlendiği sayıya o noktanın koordinatı denir. Böylece,
orijinin koordinatı 0; orijinin bir birim sağındaki noktanın koordinatı 1 dir. Yukarıda,
koordinatları -3, -1, -1/2, 1/2, 3 ve 5/2 olan noktaları işaretleyelim.
Sayı ekseni üzerinde koordinatı x olan noktaya gönderme yapılırken, bazen “x noktası”
deyimi kullanılır.
Örnek olarak, sayı ekseni üzerinde
8
noktası denince aşağıdaki şekilde görülen nokta
3
anlaşılır.
8
3
-3
0
1
2
3
ba
Sayı ekseni üzerinde a ve b noktaları arasındaki uzaklık
dır.
b
a

ba
Sayı ekseni üzerinde bakınca, x in mutlak değeri orijinden x e olan uzaklıktır.
-x
x
0
y
   
    

  

x
x
y x  x y
Aralıklar. Sayı ekseni kullanılarak her reel sayı kümesi sayı ekseni üzerinde noktalar
kümesi olarak gösterilebilir. Bunlardan en çok karşılaşacağımız küme türleri aralıklardır.
Aşağıda, aralıkların tanımlarını ve sayı ekseni üzerinde gösterilişlerini veriyoruz:
a
b
a, b   x : a  x  b
a
b
a, b  x : a  x  b
a
b
a, b  x : a  x  b
a
b
a, b   x : a  x  b
Örnek. Sayı ekseni üzerinde
-3
 1,1
-2
,
3 
 2 ,3 


-1
,
0
 3,2
1
,
7 
 2 ,4


2
aralıklarını işaretleyelim.
3
7
2
2
3
4
Sonsuzluk. Reel sayılar sistemi ℝ ye her reel sayıdan büyük olduğu kabul edilen  (sonsuz)
sembolü ve her reel sayıdan küçük olduğu kabul edilen - (eksi sonsuz) sembo-lü katılarak
sonsuz aralıklar tanımlanır:
 ,    x :   x  
a,    x : x  a
a,    x : x  a
 , a   x : x  a
 , a   x : x  a
a
a
a
a
Eşitsizlikler. Reel sayılar ile ilgili olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirle-menin
standart yöntemini daha önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bazı ör-nekler
vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden ifade edilebil-diğini
göreceğiz
Örnek. 2x + 1 < 0 eşitsizliğini düşünelim.
2x + 1 < 0  2x < -1  x < -1/2.
Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir ve son eşitsizliğin çözüm
kümesinin (- , -1/2) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi
gösterilebilir.
-1/2
0
1
Örnek. x2-5 < 2x+10 eşitsizliğinin çözümü :
x2-5 < 2x+10  x2-2x-15<0  (x+3)(x-5) <0
Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm
kümesinin (-3,5) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterile-bilir.
-3
5
0
Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken aşağıdaki tablodan yararlanılabilir:
-3
x
0
5
x3
- --
x5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - +0+ +
( x  3 )( x  5 )
0+ + +++++++++
+ + + 0 - - - - - - - - - - - +0+ +
Bazı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudan doğruya tablodan yararlanılarak buluna-bilir.
Örnek.
x 1
x 1
0
eşitsizliğini düşünelim.
x
-1
0
1
x 1
--------- --
x 1
- - - 0+ + + + + +
x 1
x 1
0+ +
+ + + - - - - - - - +0 +
Tablodan, çözüm kümesinin (-1,1] aralığı olduğu görülür ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki
gibi gösterilebilir:
-1
0
1
Mutlak değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zaman aralıklara karşılık gelir.
Örneğin,
x c

xa c
c xc

ac xac
-c
0
a-c
a
c
a+c
Düzlemde Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını genişleterek düzlemde ve uzayda noktalar
için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını tanımlamak
için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak yeterlidir.
Genellikle bu eksenlerden biri yatay diğeri de düşey olarak seçilir; yatay olan eksene xekseni , düşey olana y-ekseni denir.
y
Orijin
O
x
Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Kartezyen Koordinat Sistemi ,
eksenlerin kesim noktasına da bu sistemin orijini denir ve genellikle O harfi ile gösterilir.
x- ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır.
y
II
I
1
O
III
x
1
IV
Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem ya da kadran denir. Çeyrek düzlemler şekilde
görüldüğü gibi numaralanırlar.
Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri
arasında bire-bir bir eşleme olduğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel
sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta karşılık geldiği
gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri
ℝ2 = ℝℝ = {(a , b) : a , b  ℝ}
kümesinin elemanlarıdır.
Bu eşlemenin nasıl gerçekleştirildiğini şimdi göreceğiz.
Düzlemde bir noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi şöyle belirlenir:
y
b
(a,b)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
a
Verilen noktadan her iki eksene birer dikme indirilir.
x
x-eksenine indirilen dikmenin ayağı
bir a sayısına, y-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir b sayısına karşılık gelir.
Verilen noktaya karşılık gelen reel sayı ikilisi (a,b) dir.
a sayısına o noktanın x-koordinatı veya apsisi b sayısına da y-koordinatı veya ordinatı
denir.
Verilen bir (a,b) sıralı reel sayı ikilisine karşılık gelen noktayı bulmak için yukarıdaki işlem
tersine işletilir:
y
b
(0,0)
(a,b)
a
x
Daha açık bir ifadeyle, önce x-ekseni üzerinde a noktası ve y-ekseni üzerinde b noktası
bulunur ve sonra her iki noktadan ait oldukları eksene birer dikme çıkılır; bu dikmelerin kesim noktası, apsisi a ve ordinatı b olan noktadır.
Bundan böyle Kartezyen koordinat sistemi seçilmiş bir düzlemde bir noktayı o noktaya
karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi ile özdeşleyeceğiz; yani, (a,b) noktası denince, apsisi a
ve ordinatı b olan noktayı anlayacağız.
y
(2,3) noktası ...
(-2,3)
(2,3)
(-2,3) noktası ...
(-2,-3) noktası ...
(2,-3) noktası ...
(3,0) noktası ...
(0,-1) noktası ...
(-2,-3)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(0,-1)
(1,0)
(3,0)
(2,-3)
x
Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi seçmek ne işe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları
veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini
cebirsel yöntemlerle çözmemize ve karşıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik
olarak yorumlamamıza yardımcı olur.
Örneğin, düzlemde kenar uzunluğu 1 birim olan karesel bölge
y
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
1
1
x
uygun bir Kartezyen koordinat sistemi seçimi ile (yukarıda sağdaki şekle bakınız)
{(x,y)  ℝ2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}
nokta kümesi ile özdeşlenebilir.
Koordinat sistemi seçiminin sağladığı en önemli kolaylıklardan biri düzlemde iki nokta
arasındaki uzaklığın hesabıdır.
y
y
(x ,y)
d
y-b
b
(a,b)
(0,0)
d
2
d 
2
 ( x  a )  ( y  b)
(x  a)
2
a
x
x-a
2
 ( y  b)
2
Örnek. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık:
d 
( 5  1)
2
 (1  (  2 ))
2

16  9  5 .
x
İki değişkenli bir denklem; örneğin x2 + y2 = 1, verildiğinde, bu denklemi sağlayan reel sayı
ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sağlayan tüm (x , y) sayı
ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0) , ( 0,1) ,  3 , 4 
1 
 1
ve 
,

2
 2
5 5
sıralı ikililerinden her biri x2 + y2 = 1 denkleminin bir çözümüdür. Bu denk-
lemin çözüm kümesi Kartezyen düzlemde bir nokta kümesi olarak düşünülünce elde edilen
şekle o denklemin grafiği(grafik) denir.
Örnek. x2 + y2 = 1 denkleminin grafiği,
orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların
oluşturduğu şekildir ki buna Kartezyen
düzlemde birim çember denir.
y
(0,0)
(1,0)
x
x2 + y 2 = 1
Her hangi bir denklem veya bağıntı verildiğinde, o denklem veya bağıntının grafiğini çizmek
için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya bağıntıyı sağlayan –mümkün olduğunca çoknoktalar bulup o noktaları Kartezyen düzlemde işaretlemektir. İşaretlenen noktalar
yardımıyla, grafik tahmin edilmeğe çalışılır.
y
Örnek.
y = 10 - x2 denkleminin
grafiğini çizmek için bazı çözümler
bulalım ve Kartezyen düzlemde
işaretleyelim.
(0,10)
(1,9)
(2,6)
(-1,9)
(-2,6)
(3,1)
(-3,1)
x
(0,0)
Örnek. x2 + y2 < 1 in grafiği
y
y = 10 - x2
x2 + y2 < 1
(0,0)
(1,0)
x
x2 + y2 = 1
Düzlemde simetri. Düzlemde M ve N gibi iki nokta ile bir d doğrusu verilmiş olsun. Eğer d
doğrusu M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesi ise, M ve N noktaları d doğrusuna
göre simetrik noktalardır denir.
M
d
O
|OM|=|ON
|
N
Başka bir deyişle, M ve N nin d doğrusuna göre simetrik olmaları için gerek ve yeter koşul, d
doğrusunun M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçmesi ve o doğru
parçasına dik olmasıdır.
Eğer M ve N noktaları d doğrusuna göre simetrik noktalar ise, bu noktalardan her birine
diğerinin d doğrusuna göre simetrik eşi ya da yansıması denir.
y
Kartezyen düzlemde koordinat eksenleri
y=x
ve bazı doğrulara göre simetri, noktaların
(–x,y)
(x,y)
koordinatları cinsinden ifade edilebilir.
Örneğin, Kartezyen düzlemde
(y,x)
x
• (x,y) ve (x,–y) noktaları x–eksenine göre simetriktir.
• (x,y) ve (–x,y) noktaları y–eksenine göre simetriktir.
• (x,y) ve (y,x) noktaları y=x doğrusuna göre simetriktir.
(x, –y)
Düzlemde bir şeklin tüm noktalarının bir d doğrusuna göre yansımalarının (simetrik eşlerinin)
oluşturduğu şekle başlangıçtaki şeklin d doğrusuna göre yansıması denir.
Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) x–eksenine göre yansımaları
görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir.
y
y
x
y
x
x
Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y–eksenine göre yansımaları
görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir.
y
y
x
y
x
x
Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y=x doğrusuna göre yansımaları
görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir.
y
y
x
y
x
x
Eğer bir şeklin bir doğruya göre yansıması kendisi ile çakışırsa o şekil o doğruya göre
simetriktir denir.
Örnek. İlerde göreceğimiz mutlak değer fonksiyonunun grafiği ve kare fonksiyonunun
grafiği y–eksenine göre simetriktir. Birim çember hem x–eksenine, hem y–eksenine, hem
de y=x doğrusuna göre simetriktir.
Matematiksel Modelleme. Gerçek yaşamdan bir problemi çözmek veya bir olayı açıklamak için
matematik kullanılarak izlenen sürece matematiksel modelleme denir.
Matematiksel modelleme üç adımda gerçekleştirilir.
İlk adımda, problem veya olay tamamen matematiksel terimlerle yeniden ifade edilir. Yeni
ifadeye problemin veya olayın matematiksel modeli denir. Matematiksel model
oluşturulurken problemde veya olayda belirlenmesi istenen değer(ler) için değişken(ler)
atanır; problem veya olayın veri ve koşulları atanan değişken(ler) cinsinden denklem veya
eşitsizlikler olarak ifade edilir.
İkinci adımda, matematiksel model çözülür. Matematiksel modelin çözümü başlangıçtaki
gerçek yaşam probleminin çözümü veya olayın açıklanması hakkında fikir verir.
Üçüncü adımda, matematiksel modelin çözümü yorumlanarak, başlangıçtaki problemin
çözümü veya olayın açıklaması elde edilir.
Örnek. Toptan fındık ticareti yapan bir şirketin stoklarında kilogramı 7 TL den satışa
sunulmuş olan 50 ton fındık bulunmaktadır. Şirket, gelecek ay fiyata kilogram başına 0.50 TL
zam yapmaya karar vermiş olmakla beraber zam uygulanıncaya kadar satışlara devam
ediyor. Diğer yandan, şirket gelecek ayın sonunda fındık satışından kasasına en az 365000 TL
girmesini arzu ediyor. Stoktaki fındığın tamamının satılabileceği varsayı-larak, şirketin
arzusunun gerçekleşmesi için bu ay en çok kaç ton fındık satılmalıdır?
Örnek. Toptan fındık ticareti yapan bir şirketin stoklarında kilogramı 7 TL den satışa sunulmuş
olan 50 ton fındık bulunmaktadır. Şirket, gelecek ay fiyata kilogram başına 0.50 TL zam
yapmaya karar vermiş olmakla beraber zam uygulanıncaya kadar satışlara devam ediyor. Diğer
yandan, şirket gelecek ayın sonunda fındık satışından kasasına en az 365000 TL girmesini arzu
ediyor. Stoktaki fındığın tamamının satılabileceği varsayılarak, şirketin arzusunun
gerçekleşmesi için bu ay en çok kaç ton fındık satılmalıdır?
Çözüm. Bu ay ne kadar az fındık satılırsa gelecek ayın sonunda şirketin kasasına o kadar çok
para gireceğine dikkat edelim. Örneğin, fındığın tamamı gelecek ay satılsa, kasaya kilogramı 7.5
TL den, dolayısıyla tonu 7500 TL den 7500  50 = 375000 TL girer. Kasaya 365000 TL girmesi
durumunda da firmanın arzusu gerçekleşmiş olacağına göre, bu ay bir miktar fındık satılabilir.
Bu ay stoklardaki fındığın x tonu satılsın.
Bu durumda
7000x + 7500(50–x) = 365000
denklemi sağlanmalıdır.
Problemin matematiksel modeli:
“7000x +7500(50–x) = 365000 denklemini çözünüz.”
7000x +7500(50 – x) = 365000
 7000x + 375000 – 7500x = 365000
 375000 – 500x = 365000  375000 – 500x = 365000
 500x = 10000  x = 20.
Bu ay stoklardaki fındığın 20 tonu satılmalıdır.
Örnek. Bir taşıma şirketi 20 araçtan oluşan 240 ton taşıma kapasiteli bir taşıma filosu
oluşturmak için 6 tonluk, 9 tonluk ve 15 tonluk kamyonlardan her birinden en az 1 adet satın
alacaktır. Şirket bu filoyu her tür kamyondan kaçar adet satın alarak gerçekleştirebilir?
Çözüm. 240 ton taşıma kapasiteli filodaki 20 kamyondan kaçı 6 tonluk, kaçı 9 tonluk ve kaçı 15
tonluk olacak?
Satın alınacak 6 tonluk kamyon sayısına x, 9 tonluk kamyon sayısına y diyelim.
Toplam 20 kamyon satın alınacağından, satın alınacak 15 tonluk kamyon sayısı 20–(x + y)
olur ve aşağıdaki denklemler sağlanmalıdır:
6x+9y+15(20–(x+y))=300–9x–6y .
Bu denklem 300–9x–6y = 240 biçiminde düzenlenerek problemin matematiksel modeli
aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
“300–9x–6y = 240 denklemini çözünüz.”
300–9x–6y = 240 → 9x + 6y = 60 → 3x + 2y = 20 → 2y = 20 – 3x → y = 10 – (3/2)x.
Son denklemden görüyoruz ki, x ve y pozitif tamsayılar olacağından, x in aldığı değerler 2 nin
katı ve en çok 6 olmalıdır.
x in 2, 4 ve 6 değerleri için y = 10 –(3/2) x in alacağı değerler, sırasıyla, 7, 4 ve 1 dir.
Matematiksel modelin çözümü olan 3 tane (x,y) ikilisi vardır: (2,7), (4,4) ve (6,1).
Dolayısıyla, satın alma işlemi dört farklı biçimde gerçekleştirilebilir:
• 2 adet 6 tonluk, 7 adet 9 tonluk ve 20–(2+7)= 11 adet 15 tonluk kamyon.
• 4 adet 6 tonluk, 4 adet 9 tonluk ve 20–(4+4)= 12 adet 15 tonluk kamyon.
• 6 adet 6 tonluk, 1 adet 9 tonluk ve 20–(6+1)= 13 adet 15 tonluk kamyon.

similar documents