数学と工学

Report
数学と工学
F班
山本 竜馬 村田 里史
宮本 一希 松村 亮佑
佐藤 なぎさ 平川 稚菜美
概要
フーリエ変換とは何かを調査し、
目標: 誰にでも分かりやすい説明を行うこと
• フーリエ変換とは何か
• 情報処理の高速化
• フーリエ光学
について説明する。
プロジェクトの進め方
班を三つに分けてそれぞれで活動
・数学班・・・フーリエ変換の参考書を使い
問題を解く
・パソコン班・・具体的な利用例をインターネット
で調査
・応用班・・さまざまな視点から、フーリエを調査
苦労したところ
• 参考書に難解な表現が多く、いかにわかりや
すく伝えるかを何度も議論
• わかりやすくする過程で厳密な表現をあきら
めなければならないところがあり、それらのバ
ランスの調整
フーリエ変換とは
ある変数についての関数
(例:時間についての関数)
変換
別の変数の関数
(例:周波数についての関数)
フーリエ解析
Computer Tomography
CTスキャン
情報処理の高速化
フーリエ光学
工学・光学
ガントリー
寝台
回転
・ガントリー内にはX線管と
検出器が対向して配置
・被験者の周りを高速で
回転しながらX線を照射
X線管
検出器
人
CTスキャンとは・・・?
物体をさまざまな角度からX線で撮影
↓
再構成処理
↓
物体の内部構造を再現
レントゲンとの
違いは?
2次元ではなく立体的な
3次元の画像
なぜCTにフーリエ変換を使うか?
画像の再構成のみ・・・フーリエ変換は不必要
しかし
• 計算の実行にフーリエ変換を
導入することによる能率の向上
• データ処理の過程で行うフィルタリングの
説明にフーリエ変換を用いることによる
理論のスマート化
が期待できる
フーリエ変換の公式
フーリエ変換
F ( ) 
フーリエ逆変換
f ( x) 
1
2
1
2


f ( x )e
 i x
dx


 F ( )e

ix
d
例題
f(x)=1 (|x|≦ω)
f(x)=0 (|x|>ω)
のフーリエ変換を求めよ。
-
(解)
|x|≦ωのとき、偶関数なので
e
e
 i x
 cos  x  i sin  x
 i x
 cos  x
 


となる。
よってフーリエ変換の式より
F ( ) 



1
 cos  xdx
2
2


F ( )

 cos  xdx
0
2 sin 


 rad / s 
FFTについて
●DFT(離散フーリエ変換)
・・・信号波形を標本化・量子化して
コンピュータ上で扱えるようにする
●FFT(高速フーリエ変換)
・・・DFTをコンピュータを使って高速で
行えるようにしたもの
信号をコンピュータの中に持ち込むことで
高速に処理が行える!
実際の用例
• 信号解析
・・・入力波形の周波数成分を表示
高調波等の特性データを得られる
変換


無線、景気循環、・・・
• 画像処理
・・・畳み込み積分等の処理の簡略化
複雑な処理を、2値の乗算だけで表せる
・・・などなど
?
?
。。。とは言っても
数式だけでは難しい。
つまり、簡単に言えば。。。
レンズ
目に見えるフーリエ変換
レンズ前方
像の光波の
振幅分布
レンズ後方
高周波成分を
取り出した
振幅分布
(a)入力
(b)フーリエ変換
光学的に得られた文字「3」のフーリエ変換
出典「フーリエ光学【第3版】」Joseph.Goodman著
まとめ
成果報告会をお楽しみに!!

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