Presentation

Report
Structural Space Scaling
SHOJIMA Kojiro
The National Center for University Entrance Examinations
[email protected]
Purpose
•
•
•
•
MDSでは項目群は1つの空間Sにプロットされる
Sがいくつかの部分空間から成るとしたら?
部分空間間に構造(因果、影響)があったら?
Sの構造を仮説検証的(確認的)に同定したい
• 構造空間尺度法(structural space scaling)を提案
– 部分空間間の関係を記述するための確認的MDS
– パス図を使う
Path Diagram
• ノードとパス(無向、有向、双方向)を使って
変数間の関係を図示
– Graphical Models
– Structural Equation Models
– Beyesian Networks
Entire Space and Subspaces
4
η2
•
•
•
•
S
S2
3
2
1
S1
0
x8
x2
-1
x7
x6
x5
x3
x1
-2
x4
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
マップに8つの項目
S:全体の空間
S1とS2:部分空間
S1→S2という構造
Map→Path Diagram
4
3
η2
S2はf21とf22に
よって形成
i21
i22
0
x2
-1
S1はf11とf12に
-3
よって形成
1
3
3
-4
-4
-3
-2
12
-1
0
1
2
3
4
6
5
21
21
22
1
22
1
4
4
点O1(m11, m12)
6
21
22
12
f11
5
2
11
11
f21
x4
2
1
x5
x3
x1
O1
-2
x8
1
x7 f22
x6
2
1
1 = |1 1 |
f12
7
7
8
8
Exogenous and Endogenous Spaces
1
1
2
5
2
5
11
外生次元
11
外生空間
1
12
12
外生次元
3
3
4
4
21
22
1
1
6
6
21
内生次元
21
22
22
内生次元
7
7
8
8
内生空間
Path Diagram→Structural Coordinates
1
2
1
2
11
11
1
12
3
4
6
21
21
21
22
1
22
1
4
6
5
22
12
3
5
7
7
8
8
11
12
11
21
12
21
22
122
21
 =
32 =
3
44
55
66
77

8 8
11
12
21 12
22
12
21 
12
22 12
21 1
22 1 1
21
22 1
1
1
2

+ 2

+
3 3
4 4
5
6
5
6
7
8
11
12
11
11
21
12
12
21
22
22
1
1
12×8
2
12×8 2
+ 3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
7
8
8
8
=
+
+ 
 + 
Structural Coordinates→Measurement Coordinates
 =  +  ⇒  −   = 
 =  −  −1  = 
 =  = 
′
′ ′
 =   ( = ′)
′
′
′
 = diag ′  − 2 + diag 
 ,  = tr{  −  ′  −  }
G: 選択行列(selection matrix taking x out of t)
Φ: 内積構造(inner product structure)
Δ: 距離構造(distance structure, model distance)
D: 1-mode 2-way距離行列
′
 = ( −
−1
)
 =  = 
1
=
21
22
1
2
1
1
3
4
12×8
=
21
22
1
2
5 21
6 21
7 22
8 22
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
7
8
1
1
5
6
1
1
7
8
1
1
=
1
1
1
1
1
1
1
1
Measurement Coordinates→Distance Structure
 =  +  ⇒  −   = 
 =  −  −1  = 
 =  = 
′
′ ′
 =   ( = ′)
′
′
′
 = diag ′  − 2 + diag 
 ,  = tr{  −  ′  −  }
G: 選択行列(selection matrix taking x out of t)
Φ: 内積構造(inner product structure)
Δ: 距離構造(distance structure, model distance)
D: 1-mode 2-way距離行列
′
Φ: Inter-Subspace Inner Product Structure
1
′
11
12
 = ′ = 21
22
1
1
= 21
22
1
11
12
′
11
12
1
′
21 11
12
′
22 11
12
1
1
21 1
22 1
21
21 1
2
21
21 22
21
′
21 11
12
2
21
21 22
22
22 1
21 22
2
22
22
′
22 11
12
21 22
2
22

21
22
r1: f11とf12の内積

Measurement Equations→Distance Structure
 =  +  ⇒  −   = 
 =  −  −1  = 
 =  = 
′
′ ′
 =   ( = ′)
′
′
′
 = diag ′  − 2 + diag 
 ,  = tr{  −  ′  −  }
G: 選択行列(selection matrix taking x out of t)
Φ: 内積構造(inner product structure)
Δ: 距離構造(distance structure, model distance)
D: 1-mode 2-way距離行列
′
Goodness of Fit Indices
1
MD = ′  −  

RMSD =
1
tr

−
′
−
n: Number of Items
: Estimated Distance Structure
MD: Mean Difference
RMSD: Root Mean Squared Difference
Summary (1) SEM Approach in MDS
• Structural Space Scaling (SSS)を提案
– MDSにおいて部分空間間関係(inter-subspace
structure)を構造方程式とパス図で表現
– 座標を構造化→距離行列を構造化(距離構造)
– MDSにおける構造方程式アプローチ
– モデル適合度などを参考にモデル改善
• 具体的な推定手続きについては今後の課題
– 今回の例については再現を確認
Summary (2) Dimensionality
• 次元数について
– 通常のMDSでは2次元か3次元
– 実用上、4次元以上の空間にプロットしない
• データが4次元以上の構造を持つとき
– 2D (3D)空間に射影されたシルエットは
構造の実体に迫れない
• パス図は4次元以上の構造の視覚化に優れる
4次元以上の構造の記述がしやすい
Expansion to Asymmetric Structure
→
A1
A2
A3
B1
B2
B3
A1 A2
1
1
1 2
4 3
3 3
3 4
A3 B1 B2 B3
2 5 5 6
1 5 6 5
5 6 5 5.5
3
2 1
4 1
1
3 2 1
3.5
ご清聴ありがとうございました。

similar documents