Mõistete vahelistest seostest õpilaste mõtlemises

Report
Mõistete vahelistest seostest
õpilase mõtlemises
Märten Karm
Tartu Ülikool
1. november 2013
Mõistete olulisusest
• Mõisted matemaatikas palju kasutuses
• Matemaatika oskamise üheks eelduseks
orienteerumine mõistetes
• Milline on mõistete vaheliste seoste hulga
struktuur e mõistete seostumise struktuur?
Toetume mõnede autorite käsitlustele.
Mõtteskeemid (1)
• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’
mental models and schema activation during
geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.
• Õpilastel lasti lahendada üht geomeetria
ülesannet ja samal ajal mõttekäiku valjult
kommenteerida
• Ülesandes mitu geomeetrilisest objekti; mitmeti
lahendatav
• Analüüsiti, milliseid skeeme õpilased kasutasid.
• Skeem – ühe mõistega seotud informatsiooni
organiseerimiseks kasutatav andmete struktuur
Mõtteskeemid (2)
• Õpilased jaotati enne lahendamist kõrge ja
madala sooritusvõimega õpilasteks
• Aktiveeritud skeemide arv oli kõrgema
sooritusvõimega õpilastel kõrgem
• Madala sooritusvõimega õpilased rakendasid
skeeme juhuslikult, ülesande püstitust silmas
pidamata
• Võimekamate õpilaste käsutuses rohkem skeeme
ja need on keerukamad – mõistete vahelised
seosed tähenduslikumad ja nad on suutelised
ülesandeid sügavamalt analüüsima
Mõistekaart ja mõistete
seostumise struktuurid
• Mida kujutab endast üks keerukas mõistete seostumise
struktuur? Kuidas välja selgitada?
• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to
reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3),
127–142.
• Mõistekaart – joonis, kus mõisted on kirjutatud kastide
sisse ja omavahel ühendatud joontega, millele on kirjutatud
mõisteid siduvad fraasid
• Hay ja Kinchin jaotasid mõistete seostumise struktuurid
kolmeks:
– Kodarad (spokes)
– Ahelad (chains)
– Võrgustikud (networks)
Kodar
Aritmeetiline
jada
Jada üldliige
Geomeetrilise
jada summa
Konstantne jada
Jada
Kahanev jada
Aritmeetilise
jada summa
Geomeetriline
jada
Hääbuv
geomeetriline jada
Kasvav jada
Ahel
Jada
Jada üldliige
Aritmeetiline
jada
Aritmeetilise
jada summa
Geomeetriline
jada
Geomeetrilise
jada summa
Hääbuv
geomeetriline jada
Hääbuva geom
jada summa
Võrgustik
Aritmeetiline jada –
Iga liikme ja talle eeleva
liikme vahe jääv (d)
Aritm jada üldliige
 = 1 + ( − 1)
Aritm jada summa
1 + 
 =
∙
2
JADA
Muu jada
Jada üldliige
 = ()
Geomeetriline jada –
Iga liikme ja talle eelneva
liikme jagatis jääv (q)
Geom jada üldliige
 = 1 ∙  −1
Jada n esimese liikme summa
 = 1 + 2 + ⋯ + 
Geom jada summa
1 1 −  
 =
1−
Hääbuv geom
jada:  < 1
Hääbuva geom
jada summa
1
 =
1−
Mõistete seostumise struktuuri
tüüpide iseloomustus
• Kodar
– Õppeprotsessi alguse struktuur
– Lihtne täiustada
• Ahel
– Uued mõisted lisatavad vaid ahela lõppu
– Keskelt mõistete kustutamine lõhub struktuuri
– Ei ole hästi üldistatav ega ülekantav
• Võrgustik
– Eksperttase
– Sügav arusaamine avaldub seoste paljususes
– Stabiilne struktuur – lihtne täiustada üldist struktuuri
muutmata
Üleminek ühelt struktuuri tüübilt
teisele
• Õppimisprotsessi käigus teadmisi
viimistletakse, seega struktuur täiustub
• Kodar soodne pinnas õppimiseks – saab üle
minna nii ahelale kui võrgustikule
• Ahelalt võrgustikule on raske minna
• Ahel → kodar → võrgustik
Kolmnurga
lahendamine
sin  =
vastas
hüpot
cos  =
lähis
hüpot
vastas
tan  =
lähis

=
2
Pyth
teor
• Õpitakse siinus- ja koosinusteoreemi, uut pindala valemit
sin  =
vastas
hüpot
Siinusteoreem



=
=
sin  sin  sin 
lähis
cos  =
hüpot
=
Kolmnurga
lahendamine
1
 sin 
2
=

2
Pyth
teor
Koosinusteoreem
 2 = 2 + 2 − 2 cos 
vastas
tan  =
lähis
Kolmnurga
lahendamine
vastas
sin  =
hüpot
cos  =
lähis
hüpot
vastas
tan  =
lähis
Pythagorase
teoreem
=

2
Täisnurkne
kolmnurk
Suvaline
kolmnurk
Siinusteoreem



=
=
sin  sin  sin 
Koosinusteoreem
 2 = 2 + 2 − 2 cos 
1
 =  sin 
2
Mõistekaartide kasutamine
• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo‐Baker, S. (2008). Making learning
visible: the role of concept mapping in higher
education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.
• Mõistekaartide kasutamine:
– Õpilaste eelteadmiste väljaselgitamine
– Mõistete seostumise struktuuri muutumise
vaatlemine
• Mehaaniline õppimine struktuuri ei muuda, mõttega
õppimisel võib näiteks muutuda ahel võrgustikuks
• Struktuuri kadumise hetke äratabamine
– Õpetajapoolne teadmiste esitamine
Mõiste pildid
• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept
definition in mathematics with particular reference to limits
and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2),
151–169.
• Mõistete vaheliste seoste matemaatiline rangus ei kajastu
alati inimeste mõtlemises
• Mõtlemises tekivad seosed eelkõige kogemuslikul baasil
• Ühe mõistega assotsieerub (lisaks teistele mõistetele) hulk
eri nähtusi – tegevused, protsessid, vaimsed pildid,
ülesanded jpm
• Kogu seda tunnetuslikku struktuuri, mis inimesel ühe
mõistega seostub, nimetavad Tall ja Vinner mõiste pildiks
Väärarusaamad mõiste piltides
• Paljude mõistetega on kokkupuuteid juba enne
formaalset defineerimist – see vormib mõiste pilti
• Nii võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks lahutamise
mõiste pildis
• Ka definitsioonist alustades võivad tekkida
väärarusaamad. Näiteks pidevuse mõiste pildi osa
ilmselt paljudel joonise tegemise võimalikkus pastakat
paberilt tõstmata. Aga funktsioon y = 1/x
• Õpetaja saab vääritimõistmise vältimiseks kohe alguses
pidada silmas tekkivad mõiste pilti kui tervikut ning
juhtida tähelepanu potentsiaalsetele
väärarusaamadele
Näide funktsiooni mõiste pildi kohta
• Funktsiooni mõiste pildi üheks osaks funktsiooni
definitsioon
• Õpilasele võivad funktsiooniga seoses meenuda hoopis
teised mõiste pildi tahud – et esitatakse valemi abil, et
graafikuid saab joonistada, et väärtuseid saab kanda
tabelisse, et tunnis leitakse nullkohti jne
• Mõistega tegeledes on korraga aktiivne vaid see osa
mõiste pildi tahkudest, millega parajasti tegeletakse
• Kui õpetaja tegeleb mõiste pildi kujunedes ainult ühe
tahuga (nt funktsiooni õppides ainult esitusega valemi
kujul), võib õpilasel mõiste pilt aheneda
Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste
pildis (1)
• Talli ja Vinneri katse
• Testisid kõrgkooli matemaatikat õppima
asuvaid õpilasi
• Muuhulgas küsisid:
– Kas 0,(9) on sama, mis 1?
– Millised on murdude 0,5; 0,25; 0,(3); 0,(9)
esitused harilike murdudena?
• Suur hulk vastas esimesele küsimusele valesti,
aga teisele õigesti
Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste
pildis (2)
• Mõiste pildi erinevad tahud olid vastuolus.
• Esimeses ülesandes nähti arvu 0,(9) kui ühe
lõpmatu arvjada piirväärtust, teises kui üht
konkreetset arvu (murdu)
• Jada piirväärtuse mõiste pildiga tugevalt seotud
arusaam, et piirväärtus on arv, milleni jada
liikmed kunagi ei jõua
• Koolis leitakse ka enamasti just selliste jadade
piirväärtuseid
• Aitab õpetajapoolne ennetav potentsiaalsete
veakohtade selgitamine
Kokkuvõte
• Mõistetevahelisi seoseid saab iseloomustada mitmest
aspektist: nt lähtudes struktuuri keerukuse astmest või
tähenduslike seoste hulgast
• Õpetaja omab kindlasti rikkalikku võrgustikukujulist
struktuuri
• Õpilastel ilmselt lihtsam ja põhineb assotsiatsioonidel
• Õpetaja saab õpilast toetada valede assotsiatsioonide
tekkimise ära hoidmisega ning toetada rikkaliku
struktuuri tekkimist, kus oleks palju tähenduslikke
seoseid
• Sellised õpilased on suurema üldistamisvõimega ja
tõenäoliselt ka ülesannete lahendamisel edukamad
Kasutatud kirjandus
• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental
models and schema activation during geometric problem
solving. MERGA, 18, 156–162.
• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to
reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3),
127–142.
• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo‐Baker, S. (2008). Making learning
visible: the role of concept mapping in higher
education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.
• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept
definition in mathematics with particular reference to limits
and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2),
151–169.

similar documents