Progressões geométricas

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PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo
se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado
razão, que se representa pela letra r.
Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
an 1  an  r

an 1
 r , n  IN
an
Aplicação:
1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão
geométrica?
2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?
Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão
geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e
o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos
também o valor da razão da progressão.
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Termo geral de uma progressão geométrica
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an)
encontra-se observando que:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas
quantidades:
 A primeira é sempre a1
 A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número,
que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
n 1
A expressão do termo geral é: an  a1  r
n k
Pode-se também facilmente provar que: an  ak  r . Expressão que
permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da
progressão (não apenas a partir do primeiro).
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Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das
progressões geométricas em que:
4) v
1) u1 = 10 e un+1 = 4un
2) u1 = 36 e u3 = 4
n
16
3)
4
O
-2
-8
-32
n
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Comportamento de uma progressão geométrica
 Se a razão de uma progressão geométrica é
maior que 1 e
 u1 > 0, a progressão é:
an
 estritamente crescente e…
 não limitada.
O
n
bn
O
 E se u1 < 0?
n
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 Se a razão de uma progressão geométrica está
cn
compreendida entre 0 e 1 e
 u1 > 0, a progressão é:
 estritamente decrescente e…
 limitada.
O
 E se u1 < 0?
n
dn
O
n
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 Se a razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a
progressão é:
fn
 constante
 limitada
O
n
 Se a razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a
progressão é:
 não monótona
 limitada
gn
O
n
PROGRESSÕES
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 Se a razão de uma progressão geométrica
hn
é maior que -1 e menor que 0, a
progressão é:
O
n
 não monótona e…
 limitada.
ln
 Se a razão de uma progressão geométrica
é menor que -1, a progressão é:
 não monótona e…
 não limitada.
O
n
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Em resumo:
comportamento de uma progressão geométrica
• Progressão geométrica (un)
• Razão: r
• 1º termo: u1
Não monótona
Não
limitada
-
-1
Limitada
0
progressão constante
u1 > 0 - Decrescente
Limitada
u1 > 0 - Crescente
Não limitada
u1 < 0 - Crescente
Limitada
u1 < 0 - Decrescente
Não limitada
1
+
razão - r
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Aplicações:
1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a condição:
a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;
b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;
c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que 1;
d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente decrescente.
2. Considera a sucessão (vn) de termo geral:
vn = 5 x 21-n
a) Mostra que é uma progressão geométrica.
b) (vn ) é monótona? Justifica.
c) (vn ) é limitada? Justifica.
Soma de n termos
consecutivos de uma
progressão geométrica
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A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da
Pérsia ficou tão impressionado
com o jogo de xadrez, que
ordenou ao seu inventor que
pedisse a recompensa que
desejasse.
O inventor (provavelmente um
matemático experiente...) pediu
um grão de trigo pela primeira
casa do tabuleiro de xadrez, dois
grãos pela segunda casa, quatro
pela terceira, oito pela quarta, e
assim sucessivamente, até se
percorrerem todas as casas do
tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou
estupefacto, tendo até
considerado, que era afrontoso o
pedido do inventor por se tratar
de coisa tão insignificante!
Contudo, o inventor manteve o
pedido e insistiu que lhe bastava
vê-lo concretizado...
Quantos grãos de trigo pediu,
afinal, o inventor do jogo de
xadrez?
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Resolução:
1 2
4
8 16 32 64 128
S64  1  2  22  23  ...  262  263
 1  2 1  2  22  23  ...  262 
Ora,
1  2  22  23  ...  261  262  S64  263
Donde:
S64  1  2  S64  263   S64  1  2S64  264
 S64  264  1
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!
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A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma
progressão geométrica é dada por
1 rn
Sn  u1 
com r  1
1 r
Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r
a razão.
Aplicação:
n 1
1
Se uma progressão geométrica tem o termo geral un    , calcula a
2
soma dos seus primeiros 21 termos .
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Soma de todos os termos de uma progressão geométrica
Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C.,
formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia
contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as
quais, por exemplo, o tempo era uma soma de
instantes e o
deslocamentos.
movimento
uma
soma
de
Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado
“Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.
(*)
Paradoxal é tanto aquilo que encerra
uma contradição como o que vai contra
a opinião comum.
É o inverosímil, o absurdo, mas também
o estranho.
In Epsilones
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Paradoxo de Aquiles e da tartaruga
Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca
chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar
onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque
entretanto se deslocou; e esta situação repete-se
indeterminadamente…
Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que
a realidade mostra ser falsa.
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Consideremos o exemplo:
Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a
tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.
- Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles
e a da tartaruga).
- O 1º termo de cada uma das progressões é: …
e …
- A razão de cada uma das progressões é: … e ….
- Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga?
Teremos que ter em atenção que:
A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o primeiro

1 rn 
termo é u1 e a razão é r, é: S  lim Sn  S  lim  u1 

1 r 

u
Se r  1 , (Sn) é convergente e diz-se que S  1 é a soma de todos os termos.
1 r
A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então:
n
n
 1
 1
1  
1  lim  
1
1
10
 10   100  1  0  100  1000
100  10  1 

 ...  lim    100 
1
9
9
10 100
9
1

*
10
10
10
*
A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte.
Por outro lado, a
tartaruga percorre (em metros):
n
n
 1
 1
1  
1  lim  
1
1
10
 10   10  1  0  10  100
10  1 

 ...  lim    10 
1
9
9
10 100
9
1
10
10
10
100
conclui-se que Aquiles alcança a
9
100
tartaruga depois de ter percorrido 100 
 100  11,(1)  111,(1)
9
Como
Só o
1000
9
é igual 100 
cálculo de limites e a teoria de conjuntos
permitiu esclarecer
(23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja solução exige o cálculo
da soma de todos os termos de uma progressão geométrica.
O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,
infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz
ao paradoxo.
In Epsilones (Ver anexo)
Aplicações
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1. A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma sequência de
figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados.
A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da
sucessão (an)
a) Mostra que an 
1
2n4
, n  IN
b) Verifica que (an) é uma progressão geométrica e indique a sua razão.
c) Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º elementos da
sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
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2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil
habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.
Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:
a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em
milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n
b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários
para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explique
como procedeu.
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3. As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de 1980
eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de
120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.
a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980,
em que ano as reservas ficariam esgotadas?
b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em
relação ao ano anterior, a começar em 1980.
b1) Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de
petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.
b2) Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica.
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Curva de Von Koch
(ou curva floco de neve)
Proposta de trabalho:
Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação:
“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela
limitada é finita.”
Anexo
Traduzido de “Paradoja de la dicotomía” de
Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos,
uma página que recomendo vivamente, em
http://www.epsilones.com/
Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,
infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz
ao paradoxo.
Vamos primeiro ver o que faz com o espaço
Suposição: o espaço é infinitamente divisível
Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar
quantidades infinitas e o resultado ser finito.
Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas
sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma
quantidade constante chamada razão.
Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma
infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que
a1 é o primeiro dos termos.
Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ...
Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em
seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até
"ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:
A
1/16
1/2
1/4
1/8
B
1/32
De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:
S
1
2
1
1
2
1
A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a
distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão
L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão
1/2, cuja soma é a seguinte:
L

L L L
L
   ...   n  2  L
1
2 4 8
n 1 2
1
2
Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.
E o tempo?
Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar
constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o
segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o
corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito
intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos
todos os tempos, tem-se:
L

L
L
L
L
L


 ...   n  2v 
1 v
2v 4v 8v
n 1 2 v
1
2
que é uma quantidade tempo finita.
Conclusão
A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do
espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um
número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.
Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o
movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.
O mundo físico
Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz
a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do
espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para
observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que
o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve
aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois
alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco
negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é
conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a
luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais
rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta
distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de
fazer sentido.
Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e,
portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de
Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que, como vimos, o
argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível.
Uma variante
Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar
ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o
ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente
mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de
alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número
infinito de outros pontos.
In Epsilones
Bibliografia:
 Novo Espaço
Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa
Ermelinda Rodrigues
 Infinito 11
Matemática A -11º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves
Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo
Manuela Simões
 Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/
Auguries of Innocence
To see a world in a grain of sand,
And a heaven in a wild flower,
Hold infinity in the palm of your hand,
And eternity in an hour.
[...]
William Blake, Auguries of Innocence.
Maria José Vaz da Costa

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