Enseignement des mathématiques : le défi de la

Report
Enseignement des mathématiques :
le défi de la pluridisciplinarité
Michèle Artigue,
LDAR et IREM Paris 7
Plan
 Introduction : le contexte français et international
 L’expérience de l’IREM Paris 7:
 Une tradition de pluridisciplinarité
 Le groupe Modélisation
 Mathématiques et SVT
 Quelles leçons tirer de cette expérience ?
Le contexte français
 Une volonté institutionnelle en France de promouvoir
l’interdisciplinarité, manifeste dans de multiples initiatives :
 Le CNP et la réforme des lycées de 2000 : TPE, travail
conjoint des groupes d’experts sur l’exponentielle, les
projets en lycée professionnel…
 Des options sciences au nouveau module MPS en seconde.
 L’enseignement au collège : IDD, thèmes de
convergence…
 Les expériences d’enseignement intégré des sciences au
collège (EIST)
Pourquoi la pluridisciplinarité ?
Rapprocher
l’Ecole de la
science actuelle
Faire face aux
besoins d’une
éducation citoyenne
Pluridisciplinarité
Renforcer
l’attractivité de
l’enseignement
scientifique
Une diversité d’enjeux
Modélisation /
Applications
Décloisonner les
connaissances
Interdisciplinarité
Démarches
d’investigation
Contenus /
Compétences
Extrait des documents d’accompagnement
des programmes du lycée (2000)
« La modélisation est une pratique scientifique majeure qui
concerne un nombre croissant de domaines. […] Modéliser
est une des principales modalités de l’interaction entre les
mathématiques et les autres sciences. Mais la pratique de la
modélisation de situations réelles est difficile. […] Au niveau
du lycée, on initiera les élèves à la modélisation grâce à
l’étude de certaines situations réelles, qu’on simplifiera à
l’extrême et pour lesquelles le modèle grossier ainsi établi
devient éclairant ou permet une prévision : la difficulté est
alors de garder sens et consistance au problème simplifié. »
(Accompagnement pour les classes terminales S et ES, p. 29)
Les thèmes de convergence
« Les thèmes de convergence [...] font partie des programmes
des disciplines dans lesquels leurs contributions sont
également recensées. Les thèmes choisis ont été retenus
parmi des sujets importants pour la société et proches des
préoccupations quotidiennes des élèves. L’intérêt que leur
étude, à partir de points de vue complémentaires, peut
susciter chez des collégiens a constitué une considération
décisive. Pour chaque enseignement disciplinaire, il s’agit de
contribuer, de façon coordonnée, à l’édification d’objets de
savoir commun, éléments essentiels d’une culture
partagée. » (extrait du Rapport Bach)
L’enseignement d’exploration des
nouveaux programmes de seconde
« L’enseignement d’exploration « méthodes et pratiques
scientifiques » permet aux élèves de découvrir différents
domaines des mathématiques, des sciences physiques et
chimiques, des sciences de la vie et de la Terre et des sciences
de l’ingénieur. C’est aussi l’occasion de montrer l’apport et
la synergie de ces disciplines pour trouver des réponses aux
questions scientifiques que soulève une société moderne,
d’en faire percevoir différents grands enjeux, et de donner
les moyens de les aborder de façon objective. »
Le discours de Pierre Lena à l’Académie des
Sciences
Il y propose trois leviers pour l’avenir de l’école :
 Le changement des pratiques pédagogiques et le
développement des démarches d’investigation à l’image de la
« Main à la Pâte »
 Des professeurs accompagnés dans leur développement
professionnel, au contact de la science vivante et de ses
acteurs
 Décloisonnement et interdisciplinarité: une conception plus
globale des savoirs, un décloisonnement des disciplines.
Le discours de Pierre Lena
« Chaque année, l’Académie des sciences distingue les
lauréats de ses Prix : ces travaux révèlent l’immensité des
savoirs d’aujourd’hui, leur perpétuel mouvement, leurs
interactions croisées et souvent improbables, leur degré
d’abstraction, leur extrême technicité, leurs surprenantes
applications. Notre système d’éducation, ne sachant
évidemment plus embrasser cette immensité de savoirs,
traumatisé, peine à prendre un cap où beaucoup est à
réinventer. Il se contente d’aménager des programmes
étroitement disciplinaires. Que l’on ne voie pas ici une
critique d’institutions ou de personnes, car nombre de pays
se heurtent à ces mêmes difficultés. »
Le Plan Sciences et l’EIST
« Afin de décloisonner l'approche des sciences et des
technologies au collège pour redonner du sens à
l'enseignement et faciliter la liaison CM2-sixième, une
expérimentation d'un enseignement intégré de science et
technologie (EIST), mise en œuvre par l'Académie des
sciences, l'Académie des technologies et le ministère, est
conduite depuis 2006 en classe de sixième et de
cinquième. […] L'EIST s'inscrit dans le sillage de « La main à
la pâte » à l'école élémentaire et offre aux élèves la possibilité
de mener à bien une démarche expérimentale et
d'investigation […] Le plan sciences et technologies à l'École
vise l'extension du dispositif à 400 collèges à terme. »
Et au niveau international ?
 Des convergences évidentes aisément repérables dans la
perception des enjeux :
 au niveau Européen (Rapport Rocard, Financement de
projets )
 au niveau de l’OCDE (PISA et le concept de
« littéracie », le cycle de modélisation…)
 au niveau de l’UNESCO (les deux documents récents
sur les défis de l’éducation scientifique et
mathématique dans la scolarité de base)
 Des évolutions curriculaires convergentes
Le contexte français : des volontés affichées
mais aussi des facteurs peu favorables
 Une culture éducative qui est fondée sur le cloisonnement





disciplinaire voire la compétitions entre disciplines.
Des enseignants qui sont, à partir du collège, (hors lycée
professionnel) monovalents.
Des enseignants qui sont très peu préparés par leur formation
initiale à des pratiques pluridisciplinaires et aux démarches de
modélisation qu’elles induisent.
Une vision du travail enseignant où les pratiques collaboratives
ont encore assez peu de place.
Des possibilités de formation continue de plus en plus réduites
pour accompagner les dispositifs progressivement introduits.
Une avalanche de réformes et une détérioration des conditions de
travail qui ne favorisent pas les évolutions souhaitées.
L’expérience des IREM
Une expérience indéniable et qui mérite d’être valorisée
Le cas de l’IREM Paris 7
 Un IREM initialement pluri-disciplinaire : maths-
physique, math-technologie, math-biologie, mathfrançais.
 Une pluri-disciplinarité qui va progressivement
s’estomper pour renaître à la fin des années 90 avec :
 le groupe MAG (Maths-Arts plastiques- Géographie)
 le groupe ZEP qui deviendra le groupe Math-Français
 le groupe TPE qui deviendra le groupe Modélisation
 Et avec l’émergence aujourd’hui d’une collaboration
avec les informaticiens autour de l’algorithmique
Le groupe IREM Modélisation
 Un groupe pluridisciplinaire : maths – physique – SVT.
 Un groupe créé en 1999 pour accompagner la mise en
place des TPE et qui s’est progressivement orienté vers
les questions de modélisation et d’interactions entre
disciplines.
 L’animation de stages PAF puis l’opportunité de mener
un travail plus approfondi créée par la mise en place du
master professionnel didactique en 2004.
 L’importance prise par les interactions entre
mathématiques et biologie dans le travail du groupe.
Le processus de modélisation
Un problème à résoudre
Des modèles
de référence
Le découpage d’un segment
de « réalité »
Un choix de description
Une mathématisation
de cette description
Une confrontation
à la contingence
Un travail dans
le modèle
Un travail interdisciplinaire math-physique
inspiré par une ressource du projet
Européen LEMA
L’apport d’une démarche
pluridisciplinaire
La vision initiale des enseignants de mathématiques :
 La modélisation des jets d’eau par des paraboles
 le problème devient alors un problème géométricofonctionnel
 l’utilisation de logiciels de géométrie (Geoplan et
Geospace) pour simuler les jets d’eau et visualiser l’effet
des variations des paramètres
 l’exploitation des propriétés de symétrie de la situation
L’apport d’une démarche
pluridisciplinaire
L’apport de l’enseignante de physique :
 La modélisation physique et ses approximations
 La confrontation au réel via un dispositif expérimental
 Une autre utilisation de la technologie pour tester le
modèle et trouver par ajustement l’équation de la
parabole
 L’introduction d’un exemple historique
La modélisation physique
La modélisation de l’eau par un
liquide parfait incompressible et
l’utilisation du théorème de
Bernouilli.
La modélisation du jet en un
ensemble de gouttes d’eau soumises
à la seule pesanteur et l’utilisation
des lois de la mécanique classique.
Influence de l’intensité de la vitesse
initiale (angle constant)
Influence de l’angle à vitesse
constante
L’existence d’une portée maximale (45°)
Le dispositif expérimental
L’exploitation du logiciel Dynamic
Le test du modèle quadratique
y=f(x²)
x² en m²
0,00
0,00
-0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
-0,15
-0,20
-0,25
y = -0,696x²
-0,30
R2 = 0,9994
-0,35
-0,40
y=f(x)
x en m
0,00
-0,10
-0,20
y en m
y en m
-0,10
-0,30
-0,40
-0,50
-0,60
-0,70
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Leonardo da Vinci: une étrange
affirmation !
Le calcul effectif
La simulation avec Geospace
z
y
x
Des prolongements : parabole de
sécurité
Des prolongements
Interactions maths-SVT
Des spécificités certaines
Le cas spécifique de la biologie
 Des concepts dont les mathématiques ne sont pas




constitutives, contrairement à la physique.
La diversité des sources de modélisation en biologie et
l’influence croissante mais relativement récente des
modélisations mathématiques.
Le rôle déterminant joué par les modélisations aléatoires
et la variabilité du vivant comme source d’obstacles :
Le défi résultant pour faire vivre le rôle créateur des
modèles mathématiques en biologie.
Mais aussi la possibilité progressivement constatée de
faire vivre des interactions riches et motivantes entre
maths et biologie avec des outils mathématiques assez
élémentaires, en particulier grâce aux outils
technologiques disponibles.
Deux exemples historiques travaillés
dans le master et les stages
L’essai sur le principe de
population de Malthus
Le travail de Daniel Bernoulli
sur la variole
Bernoulli : les hypothèses de
modélisation
 H1 : « Tant qu’on a pas eu la petite vérole, on court
continuellement le même risque de l’avoir. »
 H2 : « Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite
vérole, pour ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir
satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette
maladie, qu’en la supposant d’un huitième, ce rapport de 1
sur 8 étant supposé constant »
 H3 : «Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole
pour ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un
septième ; je l’ai un peu diminué, en le faisant d’un
huitième »
 H4 : « Le risque de mourir par une autre cause que la petite
vérole est le même que l’on ait eu la petite vérole ou non »
Bernouilli : les justifications
 H1 : « Nous n’avons encore aucune observation qui nous oblige à
renoncer à cette supposition, et les lois de la Nature les plus
simples sont toujours les plus vraisemblables … »
 H3 : «Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour
ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je
l’ai un peu diminué, en le faisant d’un huitième : deux raisons m’y
ont engagé, …la première est qu’on apprend exactement tous
ceux qui en meurent, et qu’on ne saurait apprendre si exactement
tous ceux qui ont la maladie , la seconde, est que le rapport de 1
sur 7 ferait la mortalité variolique trop grande par rapport à la
mortalité entière, pendant que celui de 1 sur 8 est entièrement
conforme à l’observation la mieux constatée, qui est que la petite
vérole enlève la treizième partie du total des morts … »
La mathématisation
On introduit les variables suivantes :
 t : variable qui représente l’âge des individus en années.
 N(t) : le nombre de survivants de cette population à
l’instant t
 x(t) : le nombre des personnes susceptibles d’attraper la
variole à l’instant t, c’est-à-dire, parmi les survivants,
ceux qui n’ont pas encore eu la variole
 m(t) : le taux annuel de décès par d’autres causes que la
variole au sein des deux populations.
Le jeu entre discret et continu
1

 x(t  1)  x(t )   8 x(t )  m(t ) x(t )

1 1
 N (t  1)  N (t )    x(t )  m(t ) N (t )
8 8

 x ' (t )  a x(t )  m(t ) x(t )

 N ' (t )  b x(t )  m(t ) N (t )
avec
1
1
a 
et b 
8
64
La résolution du système différentiel
 Bernoulli introduit la proportion de survivants à l’instant t,
encore susceptibles d’avoir la variole en posant :
x (t )
f (t ) 
N (t )
 f ' (t )  f (t )  a  b f (t )

 f (0)  1
On reconnaît là une équation différentielle logistique
La résolution de l’équation différentielle
logistique
 g ' (t )  a g (t )  b

 g (0)  1
1
g (t ) 
f (t )
f (t ) 
a
b  a  b e
at
b  at b

g (t )   1   e 
a
a

x(t ) 
8
1 7 e
0,125 t
N (t )
• Si l’on utilise les valeurs de N(t) données dans une table de
mortalité, on peut alors en déduire les valeurs de x(t), puis
déterminer comment évoluerait la population si personne ne mourait
de la variole, par un raisonnement de proportionnalité.
• C’est ce que fait Bernoulli en s’appuyant sur les tables de mortalité
d’une population de 1300 personnes de la naissance à l’âge de 24 ans.
Le raffinement de la modélisation et les
conclusions qui en sont tirées
 La modélisation effectuée ne tient pas compte de l’existence de
décès suite à l’inoculation : 1 sur 600 à Londres en 1755, or c’est
sur ce nombre de décès d’inoculés que se fondaient les opposés à
l’inoculation.
 Bernoulli raffine donc son modèle en calculant ce qui se passerait
si on avait une chance sur 200 de mourir de la variole après avoir
été inoculé (l’inoculation étant supposée avoir lieu la première
année).
 Avec des arguments de nature probabiliste, il conclut ensuite que
l’espérance de vie passerait de 30 à 34 ans environ si tout le
monde était inoculé.
 Cette étude le conduit prendre parti pour l’inoculation préventive
comme mesure salutaire de prophylaxie collective en dépit du
risque individuel que la mesure comporte.
Des conclusions source de débats qui ont
des résonances actuelles…
 Un long débat mathématique et philosophique, auquel Jean Le
Rond D’Alembert (1717-1783) prit une part active, s’ensuivit,
montrant bien combien l’introduction d’une approche statistique
en médecine est problématique à l’époque :
« Je suppose avec monsieur Bernoulli que le risque de mourir de
l’inoculation soit de 1 sur 200. Cela posé, il me semble que pour
apprécier l’avantage de l’inoculation, il faut comparer, non la vie
moyenne de 34 ans à la vie moyenne de 30, mais le risque de 1 sur
200 auquel on s’expose de mourir en un mois par l’inoculation …
à l’avantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de 60 ans
lorsqu’on sera beaucoup moins en état de jouir de la vie … Voilà,
il n’en faut point douter, ce qui rend tant de personnes, et surtout
tant de mères, peu favorables parmi nous à l’inoculation. »
(Opuscules, tome II)
Les thèmes abordés dans les projets
 La propagation de maladies contagieuses dans une





population humaine.
La dynamique des pools de gènes dans une population
animale ou humaine au fil des générations.
L’analyse de séquences ADN dont la fonction n’est pas
connue.
La représentation de l’ADN par la CGR.
La modélisation des formes (toiles d’araignée,
empreintes digitales).
La dynamique des tumeurs cancéreuses et leur
traitement (réalisation inspirée des stages Hippocampe
mis en place à l’IREM d’Aix-Marseille).
La propagation de maladies
contagieuses
 Un des premiers thèmes abordés ((lèpre, rougeole, SIDA) qui
permet d’entrer en contact avec diverses questions :
 choix entre modèles déterministes et aléatoires,
 raffinement progressif des modèles (du modèle « S.I. » de
Hamer au modèle « S.I.R. » de Kermack et MacKendrick , la
prise en compte d’effets de vaccination),
 recherche et exploitation de données réelles,
 critique de documents.
 Et ce, avec des besoins mathématiques raisonnables
(équations et systèmes différentiels simples et suites) et des
besoins biologiques très réduits.
 Un thème qui permet de combiner le travail sur des
exemples historiques (variole, peste) et sur des questions
actuelles.
La dynamique des pools de gènes
dans une population
 La nécessité de passer par un modèle aléatoire (urne des gamètes).
 La mise en évidence d’un phénomène intéressant de stabilité
intergénérationnelle (Loi de Hardy-Weinberg) et l’explicitation
des hypothèses sous-jacentes : taille de la population, absence de
mutation, de migration, de sélection, de croisements entre
générations.
 La remise en cause de certaines hypothèses : étude des effets,
rectification des modèles :
 simulations pour le cas de petites populations (dérive génique et modèle de
Wright),
 étude du cas d’une maladie génétique récessive : la mucoviscidose,
 étude d’une maladie spécifique locale (ataxie spastique)..
 La possibilité de réaliser des transpositions didactiques au niveau
lycée, et même collège exploitant des modélisations probabilistes
simples.
L’analyse de séquences ADN dont la
fonction n’est pas connue
 Un thème plus exigeant sur le plan biologique et mathématique,
avec un premier niveau de modélisation : celle de l’ADN par un
texte sur l’alphabet A, C, G, T, puis une seconde modélisation via
des chaînes de Markov.
 Mais un thème qui permet d’envisager l’exploitation du travail de
modélisation sous l’angle de l’écart à un modèle, avec le problème
de la détection de sections codantes du texte :
 par la recherche de fragments qui s’écartent d’une répartition
aléatoire sur la base des fréquences des lettres,
 par la recherche de mots « connus ».
 La familiarisation avec ces questions via une transposition sur la
succession consonnes-voyelles dans un texte, l’exploration de
modèles markoviens simples et l’étude de l’effet de permutations
du texte.
 L’exploitation sur des données réelles avec la définition de macro
Excel appropriées et la transposition au niveau lycée.
ADN et CGR
 Plus qu’une modélisation, une représentation
GAGCACAGTGGAAGGG
…
Les représentations CGR de l’ADN de quatre
espèces
ADN et CGR
 Une appropriation et une exploitation multiforme de cette




représentation via l’utilisation d’outils mathématiques élémentaires
mais très divers :
1- Récurrence, homothéties : combinatoire élémentaire, suite de points
du plan définis par récurrence barycentrique, intervention des
homothéties, exploitation combinatoire de la récurrence vectorielle,
utilisation d’un tableur pour représenter et conjecturer, interprétation
et comparaison de séquences « vraies » et de séquences produites par un
automate probabiliste ;
2- Calcul barycentrique : calcul des poids des points de la CGR comme
barycentres des sommets du carré, exploitation combinatoire en relation
avec l’aspect des dessins ;
3- Un peu d’arithmétique : écriture des poids en base 2 ;
4- Programmation d’un tableur pour dessiner des CGR, application aux
séquences d’ADN des patients atteints de la chorée de Huntington, cas
d’école de la biologie. Liens entre propriétés statistiques simples d’une
séquence et sa CGR.
En conclusion : quelques leçons de ces
expériences
 Les réelles potentialités offertes par des travaux interdisciplinaires




dès l’enseignement secondaire mais aussi la distance des cultures
disciplinaires et le temps nécessaire à l’opérationnalisation.
L’importance du choix des questions qui doit faire sens pour les
deux disciplines et la vigilance à avoir vis-à-vis de notre tendance à
nous évader dans des jeux purement mathématiques.
La confrontation salutaire à l’ignorance et à la difficulté que nous
ressentons comme nos élèves à faire fonctionner des concepts et
techniques que nous pensons bien maîtriser hors des sentiers
battus.
L’ importance du travail collaboratif et l’enrichissement que l’on
retire des échanges avec d’autres disciplines
La compréhension des limites des erzats de modélisation scolaires
mais aussi une vision réaliste des limites de ce qui peut être fait
dans le cadre de séances de classe ordinaires, et l’importance donc
d’arriver à profiter des dispositifs institutionnels secondaires
existants pour faire vivre modélisation et interdisciplinarité.
L’interdisciplinarité : un réel défi pour les
enseignants de mathématiques mais un défi
qui mérite d’être relevé !

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