Aula Teórica 3

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Aula Teórica 2
Velocidade e Fluxo Advectivo.
Divergência da Velocidade.
O que é a velocidade ?
• A velocidade num escoamento é o caudal
volúmico por unidade de área.
dQ
un 
dA
• Velocidade “zero” significa deslocamento
médio das moléculas nulo.
• Cada molécula (num gás) tem a sua
velocidade e cada grupo de moléculas (num
líquido) tem a sua velocidade e não são
nulos...
• O movimento não descrito pela velocidade é
contabilizado na difusividade.
Fluxo Advectivo
• Se existe velocidade existe movimento
global do fluido, com um saldo não nulo do
deslocamento das moléculas.
• O vector velocidade indica a direcção e o
sentido do deslocamento e o fluxo volúmico
por unidade de área perpendicular à
velocidade.
• O fluxo através de uma área elementar,
dA, genérica (cuja orientação é
determinada pela normal) é dado por:

dQ  v .n dA
Fluxo advectivo (continuação)
• O fluxo através de uma área de dimensões
finitas é dado pelo integral do fluxo através de
uma área elementar:

dvol
  v .ndA
dt
A
• E tem como unidades volume por unidade de
tempo (fluxo volúmico).
Caso de a velocidade ser uniforme na
área
• Se a velocidade for uniforme na área pode sair
do integral e o caudal é dado por:

Q   u .n dA  u A  uA
• A velocidade média é dada por:
Q
U
A
Fluxo através de uma área fechada
• No caso de uma área fechada (que delimita
um volume) o integral do fluxo dá a
quantidade que sai, menos a quantidade que
entra. Se o volume for indeformável e o fluido
for incompressível não poderemos variar a
quantidade de fluido armazenado no seu
interior e por isso o fluxo que sai é igual ao
que entra e consequentemente o valor do
integral é nulo.
Fluido que entra e fluido que sai
• O fluido entra quando o produto interno da
velocidade pela normal é negativo e sai
quando é positivo (porque a normal é a
normal exterior).
• Como consequência o fluxo que entra numa
superfície é dado pelo simétrico do integral
anterior.
Divergência da Velocidade
• O teorema da divergência diz que o integral de
volume da divergência de um vector é igual ao
integral de superfície do fluxo.
• Então, no caso de fluidos incompressíveis, a
divergência da velocidade é nula (veremos
isso mais tarde de um modo mais formal).
Sumário
• A velocidade é o caudal volúmico através de uma
área elementar. Define-se por isso num ponto e
tem unidades de “deslocamento por unidade de
tempo”.
• O caudal através de uma área de dimensões
finitas é o integral na área da velocidade interna
da normal à área.
• Se a área for fechada o integral do caudal é o
integral de volume da divergência da velocidade.
Fluxo advectivo
• O integral de superfície da velocidade dá o
fluxo volúmico de uma propriedade através da
superfície.
• O fluxo de outra propriedade qualquer é dado
pelo integral da propriedade específica pelo
fluxo por unidade de volume.
• O fluxo de uma propriedade é dado por
“propriedade”/tempo. No caso da massa o
fluxo mássico é “massa/tempo”.
Fluxo Advectivo (cont)
prop
tempo

prop
volume
x
volume
tempo


prop
volume


u.ndA
Ou, no caso de uma área de dimensões finitas:
prop
tempo

  cu.n dA
A
No caso do fluxo de massa
c
No caso da quantidade de movimento

c  u
No caso da energia cinética
1 2
c  u
2
Notas finais
• A velocidade permite calcular o fluxo advectivo
de qualquer propriedade, desde que conhecido
o seu valor específico (valor por unidade de
volume). No caso da massa de um constituinte
esse valor é a concentração volúmica.
• Se a concentração volúmica for uniforme na
área pode sair do integral e o fluxo é dado pelo
produto da concentração pelo caudal:

   cu.n dA  cQ
m
A
• É com base nesta hipótese que os programas de
monitorização em rios medem concentrações e caudais.
Leitura recomendada
• Texto sobre propriedades dos fluidos e
do campo de velocidades.

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