5.陰関数定理と比較静学

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陰関数定理と比較静学
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モデルの連立方程式体系で表されるとき
パラメータが変化したとき
如何に変数が変化するか
至るところに出てくる
例 需要と供給
• 一つの財の市場(部分均衡)
D  p,Y
S  p

需 要 関 数 p, Yに 依 存
供 給 関 数 pの み に 依 存
D  p , Y
p
S  p 
p

 0,
0
D  p , Y
Y

0
元の均衡
Y  Y0の と き の 均 衡
D  p 0 , Y0   S  p 0 
p 0: 元 の 均 衡 価 格
所得上昇の効果
Y  Y1  Y0の と き の 均 衡
D  p1 , Y1   S  p1 
p1: 新 し い 均 衡 価 格
均衡価格は上がり、
取引量は増える。
S
 p
p1
p0
D  p , Y1 
D  p , Y0 
微分による方法
D  p Y  , Y   S  p Y

p Y  : 均 衡 価 格 は 所 得 の 関 数
両辺を Yで 微分
合成関数微分でパスを通し忘れない
D  p Y  , Y
p

p ' Y  
D  p Y  , Y
Y

 S '  p Y
  p ' Y 
D  p Y  , Y
p

p ' Y  
D  p Y  , Y

Y
 S '  p Y
  p ' Y 
微 分 は ', 偏 微 分 は 
D  p Y  , Y
p

 Dp,
D  p Y  , Y
D p p ' D Y  S ' p '
p 'に つ い て 解 く
p'
DY
S ' D p
Y

 DY , p '  Y   p '
所得が増えると需要が
増えるので+
p'
DY
S ' D p
需要関数は、
右下がりで-
供給関数は、
右上がりで+
p'
DY
S ' D p
0
分母は全体として+
劣等(下級)財の場合
所得が減ると需要が増
えるので-
p'
DY
S ' D p
需要関数は、
右下がりで-
供給関数は、
右上がりで+
p'
DY
S ' D p
0
例 間接税の効果
p :価格
D  p
需要関数
S  p
供給関数
単位あたりtの従量税がかかるとする。
pS : 供 給 者 の 受 け 取 る 価 格
pD : 需 要 者 の 支 払 う 価 格
pD  pS  t
需要者価格=供給者価格+従量税
均衡条件
pD  pS  t
S
 pS  
需要者価格=供給者価格+従量税
D  pD
 需要=供給
S
需要価格は上がり
供給価格は下がり
取引量は減少する
 p
pD
p0
pS
D  p
微分による方法
pD t   pS t   t
S  pS t   D  pD t 
tで微分する。
p D '  p S ' 1
S ' pS '  D ' pD '
p D '  p S ' 1
S ' pS '  D ' pD '
連立方程式を解く
pS ' 
pD ' 
D'
pS ' 
S ' D '
S'
S ' D '
D'
S ' D '
pD ' 
S '  0, D '  0
0
S'
S ' D '
0
比較静学
• 経済モデルで、複数の経済変数が同じ数の
方程式で決定される
• モデルの外で決められる変数をパラメータと
いう
• パラメータの変化の効果は、内生変数をパラ
メータの関数として、微分して、連立方程式を
解く
比較静学を微分で解くメリット
• 複雑なモデルでも機械的に解ける
• 変化の程度が、各微係数大きさから推測でき
る
• 一つの変化が複数の経路を通って効いてくる
とき、その相対的な大きさが式から出る
(例・・スルツキー方程式で所得効果と代替効
果に分かれる)
陰関数定理(implicit function
theorem)
• 比較静学を機械的に微分する数学的基礎
• 一般的な形の証明は、難しい
1変数1パラメータの場合
f
 x, t  : 連 続 微 分 可 能
f  x *, t *   0
 x *, t *  を 通 る
f
 x, t   0
x*
レ ベル曲線があ る
t*
x *, t * で 垂 直 で な け れ ば 、
付 近 で x    t と な る 関 数 が あ る 。
x *, t * で 垂 直 で な け れ ば 、
f x  x *, t *   0
付 近 で x    t と な る 関 数 が あ る 。
代入する
f   t  , t   0
f
 x, t   0
x*
微分する
f x   t  , t   '  t   ft   t  , t   0
f x  x , t   0   x *, t *  の 近 く
 't   
ft   t  , t 
f x   t  , t 
t*
例えばここは
駄目
2次元の場合
f
f
 x , y , t   0, g  x , y , t   0が
 x *, y *, t *   0, g  x *, y *, t *   0を 満 た す
 x *, y *, t *  の 近 傍 で
f    t  ,  t  , t   0, g    t  ,  t  , t   0
を 恒 等 的 に 満 た す    t  ,  t   の 存 在 ?
2次元の場合(続き)
  t  ,  t  が 存 在 す る と し て
f    t  ,  t  , t   0, g    t  ,  t  , t   0
 微分する
f x  '  t   f y '  t   f t  0, g x  '  t   g y '  t   g t  0
  '  t と  '  t  に つ い て 解 く ( f x g y  f y g x  0 )
 't 
g y ft  f y gt
fxg y  fygx
, '  t  
f x gt  g x ft
fxg y  fygx
一般的な場合
f1 , ..., f n
変 数 x1 , ..., x nと パ ラ メ ー タ t1 , ..., t mの
連続微分可能な 実数値関数
 x1 , ..., x n    x1 *, ..., x n *  ,
 t1 , ..., t m    t1 *, ..., t m *  で
f 1  x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m *   0
.......
f n  x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m *   0
x1   1  t1 , ...., t m 
....
x n   n  t1 , ...., t m 
が存在し
x1 *   1  t1 *, ...., t m *  , ...., x n *   n  t1 *, ...., t m * 
f 1   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
.......
f n   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
を恒等的に満たすとする。
と
f 1   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
.......
f n   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
両 辺 を t iで 微 分 し 、
 t1 , ..., t m    t1 *, ..., t m *  で 評 価 す る
 f1   1
 x1  t i

 f1   2
 x 2  ti
 .... 
 f1   n
 x n  ti

 f1
 ti
0
.......
f n 1
 x1  t i

fn  2
 x 2  ti
 .... 
fn  n
 x n  ti

fn
 ti
0
中の 変数、 パラ メ ータ は省略
。
 f1   1
 x1  t i

 f1   2
 x 2  ti
 .... 
 f1   n
 x n  ti

 f1
 ti
0
.......
f n 1
 x1  t i

fn  2
 x 2  ti
 .... 
fn  n
 x n  ti

fn
 ti
0
行列を使った表現











 f1
 f1
 x1
x2
f 2
f 2
 x1
x2
f n
f n
 x1
x2
 f1  

xn

f2  

xn



f n  
 x n  
1 
  f1 



 ti
 ti



 f2 
 2 



 ti    ti









 n 
 fn 
 t 
 t i 
 i 
ヤコビ行列また
は、ヤコビアン











 f1
 f1
 x1
x2
f 2
f 2
 x1
x2
f n
f n
 x1
x2
 f1  

xn

f2  

xn



f n  
 x n  
1 
  f1 



 ti
 ti



 f2 
 2 



 ti    ti









 n 
 fn 
 t 
 t i 
 i 
他のパラメータについての微分も並べる











 f1
 f1
 x1
x2
f2
f2
 x1
x2
fn
f n
 x1
x2
 f1  

xn

f2  

xn



f n  
 x n  
 1
 1
 t1
t2
 2
 2
 t1
t2
 n
 2
 t1
t2
 1 
  f1


tm
t

 1
 f2
 2 


 t m    t1






 n 
 f n
 t
 t m 
 1
 f1
t2
f2
t2
f 2
tn
 f1 

tm

f2 

tn



f n 
 t m 











 f1
 f1
 x1
x2
f2
f2
 x1
x2
fn
f n
 x1
x2
 f1  

xn

f2  

xn



f n  
 x n  
 1
 1
 t1
t2
 2
 2
 t1
t2
 n
 2
 t1
t2
 1 
  f1


tm
t

 1
 f2
 2 


 t m    t1






 n 
 f n
 t
 t m 
 1
 f1
t2
f2
t2
f 2
tn
 f1 

tm

f2 

tn



f n 
 t m 
ベクトルや行列を使って纏めて書く
f ξ t  , t   0
f  ξ  t * , t  ξ  t *
x
t

f  ξ  t *  , t 
t
上の式
f  ξ  t * , t  ξ  t *
x
t

f  ξ  t *  , t 
t
f  ξ  t * , t *
x
 f1
 f1
 f1
 x1
x2
xn
f2
f 2
f 2
  x1
x2
xn  0
f n
f n
f n
 x1
x2
xn
ならヤコビ行列の逆行列が存在し











1
1
 t1
t2
 2
 2
 t1
t2
 n
 2
 t1
t2
1 
  f1


tm
x

 1
 f2
 2 


 t m    x1






 n 
 fn
 x
 t m 
 1
ξ  t   f  ξ  t  , t  




t
x


1
 f1
x2
f2
x2
fn
x2
f  ξ  t *  , t 
t
 f1 

xn

f2 

xn



fn 
 x n 
1











 f1
 f1
 t1
t2
f2
f2
 t1
t2
f n
f2
 t1
tn
 f1 

tm

f 2 

tn



f n 
 t m 
陰関数定理
f 
 f1 , ...,
fn が 以 下 の 条 件 満 た す と き 、
 t1 *, ..., t m *  の あ る
近傍で定義さ れた
関 数  1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  が 存 在 し
f 1   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
.......
f n   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
1 
f 1  x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m *   0
.......
f n  x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m *   0
2連続微分可能
 3   x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m *  で ヤ コ
ビ 行列がつぶれな い
f 1   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
.......
f n   1  t1 , ...., t m  , ...,  n  t1 , ...., t m  , t1 , ..., t m   0
微分して、ヤコビ行列を逆転
ξ  t   f  ξ  t  , t  




t
x


1
f  ξ  t * , t *
x
f  ξ  t  , t 
t
 0  近傍で
f  ξ  t  , t 
x
0
陰関数定理について
• 存在するのは、関数より近傍
• 近傍の大きさが簡単に指定できないので、ブ
ラウアーの不動点定理(ゲームや一般均衡の
存在証明)や縮小写像定理(ルーカスの貨幣
の中立性)より、存在定理としては弱い
• 応用では、普通ややこしいことは考えない
比較静学の実際
• 内生変数とパラメータを区別
• 内生変数をパラメータの関数とする
• パラメータについて微分すると連立方程式が
出る
• これを内生変数のパラメータについての偏微
分で解く
• 内生変数の数と式は、等しい
• ヤコビ行列がつぶれると分母が0になる
– 価格についての0次同次性などを見落としている
可能性
例 無差別曲線の傾き
u  x, y  : 効 用 関 数
x :ビ ー ル の 消 費 量
y :焼肉の 消費量
各 uに 対 し
y
u  x , y   uを 満 た す
 x, y が 無 差 別 曲 線
u 0  u1  u 2  u 3
u  x, y   u3
u  x, y   u2
u  x , y   u1
u  x, y   u0
x
u  x , y   u 1に 対 す る 無 差 別 曲 線 を y1  x 
y
u  x , y1  x    u 1
両辺を微分
u x  x , y1  x    u y  x , y1  x   y 1 '  x   0
u  x, y   u3
u  x, y   u2
u  x , y   u1
u  x, y   u0
x
y1 '  x   
u x  x , y1  x  
u y  x , y1  x  
y1 '  x   
u x  x , y1  x  
y
u y  x , y1  x  
限界代替率
u  x, y   u3

u x  x, y 
u y  x, y 
u  x, y   u2
:  x, y  で の 無 差 別 曲 線 の 傾 き
u x  x, y 
u y  x, y 
u  x , y   u1
u  x, y   u0
x
:限界代替率

h u  x , y1
効用の序数性
 x   h  h u 
1
1
h : 厳密な 増加関数
両辺を微分

h ' u  x , y1  x  
y1 '  x   
 u  x , y
x
1
 x    u y  x , y1  x   y1 '  x   0
u x  x , y1  x  
u y  x , y1  x  
限 界 代 替 率 は hに 依 存 し な い
無差別曲線が依存しないことの帰結
効用でなく選好(preference)が基本概念
例 ISとLM
Y
国民所得
C
消費
I
投資
G
政府支出
Y C  I G
Y C  I G
C  C Y
C 'Y

消費関数

0
限界消費性向は正
I  I r
投資関数
I ' r   0
利子率が上がると投資が減る
Y  C Y   I  r   G
財市場の均衡
貨幣市場 の均衡
貨幣供給
M
L  r,Y

貨幣需要関数
L  r , Y

r
L  r , Y
0

Y
M  L  r,Y
0

利子が上がると貨
幣需要は減る
国民所得が増え
ると貨幣需要が増
える
貨幣市場の均衡
ISとLM
Y  C Y   I  r   G
財市場の均衡
Investment(投資)=Saving(貯蓄)なのでIS
M  L  r,Y

貨幣市場の均衡
Liquidity(流動性)=Money(貨幣)なのでLM
両市場の均衡でYとrが決まる
rIS  Y

Y
IS曲線
 C Y   I  r   G
を満たすYとrの組合せ
Y  C  Y   I  rIS  Y
  G
両辺を微分
1  C '  Y   I '  rIS  Y
0  C ' Y
rIS '  Y

1
1  C 'Y

I '  rIS  Y  
  rIS '  Y 
限界消費性向は正で1より小
IS曲線は右下がり
0
投資は、利子が上がると減るので-
LM曲線
rL M  Y

M  L  r,Y

を満たすYとrの組合せ
M  L  rL M  Y  , Y
両辺を微分
0
 L  rL M  Y  , Y
r

rL M '  Y  
 L  rL M  Y  , Y
rL M '  Y

 
Y
 L  rL M  Y  , Y
r



 L  rL M  Y  , Y

貨幣需要は、利子が上がると
 Y増えるので+
LM曲線は右上がり
 0 貨幣需要は、利子が上がる
と減るので-
IS-LM図(ヒックス・ハンセン図)
r
LM
IS
Y
政府支出増加の効果
Y  C Y   I  r   G
M  L  r,Y

両辺をGで微分
Y
G
0
 C ' Y

L  r , Y

r
Y
G
r
G
 I ' r 

r
G
L  r , Y
Y

1
Y
G
Y
G
0
 C ' Y

L  r , Y

r
Y
 I ' r 
G
r
G
G

I ' r 

Y
G
連立方程式を解く
L  r , Y

Y

r
 1  C '  Y
L  r , Y
r
G

I ' r 
1
G
L  r , Y  Y
L  r , Y
Y
r
L  r , Y
Y


L  r , Y

r

Y
 1  C '  Y

L  r , Y
r

L  r , Y
Y
G

I ' r 
L  r , Y


Y



分子は-
r
 1  C '  Y

L  r , Y

全体は+
r


分母は-
L  r , Y
r
G

I ' r 
L  r , Y
Y


分子は+
Y
 1  C '  Y

L  r , Y
r
全体は符号
も入れて+

分母は-
政府支出が増えると、国民所得が増え、利子が上がる
r
M
 0,
Y
M
0
も同様に出る
M  L  r,Y

Gは入っていないのでLM曲線は
動かない
Y  C  Y   I  rIS  Y , G    G
rIS  Y , G 
IS曲線
両辺をGで微分
I '  rIS  Y , G  
 rIS  Y , G 
G
 rIS  Y , G 
 
G
r
LM
1  0
1
I '  rIS  Y , G  
0
ISは上にシフト
IS
Y
行列つぶれる例
F K,L  K L

p
p
F  K , L 
K
F  K , L 
L
1 
 p K
コッブ・ダグラス生産関数
 1 1 
L
r
資本に対する価値限界生産物 =資本賃料
 p 1    K L


w
労働に対する価値限界生産物 =賃金率
p
p
F  K , L 
 p K
K
F  K , L 
 1 1 
r
L
 p 1    K L

L

w
対数を取る
ln p  ln      1  ln K   1    ln L  ln r
ln p  ln  1      ln K   ln L  ln w
両辺をrで微分

1   K
K
 K
K r
r


1   L
L
 L
L r
r
0

1
r

1   K
r
K
 K
K r
1 K
K r

,


L
 L
L r
1 L
L r
 1  
1   L

r
0

1
0
??
1
r
r
1 K
K r

1 L
L r
に対するヤコビ行列式は
1

つぶれる
 1      1      0
p
p
F  K , L 
K
F  K , L 
L
 p K
 1 1 
L
r
 p 1    K L

二つの式は、

K
w
のみの関数
L
1
w
 p  1   



 p 1  
L
 r 

K
1



の と き の み解が あ っ て 、 無限に あ る 。
一次同次のシステムでは、比を変数として、正規化する必要
がある

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