(4) كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال

Report
‫كاربرد روش تبديل‬
‫ديفرانسيل‬
‫براي معادالت انتگرال‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫مقـدمـه‬
‫روش تبديل ديفرانسيل )‪ (DTM‬روش ي عددي براي حل معادالت با مشتقات‬
‫جزيي است‪ .‬اين روش اولين بار توسط ژو در سال ‪ 1986‬براي‬
‫كاربردهاي مهندس ي معرفي گرديد و از آن براي حل مسائل مقدار‬
‫اوليه خطي و غير خطي در مدارهاي الكتريكي استفاده كرد‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫• تبديل‬
‫ديفرانسيل‬
‫یک بعدي‬
‫• تبديل‬
‫ديفرانسيل دو‬
‫بعدي‬
‫‪4‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫‪ - 1‬روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي‪:‬‬
‫در اين بخش روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي را معرفي كرده و‬
‫آن را براي حل معادالت انتگرال به كار مي بريم ‪.‬‬
‫فرض‬
‫كنيد‪w ( x‬‬
‫)‬
‫باشد و‬
‫در دامنه ‪ k‬تحليلي ‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫در اين دامنه‬
‫قرار داشته باشد در اين صورت تعاريف زير را داريم‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫تعريف‪:1-1‬‬
‫تبديل ديفرانسيل تابع )‪ w(x‬برابر است با‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪W ( k )  1 d w (k x‬‬
‫‪k ! dx‬‬
‫که )‪ w(x‬تابع اصلی و )‪ W(k‬تبدیل دیفرانسیل تابع )‪ w(x‬است‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫تعريف‪:2-1‬‬
‫تبديل ديفرانسيل معكوس‬
‫برابر است با‪:‬‬
‫دنباله ي‬
‫}) ‪{ W (K‬‬
‫‪k =0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪W ( k )( x - x 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪w( x) ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫كه وقتي ‪x  0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪،‬رابطه فوق بصورت زير تبديل مي شود‪:‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪W (k ) x‬‬
‫‪‬‬
‫‪w(x) ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫در كاربردهاي حقيقي‪ w(x) ،‬به صورت سري متناهي در نظر گرفته مي شود‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ W (k )x‬‬
‫‪w (x ) ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪7‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫قضاياي تبديل ديفرانسيل يك بعدي‬
‫در تمام قضاياي زير فرض می کنیم که )‪ G(k) ،F(k‬و )‪ H(k‬تبدیل دیفرانسیل‬
‫توابع )‪ g(x) ،f(x‬و )‪ h(x‬هستند‪.‬‬
‫قضيه ‪ :1.1‬اگر )‪ f(x)=g(x) ± h(x‬آنگاه )‪F(k)=G(k) ± H(k‬‬
‫قضيه ‪ :1.2‬اگر )‪ f(x)= ag(x‬آنگاه )‪F(k)= aG(k‬‬
‫قضيه ‪ :1.3‬اگر‬
‫) ‪g( x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪d‬‬
‫‪f(x) ‬‬
‫‪dx‬‬
‫آنگاه‬
‫) ‪G(k m‬‬
‫) ‪(k m‬‬
‫‪F(k ) ‬‬
‫! ‪k‬‬
‫قضيه ‪ :1.4‬اگر )‪ f(x)=g(x)h(x‬آنگاه‬
‫‪k‬‬
‫) ‪G ( i )H ( k  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪F(k ) ‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪8‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫قضيه ‪ :1.5‬اگر‬
‫‪n‬‬
‫قضيه ‪ :1.6‬اگر‬
‫‪x‬‬
‫‪f(x)x‬‬
‫آنگاه ) ‪ n‬‬
‫كه‬
‫‪F ( k )  ( k‬‬
‫‪k n‬‬
‫‪otherw ise‬‬
‫‪f ( x ) e‬‬
‫آنگاه‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( k  n )  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪F( k ) ‬‬
‫! ‪k‬‬
‫قضيه‪ :1.7‬اگر )‪ f(x)=sin(wt +α‬آنگاه‬
‫)‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫( ‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫قضيه‪ :1.8‬اگر )‪ f(x)=cos(wt +α‬آنگاه‬
‫)‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪w‬‬
‫‪F(k ) ‬‬
‫! ‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫(‪co s‬‬
‫‪w‬‬
‫‪F(k ) ‬‬
‫! ‪k‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫قضيه ‪: 1.9‬‬
‫‪ )1‬اگر‬
‫‪ )2‬اگر‬
‫آنگاه‪:‬‬
‫آنگاه‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي‬
‫مثال‪ :‬معادله دیفرانسیل ريكاتي درجه دوم‬
‫(‪)1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y ( t ) 1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dt‬‬
‫با شرط اوليه‬
‫(‪)2‬‬
‫‪y(0 ) 0‬‬
‫تبديل ديفرانسيل رابطه (‪ )1‬و شرط اوليه داده شده با استفاده از قضاياي بيان شده بصورت‬
‫زير است‪:‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪ s )  ( k‬‬
‫‪ Y ( s )Y ( k‬‬
‫‪( k  1 )Y ( k  1 )  ‬‬
‫‪s 0‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪Y (0 ) 0‬‬
‫‪10‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي‬
‫در رابطه (‪ )3‬بجاي ‪ (k-1) ،k‬قرار مي دهيم و به رابطه بازگشتي زيرمي رسيم‬
‫‪1  k 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y (k ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y‬‬
‫(‬
‫‪s‬‬
‫)‬
‫‪Y‬‬
‫(‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ s 0‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)5‬‬
‫با كمك رابطه بازگشتي و استفاده از شرط اوليه (‪ )4‬نتايج بصورت زيربدست مي آيند‪.‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, ...‬‬
‫‪, Y ( 4 )  0, Y ( 3) ‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Y ( 1 )  1, Y ( 2 )  0 , Y ( 3 )  ‬‬
‫‪3‬‬
‫حال مقادير )‪ Y( k‬بدست آمده را در رابطه زير قرار مي دهيم و داريم‪:‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪t‬‬
‫‪17‬‬
‫‪315‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪( k )t‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪y(t ) ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫كه جواب دقيق مسئله است‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي‬
‫مثال‪ :‬معادله دیفرانسیل‬
‫را با شرایط اولیه زیر در نظر گرفته و حل کنید‪:‬‬
‫حل‪ :‬با توجه به قضیه های گفته شده و گرفتن تبدیل دیفرانسیل از معادله باال‬
‫داریم‪:‬‬
‫وبا گرفتن تبدیل دیفرانسیل از شرایط باال داریم‪:‬‬
‫‪26‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي‬
‫اکنون با جایگذاری شرایط باال در معادله باال جواب باال جواب به صورت سری زیر به دست‬
‫می آید‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫مثال ‪ :1.1‬معادله انتگرال ولترا زیر را با استفاده از ‪ DTM‬حل کردیم‪:‬‬
‫حل‪ :‬طبق قضایای تبدیل دیفرانسیل گفته شده در اسالید های قبلی داریم ‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫سپس پیدا می کنیم‪:‬‬
‫‪U(2)=0‬‬
‫‪U(4)=0‬‬
‫‪U(6)=0‬‬
‫… ‪U(8)=0 ,‬‬
‫‪U(1)=-1,‬‬
‫‪U(3)=-1/3!,‬‬
‫‪U(5)=-1/5!,‬‬
‫‪U(7)=-1/7!,‬‬
‫با استفاده از فرمول (‪ )1‬جواب را بدست می آوریم‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫مثال ‪: 1.2‬‬
‫حل‪ :‬با استفاده از قضایای گفته شده در اسالید های قبل داریم‪:‬‬
‫سپس پیدا می کنیم‪:‬‬
‫!‪U(2)=1/2‬‬
‫!‪U(4)=1/4‬‬
‫… ‪U(6)=1/6!,‬‬
‫‪U(1)=-1,‬‬
‫‪U(3)=-1/3!,‬‬
‫‪U(5)=-1/5!,‬‬
‫با استفاده از فرمول (‪ )1‬جواب را بدست می آوریم‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫نمودار مثال‪1.2‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫مثال ‪: 1.2‬‬
‫حال این مثال را با استفاده از تجزیه ادومیان حل نمودیم‪:‬‬
‫حل ‪:‬چند جمله ای های ادومیان برای قسمت غير خطی‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫حال با حل قسمت خطی وغير خطی داريم‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫نمودار ‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫‪-2‬روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي‪:‬‬
‫روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي اولين بار توسط چن و هو در سال‬
‫‪1999‬معرفي شد و براي حل معادالت با مشتقات جزيي خطي و‬
‫غير خطي به كار گرفته شد‪.‬‬
‫فرض كنيد )‪ w(x,y‬در دامنه ‪ K‬تحليلي‬
‫باشد‪ ,‬و‪(x 0‬‬
‫) ‪y0‬‬
‫در اين‬
‫دامنه قرار داشته باشد‪ .‬در اين صورت تعاريف زير را داريم‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫تعريف‪:1-2‬‬
‫تبديل ديفرانسيل تابع )‪ w(x,y‬برابر است با‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪k h‬‬
‫) ‪w ( x ,y‬‬
‫‪1 ‬‬
‫!‪k ! h‬‬
‫‪x k y h‬‬
‫‪W ( k ,h ) ‬‬
‫که )‪ w(x,y‬تابع اصلی و )‪ W(k,h‬تبدیل دیفرانسیل تابع )‪ w(x,y‬است‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫تعريف‪:2.2‬‬
‫‪‬‬
‫ي‬
‫تبديل ديفرانسيل معكوس دنباله }) ‪{ W (k ,h‬‬
‫‪k ,h =0‬‬
‫برابر است با‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪) (y - y 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ W‬‬
‫‪w (x , y ) ‬‬
‫‪r 0 s 0‬‬
‫تعريف‪:3.2‬‬
‫وقتي‬
‫‪( k , h )( x - x‬‬
‫‪‬‬
‫تعريف ‪ 2.2‬به صورت زير تبديل مي شود‪.‬‬
‫) ‪( x 0 , y 0 )  ( 0 ,0‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪h‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪W (k , h )x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪w (x , y ) ‬‬
‫‪r 0 s 0‬‬
‫دركاربردهاي حقيقي )‪w(x,y‬به صورت سري متناهي زير درنظر گرفته مي شود‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪h‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪W (k , h )x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪r 0 s 0‬‬
‫‪w (x , y ) ‬‬
‫‪14‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫قضاياي تبديل ديفرانسيل دو بعدي‬
‫درتمام قضاياي زير فرض مي كنيم )‪ V(k,h) ،U(k,h‬و )‪W(k,h‬تبدیل دیفرانسیل‬
‫توابع )‪ v(x,y) ،u(x,y‬و )‪ w(x,y‬هستند‪.‬‬
‫) ‪( k  0 ,h  0‬‬
‫قضيه‪ :1.2‬اگر )‪ w(x,y)=u(x,y)±v(x,y‬آنگاه )‪W(k,h)=U(k,h)±V(k,h‬‬
‫قضيه‪ :2.2‬اگر )‪ w(x,y)=au(x,y‬آنگاه )‪ a) W(k,h)=aU(k,h‬عددي ثابت است)‬
‫قضيه ‪ :3.2‬اگر‬
‫) ‪u ( x , y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪w ( x,y ) ‬‬
‫آنگاه‬
‫) ‪W ( k , h )  ( k  1 )U ( k  1 , h‬‬
‫‪15‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫آنگاه‬
w ( x,y ) 
u ( x , y )
y
‫ اگر‬:4.2 ‫قضيه‬
W ( k , h )  ( h  1 )U ( k , h  1 )
‫آنگاه‬
w ( x,y ) 

r s
u( x , y )
r
x y
s
‫ اگر‬:5.2 ‫قضيه‬
W ( k , h )  ( k  1 )...( k  r )( h  1 )...( h  s )U ( k  r , h  s )
‫آنگاه‬
w( x , y )  x
1
W ( k , h )  ( k  m , h  n )  ( k  m ) ( h  n )  
0
16
m n
y
‫ اگر‬:6.2 ‫قضيه‬
k  m ,h  n
other w ise
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫ آنگاه‬w(x,y) =u(x,y)v(x,y) ‫ اگر‬:7.2 ‫قضيه‬
k
W ( k ,h ) 
h
  U ( r , h  s )V ( k
r 0
 r ,s )
s 0
‫ آنگاه‬w(x,y) =u(x,y)v(x,y) h(x,y) ‫ اگر‬:8.2 ‫قضيه‬
W ( k ,h ) 
k
k r
h
h s
r 0
t 0
s 0
p 0
    U ( r , h  s  p )V ( t , s )H ( k  r  t , p )
‫آنگاه‬
W ( k ,h ) 
a
k
b
h
k ! h!
17
w( x , y )  e
ax  by
‫ اگر‬:9.2 ‫قضيه‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫قضيه ‪:10.2‬‬
‫‪ )1‬اگر‪,‬‬
‫آنگاه‪:‬‬
‫‪G (m,0)=G (0,n )=0‬‬
‫‪m,n=0,1,...‬‬
‫‪17‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫‪ )2‬اگر‬
‫‪G (m,0)=G (0,n )=0‬‬
‫‪m,n=0,1,...‬‬
‫آنگاه‪:‬‬
‫‪17‬‬
‫كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال‬
‫لم ‪ : 1.2‬اگر )‪ F (m,n), U(m,n‬تبديالت ديفرانسيل )‪ f(x,t), u(x,t‬باشند سپس برای معادله‬
‫انتگرال‬
‫داریم‪:‬‬
‫‪17‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫تعریف ‪:1‬‬
‫تبديل ديفرانسيل کاهش ی تابع‬
‫که‬
‫برابر است با‪:‬‬
‫تابع اصلی‪ ،‬تحلیلی و به طور پیوسته مشتق پذیر می‬
‫باشد و‬
‫تابع انتقال یافته می باشد ‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫تعریف ‪:2‬‬
‫تبديل ديفرانسيل معکوس تابع‬
‫برابر است با‪:‬‬
‫از ترکیب معادله ‪1‬و‪ 2‬داریم‪:‬‬
‫‪26‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫‪27‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫مثال‪:1‬‬
‫حل‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫مثال‪:2‬‬
‫حل‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫تبدیل دیفرانسیل کاهشی‬
‫‪9‬‬

similar documents