Document

Report
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
Osnovni objekti prostorske geometrije so točke. premice in ravnine. Točke so podane s svojimi
koordinatami. Nekoliko presenetljivo so ravnine lažje za obravnavo kot premice, zato se jih
lotimo prej.
Ravnino lahko opredelimo na različne načine:
MATEMATIKA 1
1
LINEARNA ALGEBRA
ENAČBA RAVNINE
Označimo r  ( x , y, z )
r0  ( x0 , y0 , z0 )
n  (a, b, c )
Pogoj, da točka (x,y,z) leži na ravnini izrazimo vektorsko:
(normala je pravokotna na vse daljice v ravnini)
Po komponentah pa dobimo ( d  n  r0  ax0  by0  cz0 )
PROSTORSKA GEOMETRIJA
n
r0
r
n  r  r0  = 0
ax  by  cz  d
Vsaka linearna zveza med koordinatami točk v prostoru predstavlja ravnino.
(1,1, 2)
Katero ravnino določa enačba x+y+2z=2?.
n  (1,1, 2)
r0  (0, 0,1) (izberemo točko, ki ustreza enačbi)
MATEMATIKA 1
(0, 0,1)
2
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
RAVNINA SKOZI TRI DANE TOČKE
r1
r0
r2
Normala: n  (r1  r0 )  (r2  r0 ).
Pogoj, da točka r leži na ravnini :  (r1  r0 )  (r2  r0 )   (r  r0 )  0
Enačba ravnine skozi točke (1,1,0), (-1,0,2) in (0,0,1):
(2, 1,2)  (1, 1,1)   (x, y, z)  (1,1,0)   0
(1,0,1)   (x, y, z)  (1,1,0)   0
x  z 1
MATEMATIKA 1
3
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
RAZDALJA MED TOČKO IN RAVNINO
r1
Razdalja je enaka projekciji vektorja
do točke na smer normale.
d  r1  r0 cos  

n   r1  r0 
r0
n
(po potrebi vzamemo absolutno vrednost)
Po koordinatah: d 
a( x1  x0 )  b(y1  y0 )  c( z1  z0 )
a 2  b2  c 2

ax1  by1  cz1  d
a 2  b2  c 2
(v normirano enačbo ravnine vstavimo koordinate točke)
Koliko je točka (0,3,1) oddaljena od ravnine x+y+2z=2?
d
MATEMATIKA 1
1  0  1  3  2 1  2
12  12  22

3
6
4
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
Tudi premico lahko opredelimo na različne načine:
kot presek dveh ravnin
MATEMATIKA 1
5
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
ENAČBA PREMICE
Označimo r  ( x , y, z )
r0  ( x0 , y0 , z0 )
s  (a, b, c )
r
s
r0
Pogoj, da točka (x,y,z) leži na premici izrazimo vektorsko:
(daljica na premici je vzporedna s smerjo)
s  r  r0  = 0
Po komponentah pa dobimo
(a, b, c )    x  x 0  ,  y  y0  ,  z  z 0   
  b  z  z0   c  y  y0  , c  x  x 0   a  z  z 0  , a  y  y0   b  x  x 0    (0, 0, 0),
torej
b  z  z0   c  y  y0 
c  x  x0   a  z  z0 
a  y  y0   b  x  x 0 
Enačbe lahko uredimo v kanonično obliko:
MATEMATIKA 1
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
6
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PREMICA SKOZI DANI TOČKI
r0
r
Smer s  r1  r0 :
Pogoj, da točka r leži na premici :  r1  r0    r  r0   0
Enačba po komponentah :
r1
x  x0
y  y0
z  z0


x1  x0 y1  y0 z1  z0
Enačba premice skozi (1,0,-1) in (2,2,1):
s  (1, 2, 2),
x 1 y z 1
 
1
2
2
Če je katera od komponent vektorja smeri enaka 0, se enačba premice poenostavi:
r0  (1, 1, 2), s  (2, 0, 1) 
MATEMATIKA 1
x 1 z  2

, y  1
2
1
7
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PREMICA KOT PRESEK DVEH RAVNIN
Skozi točko v ravnini lahko potegnemo
nešteto premic. Poljubni dve izmed teh
določata točko.
Podobno skozi premico v prostoru lahko postavimo nešteto ravnin. Poljubni
dve izmed teh ravnin enolično določata premico.
Ravnini z normalami n0 in n1 določata
premico s smerjo s  n0  n1 , za r0 pa
vzamemo eno točko iz preseka.
MATEMATIKA 1
8
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PARAMETRIČNI OPIS PREMICE IN RAVNINE
r
r0
r1
r  r0  t  s  r0  t  r1  r0  , t 
r2
r
r0
r1
MATEMATIKA 1
r  r0  t1  r1  r0   t2  r2  r0  , t1 , t2 
9

similar documents