Modèle de Solow : la croissance équilibrée

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Modèle de Solow : la croissance équilibrée ?
Après avoir présenté le modèle de reproduction élargie de
Marx, et avoir poursuivit par le modèle Harrod Domar qui
soulignent chacun les causes de l’instabilité de la
croissance.
On passe au modèle de Solow où les conditions d’une
croissance équilibrée pourraient être possible …
La représentation établie par Robert Solow (1956) d’une
croissance équilibrée arrive au bon moment pour
expliquer une situation qui apparait surprenante.
Alors que de nombreux économistes à l’instar de J.A.
Schumpeter s’attendent à la crise finale du capitalisme, la
croissance apparaît robuste et régulière dans de
nombreux pays.
Cette situation est en inadéquation avec le modèle de
reproduction élargie, ainsi qu’avec le modèle Harrod
Domar.
Comment expliquer la stabilité de la croissance ?
Le modèle de Solow est fondé sur un bien qui peut aussi
bien servir comme capital que comme bien de
consommation (image du blé).
Il n’y a ni monnaie, ni titres financiers.
Néanmoins, les biens produits peuvent être le support d’un
épargne dès lors qu’ils sont investis sous formes de capital
physique
Cette épargne est rémunérée au niveau du taux de
rendement du capital physique.
Comme il n’existe pas d’autres supports à l’épargne autres
que les biens physiques. L’épargne s’identifie à
l’investissement.
Dans l’économie il existe 2 types d’agents, les entreprises et
les ménages.
Les ménages possèdent les entreprises qui leur versent les
bénéfices réalisés.
Les entreprises mobilisent les services producteurs travail (w)
et capital (r+δ)
(w) : le taux de salaire réel
(r+δ) : coût d’usage réel du capital pour les entreprises ou
taux de rendement brut pour les ménages.
r taux de profit du capital, δ taux de dépréciation
C  I  Y   w L
s
d
 L   r   K
s
d
K
s
 0
S  sY
avec 0  s  1
Y
L
Y
K
 0;
 0;
 ²Y
 L²
 ²Y
 K²
 0;
 0;
 ²Y
LK
 ²Y
L K
0

 ²Y
K L
0
Y
x
lim   et
x 0
Y
x
lim  0
x  
avec x  K, L
En remplaçant dans la contrainte par les conditions obtenues, on peut définir pour le
niveau de production initial les quantités respectives des facteurs travail et capital.
Ceci définit la combinaison productive optimale. Il y a égalité entre les rapports des
prix des facteurs et le rapport de leur productivité marginale.
Ceci n’implique pas nécessairement que les facteurs de production soient rémunérés
à leur productivité marginale.
Ce rapport peut être vérifié avec des taux de rémunération inférieurs à la
productivité marginale du facteur correspondant.
Dans ce cas, l’entrepreneur pourra accroître ses profits en étendant indéfiniment sa
production.
Dans le cas contraire, l’entrepreneur sera amené à réduire son niveau de production.
Si par hasard, les facteurs se trouvaient effectivement rémunérés à leur productivité
marginale. L’entrepreneur n’est pas incité à modifier son volume de production.
L’entrepreneur a deux choix à réaliser : sa combinaison productive et son niveau
de production.
Dans un premier temps, il va fixer au hasard un niveau de production à partir
duquel il va déduire la combinaison productive optimale.
Ensuite, en fonction de ses profits, il va réduire ou accroître sa production.
A l’équilibre général, les facteurs sont rémunérés à leur productivité marginale et
il n’y a plus de profit.
Pour un marxiste l’absence de profit implique l’absence d’accroissement de
l’accumulation, il ne devrait plus y avoir de croissance ?
Analyse du modèle de Solow en courte période.
L’équilibre intra-périodique implique que le niveau des facteurs de production ne
peut pas changer.
Le stock de capital et le stock de travail dépendent des flux accumulés dans le
passé.
S  sY  I
C  I  Y   w L
s
d
 L   r   K
s
d
K
s
 0
Le marché s’équilibre par le processus de tâtonnement décrit précédemment. La
combinaison productive est fixée par un niveau de production initial fixé arbitrairement.
Le rapport capital travail ne changera plus en raison de l’homogénéité de degré 1 de la
fonction de production.
Par contre, le niveau de production n’est pas fixé de manière irrémédiable. Celui-ci ne
s’établit définitivement qu’une fois atteint le niveau de production qui permet d’équilibrer
la rémunération des facteurs de production et leur productivité marginale.
C’est le processus de tâtonnement walrassien d’ajustement entre les prix et les quantités.
Si un facteur est trop demandé, son prix sera supérieur à sa productivité marginal, le
niveau de production sera diminué jusqu’à ce que l’équilibre soit réaliser entre le prix et la
productivité marginale.
L’équilibre implique toujours le plein emploi des facteurs de production.
La population croît au rythme gNt et la population est supposée croître au même
rythme, l’offre de travail est inélastique et on se trouve au plein emploi;
g Nt 
N t
Nt
 n;
et g L t 
L t
Lt
n
(1)
g Kt 

K
t

sY t   K t
Kt

Kt
g Kt 
sy t
Kt
 
kt
s

vt
gk  gK  gL  gK  n
g kt 
s
vt

sY t
n
 


(3)
Dans l’équation (4)
g Kt 
sy t
kt
 
s

vt
Le taux de croissance du capital sera constant que si vt le coefficient de capital est
lui-même constant, les autres variables étant exogènes.
Il faudra donc que K et Y augmentent au même rythme, comme k et y.
Comme on a une fonction de production concave, il est impossible que k, et y
croissent au même taux.
La seul possibilité est qu’ils ne croissent pas. k et y doivent être constants
comme v.
K, Y et L croîtront au même taux. C’est le taux exogène de croissance de la
population active n qui va fixer le rythme des variables K,Y et L.
L’équilibre inter-périodique:




Y

Y
Y
K

Y
K
L

Y
L
Y 
K 
L 


K
L
Y
Y K K Y L L
Le théorème d’Euler indique pour une équation
homogène de degré 1 :
Y
Y  K
K
L
Y
L
Lorsque les rendements d’échelles sont constants en
divisant par Y on obtient les élasticités :
 Y ,K   Y ,K  1
Le taux de croissance du PIB
g Y   Y , K g K  1   Y , K g L
Le taux de croissance du produit correspond donc à la moyenne des
taux de croissance des facteurs de production pondérée par les
élasticités du produit associées à ces facteurs
g Y   Y , K g K  1   Y , K g L
Cette formule générale est valable sur le sentier de croissance régulier :
gY = gK = gL
et même en dehors.
Dans notre cas où gL = n est exogène, lorsque gK > n (donc gk > 0), gY
sera aussi supérieur à n et donc gy aussi et inversement.
Ceci implique également que le taux de croissance du revenu (gY) sera
toujours compris entre gK et n.
Si gK se rapproche de n, gY le fera aussi.
Si l’élasticité du capital (σY,K) est indépendant du niveau
de capital par tête (k), gY ne sera constant que si gk l’est
aussi.
Le coefficient de capital (v) est une fonction croissante
de k.
g Kt 
sy t
kt
 
s
vt

g Y   Y , K g K  1   Y , K g L
A partir des deux équations précédantes on peut
réécrire:
g Y   Y ,K
 s

    1   Y , K n

 v(k )

Pour k = k*, à l’équilibre inter périodique on a gY=n.
Pour k<k*, gk > n, k et y augmentent.
Pour k>k*, gk < n, k et y diminuent
On peut déduire l’équation dynamique fondamentale du modèle de Solow à partir de
l’équation (6) en la multipliant par kt :
g kt 
g kt 
s

vt
sy t
kt

n
n
 
 δ
 6 

sf
k t 
kt
Pour rappel
kt  sf  k t    n   k t

n
g kt 
 δ
kt
kt
Diagramme de phase où la variation de la variable est déterminée par le niveau de la
variable.
Cette équation différentielle lie la variation du capital par tête à son niveau.
kt  sf
k t   n
 
k t
La solution stationnaire est obtenue lorsque
kt  0  sf  k t    n   k t
Les conditions d’Inada impliquent que quelque soit le niveau de
capital par tête initial l’économie va converger vers un unique
sentier régulier .
Lorsque le niveau de capital par tête est faible, la convergence dans
le modèle de Solow tient à un taux de profit élevé et un taux de
salaire faible.
La forte productivité marginale du capital apparaît comme une forte
incitation à investir.
Mais dans le modèle de Solow la propension à épargner est exogène.
Donc on épargnera pas plus pour investir plus, toutefois l’épargne
est suffisante pour faire croître le capital par tête.
La fonction de production peut devenir plus capitalistique puisque
on a supposé qu’on disposait d’un continuum de techniques.
De plus la hausse des salaires et la baisse des loyers du capital
inciteront les entrepreneur à substituer du capital au travail.
Le processus se poursuivra jusqu’à atteindre k*
Inversement si k > k* l’épargne par tête est insuffisante pour
entretenir le capital par tête. Le salaire baisse et le taux de profit
s’élève entraînant une substitution du travail au capital.
C’est la substitution continue entre les facteurs de production qui
permet l’équilibre. Cette hypothèse est rejetée par le modèle HD.
Limites et développement du modèle
de Solow
Le modèle est très simple modèle à un bien, qui se transforme en
bien de consommation ou d’investissement en fonction de l’épargne.
La fonction de production est à facteur substituables à rendement
constant. Les techniques sont toujours disponibles sans qu’on sache
d’où vient le PTK, pas de coût de changements, coûts irrécupérables
?
Si les économies ne se différencient ni par leur accès à la
technologie, ni par des comportements d’épargne, ni par la
démographie alors le modèle de Solow implique un processus de
convergence absolu.
Quelque soit le niveau de développement des économies, leur
niveau de capital par tête, toutes vont converger vers le même
sentier de croissance.
En endogénéisant le niveau de population active il
possible de décrire des situations plus complexes avec
des trappes à pauvreté rappelant le cadre d’analyse
malthusien.
Si le niveau de la population active dépend du niveau de
revenu par tête et donc du capital par tête.
Si y est très faible n croîtra très lentement voire en dessus
du niveau de subsistance, il y aura une réduction de la
population active. Si y s’élève, il pourra au contraire avoir
une très augmentation de la population active.
[n(k)+δ]k n’est plus une droite mais une courbe.
3 équilibres sont possibles : k1 et k3 stables k2 instable.
Les pays sous k2 sont enfermés dans des trappes à pauvreté
Les pays au dessus de k2 s’orient progressivement vers k3 le
développement.
Stratégie du big push, et de hausse de l’épargne
La règle d’or d’Allais Phelps:
Origine biblique : « Fais aux autres ce que tu voudrais qu’ils
te fassent.»
Transposée à l’économie cette règle concerne la répartition
entre les générations du niveau de la consommation.
La règle d’or fixe le niveau de consommation qui permettra
aux générations successives de disposer du même niveau
de consommation.
Jusqu’à présent le taux d’épargne était considéré comme
exogène.
Sur les ordonnées se trouve le niveau d’état régulier de la
consommation par tête associé à chaque taux d’épargne
Le taux d’épargne qui maximise la consommation par tête à
l’état régulier est appelé « taux d’épargne de la règle d’or ».
Sans se placer dans le cadre du modèle d’optimisation intertemporel de l’épargne.
On s’efforce d’établir le niveau d’épargne qui permet le
niveau de consommation le plus élevé pour l’ensemble des
générations successives.
L’idée est qu’un niveau d’épargne important augmente le
capital par tête mais nuit au niveau de la consommation.
La consommation est le reliquat entre le niveau de revenu et
le niveau d’épargne.
Ces forces contradictoires s’annulent pour la niveau de
consommation/ d’épargne optimal qui définie la règle d’or.
Influence d’une augmentation de l’épargne
Les courbes sf(k) et sf(k)-(n+)k pivotent vers le
haut autour de l’origine.
gY et gK se déplance verticalement vers le haut.
Les droites (n+)k et gL qui ne dépendent pas de s ne
bougent pas.
L’économie va accumuler du capital par tête jusqu’à
atteindre un nouvel équilibre.
Ici le taux de croissance de l’économie sera accélérée
pendant la période transitoire, puis retournera à la valeur
n.
Ici le sentier de la croissance a été déplacé vers le haut. Mais ceci n’est
possible que si l’on se trouve en dessous du niveau d’épargne de la règle
d’or
Dans le cas contraire, le niveau de la consommation pourrait être réduit.
La règle d’or correspond à l’usage de la technique qui maximise la
consommation par tête si r= gY.
Dans le modèle de Solow gY=n , mais le capital par tête qui détermine la
productivité marginale du capital et r, dépend du s qui va conduire à une
production plus ou moins capitalistique.
« Toutes choses égale d’ailleurs, il existe donc un niveau s taux d’épargne
qui permet de maximiser la consommation par tête sur un sentier
régulier.
Ce celui qui permet d’avoir k* dont la productivité marginale nette soit
égale à n.
L’épargne est la non consommation on peut réécrire l’équation dynamique :
kt  f ( k t )  c t   n   k t
Pour le sentier régulier
*
*
*

k t  0 et c  f ( k )   n   k
La règle d’or constitue donc la condition de première ordre de la
maximisation de de cette consommation par tête.
c
*
k
*
0

f' (k or )  n  
 ror  n
kor est le stock de capital par tête qui permet de maximiser la consommation
par tête.
C’est également le stock de capital par tête dont le taux
de rendement est égal au taux de croissance régulier du
système.
L’économie croit au taux démographique n en utilisant
toujours la même technique.
La consommation par tête sera la plus forte possible si la
productivité marginale du capital, dans cette technique
est juste égale à ce qui est requis pour l’amortir
et doter les nouveaux arrivant de la même quantité
moyenne de capital que la génération actuelle.
La question du progrès technique, résidu de Solow et progrès
technique au sens de Harrod.
Les modèles visent à résumer la réalité. Cette réalité est elle-même
résumé à travers des faits stylisés.
Les faits stylisés constituent le plus souvent des régularités
empiriques, certaines variables vont posséder une comportement
régulier : stable, croissant ou décroissant.
Ces faits stylisés plus ou moins bien fondés, mais globalement
acceptés par la communauté des économistes légitiment en partie
la démarche macroéconomique, non micro fondée
Par ailleurs, elle impose aux modélisateurs de reproduire ces faits
stylisés.
Le modèle de Solow dans sa forme simple sans progrès technique
parvient à en représenter 2.
La constance du coefficient de capital (v)
La constance de la répartition de la valeur ajoutée entre capital et
travail.
A proximité de leur état régulier les économies ont un coefficient
de capital constant
Les volumes de travail et de capital croissent un même rythme ce
qui assure la constance du partage de la valeur ajoutée.
Mais 2 autres faits stylisés caractérises les économies modernes
dont le modèle initial ne rend pas compte.
La croissance du revenu par tête
L’augmentation du capital par tête.
Dans le modèle simple de Solow k* et y* sont constants à
l’état régulier.
Le résidu de Solow est la part de la croissance qui ne peut
être expliquée par la croissance des facteurs de production
compte tenu de leur productivité.
Théoriquement le taux de croissance du produit correspond à la moyenne des taux de croissance des facteurs
de production pondérée par les élasticités du produit
associées à ces facteurs soit leur productivité marginale.
On rappelle également que dans un univers concurrentiel, les
facteurs de production sont rémunérés à leur productivité
marginale.
Il est donc possible d’évaluer les élasticités des facteurs de
production au produit grâce à la part dans la valeur des différents
facteurs de production.
Sur longue période dans de nombreux pays les parts relatives du
facteur travail est de 2/3 et le capital compose 1/3 de la valeur
ajoutée.
Les élasticités sont définies ainsi :
Y, K 
K Y
Y K
et  Y , L 
L Y
Y L

Y, K 
r    K
K
et  Y , L 
wL
Y
Empiriquement on peut évaluer le résidu de Solow ainsi :
R ésidu de S o lo w = g Y   Y , K g K  1   Y , K  g L
Le résidu apparaît toujours très important, l’explication principal
de cette situation tenant au fait qu’on ne tient pas compte du
progrès technique.
Le progrès technique modifie la fonction de production en
accroissant Y au cours du temps pour un niveau de travail et de
capital donné.
Le progrès technique peut être incorporé soit dans le travail,
soit dans le capital, soit être considéré comme exogène à
travers une tendance temporelle.
Neutralité du progrès technique :
Au sens de Harrod, seul le productivité marginale du travail augmente, celle du capital
reste inchangé.
Au sens de Solow, seul la productivité marginale du capital augmente, laissant inchangé
celle du travail.
Au sens de Hicks, le rapport des productivité marginal demeure inchangé.
http://www.unilim.fr/pages_perso/philippe.darreau/La%20neutralit%E9%20du%20progr%
E8s%20technique.pdf
La pente de f(k) est PmK = R = r+d , l'ordonnée à l'origine de cette pente est PmL = w
Harrod : K/Y donné, le taux de salaire (w) augmente, la PmK reste inchangée.
Solow: L/Y donné, le taux de d'intérêt (r) augmente, la PML et la PmL restent
inchangées.
Hicks : K/L donné, le rapport des productivités marginales et des prix reste inchangé.
III) Choix d'une forme de neutralité
La théorie de la croissance retient un progrès technique neutre au sens de
Harrod, pour deux type de raisons, l'une empirique, l'autre théorique.
Mais la théorie retient le plus souvent une fonction de production Cobb Douglas
qui est compatible avec la neutralité aux sens de Harrod de Solow et de Hicks.
1-la fonction Cobb Douglas
La fonction de production Cobb Douglas est compatible avec un progrès
technique neutre aux sens de Harrod de Solow et de Hicks. Elle peut en effet
s'écrire indifféremment :
Graphiquement elle seule satisfait à la représentation suivante :

t
Yt  F K t , e L t

Avec la fonction homogène de degré 1 l’intégration du
progrès technique sur le travail apparaît avec (γ)
Le terme e  t représente l’efficacité du travail qui croît au
rythme régulier exogène (γ).
t
e Lt
Le travail efficace
croît au rythme (n+γ).
L’économie désormais ne croît plus au rythme n mais
(n+γ).
L’équilibre est désormais atteint lorsque le ratio capital par
K
tête du travail efficace est constant.

t
t
e Lt
Pour cela le capital doit également croître au rythme (n+γ).
Par conséquent le capital par tête va croître un rythme (γ). Ce qui
permet de respect le 4eme fait stylisé.
Le produit par tête
l’état régulier
 Kt 
efficace e  t L  f  e  t L 
t
t 

Yt
sera lui aussi constant à
ce qui impose que le revenu croisse au même rythme que le capital
(n+γ).
Ainsi le coefficient de capital sera constant (1), le produit par tête
augmentera au taux exogène (γ) fait stylisé (3).
Le partage de la valeur ajoutée reste stable également
Si on réécrit la fonction de production ainsi :
 Kt 
Yt  e L t f   t 
 e Lt 
t
 Kt 
rt   
 f ' t 
K t
 e Lt 
 Yt
w t
e
t
 Yt
 Lt
e
t
  K e t
 Kt 


K
t
f  t   e f ' t t   t t
 e Lt 
 e L t    e L t  ²
  Kt   Kt 
 Kt
 f  t    t  f ' t
  e L t   e L t 
 e Lt






 
 Kt 
su r le sen tier rég u lier o n sai t q u e   t  est co n stan t.
 e Lt 
Le taux de profit brut est donc constant également. La masse des
profits croît au taux (n+γ).
Le taux de salaires augmente au rythme (γ). La masse des salaires croît
au rythme (n+γ).
La masse des profits et des salaires augmente au même rythme, la
répartition des revenus est stable sur le sentier régulier (fait stylisé 2).
Finalement, on a le produit et le capital qui augmentant en raison du
progrès technique et de l’évolution démographique (n+γ) ce qui conduit
à la stabilité du coefficient de capital K/Y
L’emploi croît au taux n, donc la rapport K/L augmente au taux (γ),
comme le capital par tête, le revenu par tête et la consommation par tête.
Le taux de profit est constant mais le taux de salaire augmente (γ) ce qui
laisse inchangé la répartition des revenus.
Pour réussir à faire correspondre le modèle avec la réalité on a été
obligé d’introduire du progrès technique de manière exogène.
On ne sait pas très bien d’où celui-ci provient
On suppose que celui-ci porte sur le travail, il pourrait tout aussi
bien correspondre à PTK sur le capital.
Au final, le modèle de Solow, n’est pas un modèle de croissance
puisque la croissance n’est possible qu’en période de rattrapage.
A l’équilibre, le croissance du PIB/tête=0.
Si on considère que la croissance et a fortiori le développement
correspond à une augmentation du PIB/Tête on est obligé
d’introduire du PTK.
En réalité même avec l’introduction du PTK, il existe un écart
important entre la croissance du PIB et des facteurs de production
lorsqu’on tente de réaliser la comptabilité de la croissance à la
manière de Maddison (td4).
Cet écart peut correspondre à la faiblesse de l’analyse économique,
la mesure de notre ignorance.
Ou bien elle peut être considérée comme un élément qui ne se
laisse pas attraper par des équations économétriques.
Mais alors le résidu de Solow représente ce que l’on appelle la
productivité global des facteurs

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