Chapter 4 TR - Kenan Burak Ceylan Kişisel Blog

Report
BİYOİSTATİSTİK-I
(6BESYGS001)
Bölüm 4
Sürekli Rassal Değişkenler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm.4-1
Olasılık Dağılımları
Olasılık
Dağılımları
Bölüm. 3
Kesikli
Olasılık
Dağılımları
Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Binom
Tekdüze
Hipergeometrik
Normal
Poisson
Üstel
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm. 4
Bölüm 4-2
Sürekli Olasılık Dağılımları
5.1

Bir sürekli rassal değişken bir değer
aralığındaki her hangi bir değeri göz önüne
alan değişkendir





bir nesnenin kalınlığı
Bir işi tamamlamak için gerekli olan süre
Bir çözeltinin sıcaklığı
cm cinsinden yükseklik
Bunlar, ölçümün hassasiyetine bağlı olarak
herhangi bir değeri alabilmektedirler.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-3
Birikimli Dağılım Fonksiyonu

Sürekli bir rassal X değişkeni için Birikimli Dağılım
Fonksiyonu olarak F(x), X’in x’in her hangi bir
değerini aşmadığını ifade etmektedir
F(x)  P(X  x)

a ve b, a<b olmak üzere X’in iki muhtemel
değeri olsun. X’in a ve b arasında yer alma
olasılığı aşağıdaki gibidir
P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-4
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. f(x) > 0 (x’in tüm değerleri için)
2. X’in tüm değerleri için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu
altında kalan alanı 1,0’e eşittir.
3. X’in iki değer arasında yer alma olasılığı, bu iki değer
arasındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-5
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
(devam)
Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:
4. F(x0) birikimli olasılık fonksiyonu , minimum x’den x0’a
kadar olan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında
kalan alandır
x0
F(x 0 ) 
 f(x)dx
xm
xm rassal x değişkeninin minimum değeridir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-6
Alan olarak Olasılık
Eğri altındaki taralı alan X’in a ile b
arasında yer alma olasılığıdır
f(x)
P (a ≤ x ≤ b)
= P (a < x < b)
(Her hangi bireysel
değerin olasılığının sıfır
olduğuna dikkat ediniz)
a
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
b
x
Bölüm 4-7
Tekdüze Dağılım
Olasılık
Dağılımı
Sürekli
Olasılık
Dağılımı
Tekdüze
Normal
Üstel
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-8
Tek düze dağılım

Tekdüze dağılım bir rassal değişkenin tüm
muhtemel sonuçları için eşit olasılıklara sahip
olduğu bir olasılık dağılımıdır.
f(x)
Tekdüze yoğunluk
fonksiyonu altında
kalan toplam alan
1.0’dir.
xmin
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
xmax x
Bölüm 4-9
Tek düze dağılım
(devam)
Sürekli Tekdüze Dağılım:
1
ba
eğer a  x  b ise
f(x) =
0
aksi halde
f(x) = yoğunluk fonksiyonunun herhangi bir x’deki
değeri
a = x’in minimum değeri
b = x’in maksimum değeri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-10
Tekdüze Dağılımın Özellikleri

Tekdüze dağılımın ortalaması
μ
ab
2

Varyans
σ 
2
(b - a)
2
12
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-11
Tekdüze Dağılım-Örnek
Örnek: 2 ≤ x ≤ 6 aralığı boyunca tekdüze
olasılık dağılımı :
f(x) =
1
6 - 2 = 0,25 (2 ≤ x ≤ 6 için)
f(x)
μ
0,25
ab

26
2
σ 
2
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
6
x
(b - a)
12
4
2
2

(6 - 2)
2
 1.333
12
Bölüm 4-12
Sürekli Rassal Değişkenler için
Beklenen Değerler

X’in μX olarak gösterilen ortalaması X’in beklenen
değeri olarak tanımlanmaktadır
μ X  E(X)

σX2 olarak gösterilen X’in varyansı (X - μX)2 rassal
değişkenin ortalamadan sapmalarının karelerinin
beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır
σ X  E[(X  μ X ) ]
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
Bölüm 4-13
Değişkenlerin Doğrusal
Fonksiyonları


X’in ortalamasının μX ve varyansının σX2 olduğu
ve a ve b’lerin sabit olduğu W = a + bX
doğrusal fonksiyonu için
O halde W’nun ortalaması aşağıdaki gibidir
μ W  E(a  bX)  a  b μ X

Varyansı aşağıdaki gibidir
σ

2
W
 Var(a  bX)  b σ
2
2
X
W’nun Standart sapması aşağıdaki gibidir
σW  bσX
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-14
Değişkenlerin Doğrusal
Fonksiyonları
(devam)

Daha önceki sonuçların özel bir hali de standardize
rassal değişkendir
Z

X  μX
σX
burada ortalama 0 ve varyans 1’e eşittir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-15
5.3
Normal Dağılım
Olasılık
Dağılımları
Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Tekdüze
Normal
Üstel
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-16
Normal Dağılım
(devam)
‘Çan şeklinde’
 Simetrik
 Ortalama, Ortanca ve Mod
eşitttir

f(x)
Konum ortalama μ tarafından
belirlenir,
Yayılım standart sapma, σ
tarafından belirlenir.
Rassal değişken+  ile  
arasında arasında yer alan
sonsuz bir değer aralığına
sahiptir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
σ
μ
x
Ortalama
= Ortanca
= Mod
Bölüm 4-17
Normal Dağılım
(devam)




Normal dağılım geniş bir aralıktaki rassal
değişkenleri yakın olarak yakınsar
Örneklem ortalamalarının dağılımları “büyük” bir
örneklem verildiğinde bir normal dağılıma yakınsar
Olasılıkların hesabı doğrudan ve kolay bir şekilde
gerçekleştirilir
Normal olasılık dağılımı bir dizi uygulama için iyi iş
kararlarına yönlendirmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-18
Pek çok Normal Dağılım
μ ve σ, parametrelerini değiştirerek, farklı normal
dağılımlar elde ederiz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-19
Normal Dağılımın Şekli
f(x)
μ’yü değiştirmek dağılımı
sağa veya sola kaydırır.
σ
σ’yı değiştirmek
yayılımı artırır veya
azaltır.
μ
x
Ortalama μ ve varyans σ verildiğinde, normal dağılımı
aşağıdaki gösterimle tanımlamaktayız
2
X ~ N( μ , σ )
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-20
Normal Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu

Normal olasılık yoğunluk fonksiyonun formülü
aşağıdaki gibidir
f(x) 
1
2π 
2
e
 (x  μ) /2 σ
2
e = 2,71828’e yaklaşan matematiksel sabit
π = 3,14159’ye yaklaşan matematiksel sabit
μ = popülasyon ortalaması
σ = popülasyon standart sapması
x = sürekli değişkenin  < x <  arasındaki herhangi bir değeri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-21
Birikimli Normal Dağılım

Ortalaması μ ve varyansı σ2 olan normal rassal bir
X değişkeni için yani, X~N(μ, σ2), birikimli dağılım
fonksiyonu aşağıdaki gibidir
F(x 0 )  P(X  x 0 )
f(x)
P(X  x 0 )
0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
x0
x
Bölüm 4-22
Normal Olasılıkların Bulunması
Bir değer aralığı için olasılık eğri altında
kalan ile ölçülmektedir.
P(a  X  b)  F(b)  F(a)
a
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
μ
b
x
Bölüm 4-23
Normal Olasılıkların Bulunması
(devam)
F(b)  P(X  b)
a
μ
b
x
a
μ
b
x
a
μ
b
x
F(a)  P(X  a)
P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-24
Standardize Normal

Herhangi bir normal dağılım (herhangi bir ortalama
ve varyans değerine sahip olan) ortalaması 0 ve
varyansı 1 olan standardize normal dağılıma (Z)
dönüştürülebilmektedir
f(Z)
Z ~ N(0 ,1)
1
0

Z
X’in ortalamasını çıkararak ve standart sapmasına bölerek X
birimlerin Z birimlerine dönüştürülmesi gerekmektedir.
Z
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X μ
σ
Bölüm 4-25
Örnek

Eğer X ortalaması 100 ve standart sapması
50 olacak şekilde normal olarak dağılıyorsa,
X = 200 için Z değeri;
Z 

X μ
σ

200  100
50
 2,0
Buradan X = 200’ün 100 2 standart sapma
üzerinde (50 birimlik 2 kademe) yer aldığı
görülmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-26
X ve Z birimlerin karşılaştırılması
100
0
200
2,0
X
Z
(μ = 100, σ = 50)
( μ = 0 , σ = 1)
Dağılımın aynı olduğuna, sadece ölçeğin
değiştiğine dikkat ediniz. Problemi orijinal
birimlerinde (X) ifade edebileceğimiz gibi
standardize birimlerinde de (Z) ifade edebiliriz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-27
Normal Olasılıkların Bulunması
b μ
aμ
P(a  X  b)  P 
Z

σ 
 σ
bμ
aμ
 F
  F

 σ 
 σ 
f(x)
a
aμ
σ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
µ
0
b
b μ
σ
x
Z
Bölüm 4-28
Eğri Altında Kalan Alan Olarak
Olasılık
Eğri altında kalan toplam alan 1,0’dir ve eğri
simetriktir, o zaman hem ortalamadan küçük olan
hem de ortalamadan büyük olan kısım toplam alanın
yarısıdır
f(X) P(    X  μ)  0,5
0.5
P(μ  X   )  0,5
0.5
μ
P(    X   )  1,0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X
Bölüm 4-29
z-Tabloları


İstatistik kitaplarında Standardize Normal Tablo
birikimli (kümülatif) normal dağılım fonksiyonu
değerlerini göstermektedir
Verilen bir Z-değeri için, tablo F(a)’yı
göstermektedir. Verilen bir Z-değeri için tablo
F(a) değerini göstermektedir
(eksi sonsuzdan a’ya kadar olan kısımdaki eğri altında
kalan alandır)
F(a)  P(Z  a)
0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
a
Z
Bölüm 4-30
Standardize Normal Tablo
 İstatistik kitaplarındaki z-tablosu herhangi bir a
değeri için F(a) olasılığını vermektedir
0,9772
Örnek:
P(Z < 2,00) = 0,9772
0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2,00
Z
Bölüm 4-31
Standardize Normal Tablo
(devam)
 Negatif Z-değerleri için ihtiyaç duyulan olasılığı
bulmak üzere dağılımın simetrik olduğu
olgusundan faydalanınız:
0,9772
Example:
P(Z < -2,00) = 1 – 0,9772
= 0,0228
0,0228
0
2,00
Z
0,9772
0,0228
-2,00
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0
Z
Bölüm 4-32
Olasılıkları Bulmak için İzlenen
Genel Prosedürler
X normal olarak dağıldığında P(a < X < b) ‘yi
bulmak için:

Problem için normal eğriyi X için çiziniz.

X-değerlerini Z-değerlerine dönüştürünüz.

Birikimli (Kümülatif) Normal Tabloyu kullanınız.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-33
Normal Olasılıkların Bulunması


X’in ortalama değeri 8,0 ve standart
sapması 5,0 olacak şekilde normal
dağıldığını varsayınız
(X < 8,6)’yı bulunuz
X
8,0
8,6
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-34
Normal Olasılıkların Bulunması
(devam)

X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak
şekilde normal dağıldığını varsayınız. P(X < 8,6)’yı
bulunuz
Z 
X μ
σ

8,6  8,0
5,0
 0,12
μ=8
σ = 10
8 8,6
P(X < 8,6)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
μ=0
σ=1
X
0 0,12
Z
P(Z < 0,12)
Bölüm 4-35
Çözüm: P(Z < 0,12)’nin bulunması
Standardize Normal Olasılık
Tablosu (Bir kısmı)
z
F(z)
.10
.5398
.11
.5438
.12
.5478
P(X < 8,6)
= P(Z < 0,12)
F(0,12) = 0,5478
Z
.13
.5517
0.00
0,12
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-36
Üst Kuyruk Olasılıkları


X’in ortalama değeri 8,0 ve standart
sapması 5,0 olacak şekilde normal
dağıldığını varsayınız.
Şimdi P(X > 8,6)’yi bulunuz
X
8,0
8,6
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-37
Üst Kuyruk Olasılıkları
(devam)

Şimdi P(X > 8.6)’yi bulunuz…
P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)
= 1,0 – 0,5478 = 0,4522
0,5478
1,000
Z
0
0,12
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1,0 – 0,5478
= 0,4522
Z
0
0,12
Bölüm 4-38
Bilinen bir Olasılık için X’in
değerinin bulunması

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin
bulunmasında izlenen adımlar:
1. Bilinen olasılık için Z değerini bulunuz
2. Aşağıdaki formülü kullanarak X’e
dönüştürünüz:
X  μ  Zσ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-39
Bilinen bir Olasılık için X’in
değerinin bulunması
(devam)
Örnek:
 X’in 8,0 ortalama ve 5,0 standart sapma değeri
ile normal dağıldığını varsayınız.
 Şimdi bu X’in altında kalan ve tüm değerlerin
%20’sini oluşturan X değerini bulunuz.
0,2000
?
?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
8,0
0
X
Z
Bölüm 4-40
Alt Kuyruktaki %20 için Z
değerinin bulunması
1. Bilinen olasılık için Z değerinin bulunması
Standardize Normal Olasılık
Tablosu (Bir kısmı)
z
F(z)
.82
.7939
.83
.7967
.84
.7995
.85
.8023
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Alt kuyruktaki %20’lik
alan -0.84’lük bir Z
değeri ile uyumludur
0,80
0,20
?
8,0
-0,84 0
X
Z
Bölüm 4-41
X değerinin bulunması
2. X birimlere aşağıdaki formülü
kullanarak dönüştürünüz:
X  μ  Zσ
 8 , 0  (  0 , 84 )5 , 0
 3 , 80
O halde ortalaması 8,0 ve standart sapması 5,0
olan bir dağılımın değerlerinin %20’si 3,80’den
daha düşüktür
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-42
Normalliğin Değerlendirilmesi


Sürekli rassal değişkenlerin hepsi normal
dağılım sergilemezler
Verilerin ne kadar bir normal dağılıma
yaklaştığını değerlendirmek önemlidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-43
Normal Olasılık Grafiği

Normal olasılık grafiği




Verileri en düşükten en yüksek değere doğru
sıralayınız
Tüm değerler için birikimli (kümülatif) normal
olasılıkları bulunuz
Gözlenen değerlere karşı birikimli (kümülatif)
olasılıkların grafiğini inceleyeniz (birikimli (kümülatif)
normal olasılıkları dikey eksende ve gözlenen
değerler yatay eksende olacak şekilde çizilmelidir)
Grafiği doğrusallık kanıtı yönünden değerlendiriniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-44
Normal Olasılık Grafiği
(devam)
Bir normal dağılımdan elde edilen bir
normal olasılık grafiği yaklaşık olarak
doğrusal olacaktır:
100
Yüzde
0
Veriler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-45
Normal Olasılık Grafiği
(devam)
Sola çarpık
Sağa çarpık
100
Yüzde
Yüzde
100
0
Veriler
0
Veriler
Tekdüze
Doğrusal olmayan grafikler
normallikten sapmayı
göstermektedir
Yüzde
100
0
Veriler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-46
Binom Dağılımı için Normale
Yaklaşma

Binom dağılımı hatırladığımızda:



n bağımsız deneme
Verilen herhangi bir deneyde başarı olasılığı = P
Rassal değişken X:


Xi =1 eğer i’inci deneme “başarı” ise
Xi =0 eğer i’inci deneme “hata” ise
E(X)  μ  nP
Var(X)  σ  nP(1- P)
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-47
Binom Dağılımı için Normale
Yaklaşma
(devam)



Eğer n yeterince büyükse binom dağılımın şekli
yaklaşık olarak normaldir
nP(1 – P) > 5 olduğu zaman normal binoma iyi bir
yaklaşım sergiler
Bir binom dağılımdan Z’ye standardize ediniz:
Z
X  E(X)
Var(X)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

X  np
nP(1  P)
Bölüm 4-48
Binom Dağılımı için Normale
Yaklaşma
(devam)


Her birinin başarı olasılığı P olmak üzere X n bağımsız
denemedeki başarı sayısı olsun.
Eğer nP(1 - P) > 5 ise,

P(a  X  b)  P 


Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
a  nP
nP(1  P)
Z


nP(1  P) 
b  nP
Bölüm 4-49
Binom Yaklaşımına Örnek

Seçmenlerin %40’ı A halk oylamasını destekliyor.
n=200 örnek büyüklüğü için 76 ile 80 seçmenin bir
destek gösterme olasılığı nedir?


E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80
Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48
(dikkat: nP(1 – P) = 48 > 5 )

P (76  X  80)  P 


76  80
200(0,4)(1  0,4)
Z 


200(0,4)(1  0,4) 
80  80
 P (  0,58  Z  0)
 F (0)  F (  0,58)
 0,5000  0,2810  0,2190
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-50
Üstel Dağılım
Olasılık
Dağılımları
Sürekli
Olasılık
Dağılmları
Normal
Tekdüze
Üstel
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-51
Üstel Dağılım

Bir olayın iki farklı meydana gelişi arasındaki
zamanın uzunluğunu (varışlar arasındaki süre)
modellemek üzere kullanılır

Örnekler:



Boşaltma iskelesine varan kamyonlar arasındaki süre
Bir ATM makinesinde yapılan işlemler arasında geçen
süre
Ana operatöre yapılan telefon çağrıları arasında geçen
süre
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-52
Üstel Dağılım
(devam)

Üstel rassal değişken t (t>0) bir olasılık yoğunluk
fonksiyonuna sahiptir
f(t)  λ e

t  0 olm ak
üzere
Burada




 λt
 birim zamanda meydana gelme sayısıdır
t bir sonraki meydana gelme oluncaya dek olan zaman
birimi sayısıdır.
e = 2,71828
t‘nin bir üstel olasılık dağılımı sergilediği ifade
edilmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-53
Üstel Dağılım


Tek bir parametre olan ortalaması  (lambda) ile
tanımlanır.
Birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu (Bir varış
süresinin bazı belirlenmiş olan t zamanından daha
düşük olma olasılığı) aşağıdaki gibidir
F(t)  1  e
λt
burada e = Yaklaşık olarak 2,71828 olan matematiksel sabit
 =Birim başına varış sayısı popülasyon ortalaması
t = t>0 olmak üzere sürekli değişkenin her hangi bir
değeri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-54
Üstel Dağılım
Örnek
Örnek: Müşteriler servis sayacına saatte 15 oranında
varmaktadırlar. Ardışık müşteriler arasındaki varış
süresinin üç dakikadan kısa olma olasılığı nedir?

Saat başına ortalama varış sayısı 15’tir, o halde  = 15

Üç dakika 0,05 saattir

P(varış süresi <0,05) = 1 – e- X = 1 – e-(15)(.05)= 0,5276

O halde, ardışık müşterilerin varış sürelerinin üç
dakikadan daha kısa olması %52,76’lık bir olasılığa
sahiptir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-55
Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım
Fonksiyonları


X1, X2, . . .Xk sürekli rassal değişkenler olmak üzere
Onların Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonu
F(x1, x2, . . .xk)
x1’in X1’den daha düşük olduğunu, x2’in X2’den daha
düşük olduğunu vs tanımlamaktadır, yani
F(x 1 , x 2 ,  , x k )  P(X
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1
 x1  X 2  x 2   Xk  xk )
Bölüm 4-56
Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım
Fonksiyonları
(devam)


Bireysel Birikimli dağılım fonksiyonları
F(x1), F(x2), . . .,F(xk)
onların tekil dağılım fonksiyonları olarak
anılmaktadırlar.
Rassal değişkenler bağımsızdır, (sadece) eğer;
F(x 1 , x 2 ,  , x k )  F(x 1 )F(x
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
)  F(x k )
Bölüm 4-57
Ortak Varyans(Kovaryans)


X ve Y ortalamaları μx ve μy olan sürekli değişkenler
olmak üzere
(X - μx)(Y - μy)’in beklenen değeri X ve Y arasındaki
kovaryans olarak anılmaktadır
Cov(X, Y)  E[(X  μ x )(Y  μ y )]

Allternatif fakat eşdeğer bir ifade;
Cov(X, Y)  E(XY)  μ x μ y

Eğer X ve Y bağımsız ise; o halde bunların arasındaki kovaryans
0’dır. Ancak ters her zaman doğru olmayabilir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-58
Korelasyon


X ve Y bileşik olarak dağılmış olan rassal değişkenler
olsun.
X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir
ρ  Corr(X, Y) 
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Cov(X, Y)
σ Xσ Y
Bölüm 4-59
Rassal Değişkenlerin Toplamları


X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve
varyansları σ12, σ22,. . ., σk2 olan k adet rassal
değişken olsun. O halde:
Toplamlarının ortalaması ortalamalarının
toplamına eşittir
E(X 1  X 2    X k )  μ 1  μ 2    μ k
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-60
Rassal Değişkenlerin Toplamları
(devam)


X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve varyansları
σ12, σ22,. . ., σk2 olan k adet rassal değişken olsun.
Eğer rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki
kovaryans 0 ise bunların toplamının varyansı,
varyanslarının toplamına eşittir
Var(X

 X2    Xk )  σ1  σ 2    σk
1
2
2
2
Ancak, rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki
kovaryans 0 değilse, toplamlarının varyansı aşağıdaki
gibidir
K 1
Var(X
 X 2    X k )  σ 1  σ 2    σ k  2
1
2
2
2
K
 Cov(X
i
,X j)
i1 j i 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-61
İki Rassal Değişken Arasındaki
Fark
X ve Y gibi iki rassal değişken için

Farklarının ortalaması ortalamalarının farkına eşittir;
yani:
E(X  Y)  μ X  μ Y

Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 ise, o halde
farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:
Var(X  Y)  σ X  σ Y
2

2
Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 değilse, o halde
farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:
Var(X  Y)  σ X  σ Y  2Cov(X, Y)
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
Bölüm 4-62
Rassal Değişkenlerin Doğrusal
Kombinasyonu

X ve Y gibi iki rassal değişkenin doğrusal kombinasyonu
(a ve b sabit olmak üzere) aşağıdaki gibidir
W  aX  bY

W’ nun ortalaması aşağıdaki gibidir
μ W  E[W]  E[aX  bY]  a μ X  b μ Y
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-63
Rassal Değişkenlerin Doğrusal
Kombinasyonu
(devam)

W’ nun varyansı aşağıdaki gibidir
σ W  a σ X  b σ Y  2abCov(X,
2

2
2
2
2
Y)
Korelasyon kullanıldığında,
σ W  a σ X  b σ Y  2abCorr(X, Y) σ X σ Y
2

2
2
2
2
Eğer X ve Y bileşik normal olarak dağılmış rassal
değişkenler ise o halde W, doğrusal kombinasyonu da
normal dağılım sergilemektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-64
Örnek


İki iş aynı işçi tarafından yapılmalıdır.
 X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx = 5
 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy = 8
 X ve Y normal olarak dağılmışlardır ve bağımsızdırlar
Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve
standart sapması nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 4-65
Örnek

(devam)
 X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx = 5
 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy = 8
Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve
standart sapması nedir?
W  XY
μ W  μ X  μ Y  20  30  50

X ve Y bağımsız olduğundan dolayı Cov(X,Y) = 0, yani
σ W  σ X  σ Y  2Cov(X, Y)  (5)  (8)
2

2
2
2
2
 89
Standart sapma aşağıdaki gibidir
σW 
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
89  9.434
Bölüm 4-66

similar documents