Document

Report
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t
Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S
wewnątrz obszaru ciała B.
x2
ΔF
n
ΔS
Jakie jest oddziaływanie materiału części
zewnętrznej na materiał ograniczony
powierzchnią S?
S
x1
B
x3
Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków
Ciągłych
Rozpatrzmy nieskończenie mały element
Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`ego
na powierzchni S  ΔS. Można poprowadzić
jednostkowy wektor n normalny do ΔS
Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w
skierowany na zewnątrz powierzchni S.
stosunku do wektora n
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten
wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej.
Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S.
Założymy że gdy
S  0 to lim F  dF oraz że moment sił działających na
S
dS element powierzchniowy ΔS względem
S 0
dowolnego punktu tego elementu znika
Graniczny wektor możemy zapisać w postaci:
n
dF
T
dS
wskaźnik n oznacza kierunek
normalnej zewnętrznej
wektor naprężenia
przedstawia on siłę przypadająca
na jednostkę powierzchni (N/m2)
(Pa)
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danego
kontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we
wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego
stanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO
Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyzn
współrzędnych.
Normalna zewnętrzna jest skierowana
w dodatnim kierunku osi xk
k
k
T
n
T
ΔSk
oznacza wektor naprężenia którego
trzy składowe są odpowiednio
równe: k
T i , i  1,2,3
płaszczyzna prostopadła
xk
kierunek osi
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeń
dla składowych stanu naprężenia:
k
k
k
T 1   k1 T 2   k 2 T 3   k 3
Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać:
1
Pow.
normalna do
x1
2
3
 11
 12
 13
Pow.
normalna do
x2
 21
 22
 23
Pow.
normalna do
x3
 31
 32
 33
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Notację dobrze uwidacznia rys:
Składowe :
 33
x3
 31
 32
 23
 13
 11
 11  22  33
 12
zwane są naprężeniami normalnymi
 22
podczas gdy pozostałe składowe zwane są
naprężeniami stycznymi
 21
x2
Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanu
naprężenia.
x1
Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z:
x y z
dla naprężeń normalnych
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące
uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych.
Załóżmy że układ współrzędnych x1, x2, x3 jest inercyjnym układem odniesienia . Cześć
przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy
promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkości
cząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory :

P   Vdv
pęd ciała
B t 
gęstość materiału

H
 r Vdv
Bt
kręt ciała
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Prawa Newtona zastosowane przez Eulera do ośrodka ciągłego stwierdzają, że:
zmiana pędu w czasie jest równa wypadkowej sile F przyłożonej do ciała
dP
F
dt
zmiana krętu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi L
dH
L
dt
Zakładamy że wypadkowa siła i wypadkowy moment są dane w danym układzie odniesienia
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych
działają dwa rodzaje sił:
(1) siły masowe, działające na każdy element rozważanej objętości.
(2) siły powierzchniowe lub naprężenia działające na elementy powierzchniowe.
Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne,
przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiem
dwóch ciał
W polu grawitacyjnym:
X i  gi
Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektorem
naprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego.
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętą
powierzchnią S wynosi:
n
F   T dS   Xdv
S
B
Moment sił względem początku układu wynosi:
n
L   r  T dS   r  Xdv
S
B
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Wzór Cauchy`ego
Można wykazać , że zając składowe τij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia
działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe są
odpowiednio równe n1, n2, n3 . Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego:
n
T 1   11n1   21n2  31n3
n
T 2   12 n1   22 n2  32n3
n
T 3   13n1   23n2  33n3
gdzie  ij
n
jest tensorem naprężenia
T i   ij n j
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Równania równowagi
Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe
Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o
ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych.
siła na lewej ścianie pionowej:
 11dx2 dx3
siła na prawej ścianie pionowej:


 11
 11 
dx1 dx2 dx3
x1


Siła masowa:
Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!!
X i dx1dx2 dx3
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x1









 11  11 dx1 dx2 dx3   11dx2 d3   21  21 dx2 dx3dx1   21dx3d1   31  31 dx3 dx1dx2   31dx1d 2  X 1dx1dx2 dx3  0
x1
x2
x3






dzieląc obie strony równania przez dx1dx2dx3 otrzymamy:
 11  21  31


 X1  0
x1 x2
x3
i dla reszty składowych:
 21  22  23


 X2  0
x1
x2
x3
 31  32  33


 X3  0
x1
x2
x3
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Cały układ równań daje się zapisać w sposób zwięzły w postaci:
 ji
x j
 Xi  0
dla j = 1,2,3 i = 1,2,3
Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego
punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek
równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym
 ij   ji
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Przekształcenia współrzędnych
Określiliśmy składowe stanu naprężenia τij w prostokątnym układzie współrzędnych x1, x2, x3
x3
x3
x1
 11
x2
x1 `

x3 `
x2
`
11
x2 `
x1
Rozpatrzmy teraz drugi prostokątny układ współrzędnych x1`, x2`, x3` o tym samym początku
ale inaczej zorientowany w przestrzeni.
Jakie będą składowe stanu naprężenia w nowym układzie ?
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Niech nowe współrzędne zależą liniowo od starych przez związki:
xk`  ki xi
k = 1,2,3
cosinusy kierunkowe osi xk` względem osi xi
Siła działająca na jednostkę pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem
o składowych:
n
T i   ij n j
n
T
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Jeżeli n jest równoległa do osi xk`, tak że
n1  k1 n2   k 2 n3  k 3
k
to:
T i   ij  kj
`
k
k
Składowa wektora T i ` w kierunku osi xm` jest równa iloczynowi T i ` przez βmi
Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem
transformacyjnym :
 `km   ij kj mi
( zapis w konwencji sumacyjnej)
 `km   k1 m1 11   k1 m 2 12   k1 m3 13   k 2  m1 21   k 2  m 2 22
  k 2  m3 23   k 3  m1 31   k 3  m 2 32   k 3  m3 33

similar documents