Kuliah_3(metode simpleks)

Report
Metode Simpleks
Program linier bentuk standar
Pengantar metode simpleks
Program Linier Bentuk Standar (1)
 Program linier dapat memiliki
 Fungsi tujuan:
 Maksimal atau minimum
 Fungsi kendala dengan bentuk pertidak samaan:
 =, ≤, atau ≥
 Dan variable dapat memiliki batas atas maupun batas bawah
 Program linier bentuk standar:




Fungsi tujuan: maksimum
Fungsi kendala: ≤
Semua konstanta RHS positif
Semua variable dibatasi pada nilai non-negative
Program Linier Bentuk Standar (2)
 Bentuk aljabar untuk sebuah program linier yang memiliki m
buah fungsi kendala dan n buah variable, dapat dituliskan
seperti berikut ini:
 Fungsi tujuan:
Z maks  c1 x1  c2 x2  ... cn xn
 m fungsi kendala:
a11x1  a12 x 2    a1n x1n  b1
a12 x1  a 22 x 2    a 2n x 2n  b 2

a m1x1  a m2 x 2    a mn x n  b m
 n buah non-negatif, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0.
Metode-metode
 Grafis;
 Jumlah variable yang sedikit
 Simpleks;
 Jumlah variable: small - large
 Interior-point
 Jumlah variable: extra large
 Pembahasan difokuskan pada mekanisme metode simpleks:
 Terminologi-terminologi
 Mekanisme dasar metode simpleks
Definisi
 Solution: semua titik yang berada di bidang variable, dapat
merupakan titik yang feasible atau infeasible (paling tidak
memenuhi satu fungsi kendala).
 Corner point solution: terjadi jika dua atau lebih fungsi
kendala saling berpotongan. Titik yang dihasilkan disebut
sebagai corner point, bisa di dalam atau di luar feasible region.
 Feasible corner point: corner point yang berada di dalam
feasible region.
 Adjacent corner point: dua buah corner point yang
dihubungkan oleh bagian garis dari sebuah fungsi kendala.
Sifat-sifat penting Program linier
 Titik optimum selalu ada di feasible corner point
 hal ini merupakan hasil dari semua fungsi kendala dan fungsi
tujuan bersifat linier
 Jika sebuah feasible corner point memiliki nilai fungsi tujuan
yang lebih besar dari semua adjacent corner point, maka tiitk
tersebut dikatakan sebagai titik optimum.
 Feasible corner point ada dalam jumlah yang terbatas.
Tahap-tahap metode simpleks (1)
 Fase pertama (start-up): tentukan sembarang feasible corner
point.
 Untuk program linier bentuk standar, titik origin (0,0) selalu
berada dalam feasible region. Jadi, titik (0,0) adalah titik dimana
iterasi metode simpleks akan dimulai.
 Untuk program linier bentuk umum, penentuan titik dimana
metode simpleks akan mulai sedikit lebih rumit.
 Fase kedua (iterasi): secara berulang berpindah ke feasible
corner point yang berdekatan sampai tidak ada nilai fungsi
tujuan yang lebih baik pada feasibel corner point.
 Catatan: dimungkinkan terjadi keadaan same optimum value
Tahap-tahap metode simpleks (2)
 Titik (0,0) merupakan titik
awal, dengan nilai Z = 0
 Iteasi I, berpindah ke titik
(2,0) dengan nilai Z = 30
 Iterasi II, berpindah ke titik
(2,2), dengan nilai Z = 50
 Stop, dua buah feasible
corner point yang tidak
dikunjungi adalah (1,3) dan
(0,3)
Penentuan Corner Point Secara Aljabar
 Dalam penerapannya, program linier dapat memiliki variable
ratusan, ribuan bahkan lebih.
 Program linier dengan skala besar, corner point ditentukan
secara aljabar.
 Untuk program linier bentuk standar, dilakukan dengan cara
mengkonversi bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk
persamaan
 Kemudian, dengan metode eliminasi gauss dapat ditentukan
titik-titik perpotongan antara dua atau lebih fungsi kendala.
Konversi pertidaksamaan ke bentuk
persamaan (1)
 Konversi dilakukan dengan cara menambahkan sebuah
variable, disebut sebagai slack variable.
 Nilai slack variable akan selalu berubah untuk menghasilkan
persamaan yang benar.
 Contoh:
x1  2  x1  s1  2
 Catatan: slack variable bernilai positif jika sebuah fungsi
kendala dalam keadaan tidak aktif (masih berada di dalam
feasible region)
Konversi pertidaksamaan ke bentuk
persamaan (2)
 Hasil konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan dari
suatu program linier:
Z max  15x1  10x2
x1  s1  2
x2  s 2  3
x1  x2  s3  4
x1 , x2 , s1 , s2 , s3  0
 Pada awalnya, program linier tersebut hanya memiliki dua
buah variable yaitu (x1 dan x2), setelah dikonversi variable
berjumlah 5 bauh, yaitu (x1, x2, s1, s2, s3)
Terminologi aljabar
 Augmented solution: nilai dengan semua variable, baik
variable original dan slack variable
 Basic solution: merupakan sebuah augmented corner point
solution (bisa feasible atau infeasible)
 Basic feasible solution: merupakan sebuah augmented feasible
corner point solution.
 Catatan: metode simpleks fokus pada basic feasible solution.
Setting nilai variable-variable (1)
 Dengan memperhatikan bentuk program linier yang telah
dikonversi menjadi persamaan;
 Terdapat 5 variable dengan 3 buah persamaan fungsi kendala
 Hal ini berarti, dua buah variable ditentukan nilai secara acak,
dan variable yang lain dihitung menggunakan 3 persamaan
fungsi kendala tersebut.
 Jumlah variable yang nilainya dapat ditentukan secara acak
disebut sebagai degree of freedom dari program linier tersebut,
secara umum:
 df = (jumlah variable dalam bentuk persamaan) – (jumlah
persamaan fungsi kendala)
Setting nilai variable-variable (2)
 Metode simpleks secara otomatis memberikan nilai pada
variable-variable df dan menghitung nilai variable-variable
yang lain.
 Metode simpleks akan memberi nilai nol pada variablevariable df tersebut.
Setting nilai variable-variable (3)
Terminologi metode simpleks
 Nonbasic variable: variable yang sedang diberi nilai nol oleh
metode simpleks.
 Basic variable: variable yang tidak sedang diberi nilai nol
oleh metode simpleks.
 Basis: variable yang selalu berada pada nonbasic variable atau
basic variable selama proses metode simpleks.
 Nonbasic, variable bernilai NOL, fungsi kendala yang
bersangkutan dalam keadaan aktif.
Iterasi perpindahan titik (1)
 Cara yang termudah untuk berpindah dari suatu titik basic
feasible solution ke titik basic feasible solution yang lain adalah
dengan mencara titik yang berdekatan.
 Sifat-sifat titik-titik basic feasible solution yang berdekatan:
 Himpunan nonbasic variable sama kecuali satu variable
 Himpunan basic variable sama kecuali satu variable
 Tiga kondisi yang harus dipenuhi dalam perpindahan ke titik
basic feasible solution:
 Corner point harus berdekatan
 Corner point harus berada di dalam feasible region
 Corner point yang baru harus memiliki nilai fungsi tujuan yang
lebih baik
Iterasi perpindahan titik (2)
 Penentuan entering basic variable:
 Menentukan nonbasic variable yang akan menjadi basic variable.
 Dilakukan dengan cara menentukan nonbasic variable manakah
yang memberikan pengaruh yang paling besar terhadap
perubahan fungsi tujuan.
 Penentuan leaving basic variable:
 Entering basic variable yang telah ditentukan akan bertambah
nilainya sampai sebuah basic variable nilainya menjadi NOL.
 Basic variable yang nilainya menjadi NOL tersebut berubah
menjadi nonbasic variable.
Minimum Ratio Test (MRT)
 Untuk menentukan leaving basic variable pada persamaan
fungsi kendala tertentu:
rhs
coeffiecient of enteringbasic variable
 Dua kasus untuk nilai MRT:
 Jika koefisien entering basic variable NOL, berarti fungsi kendala
tersebut tidak berpotongan dengan fungsi kendala yang masih
aktif.
 Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, bearti fungsi
kendala tersebut berpotongan dengan fungsi kendala yang aktif,
tetapi arah kenaikan nilai entering basic variable semakin mejauh
dari titik perpotongan tersebut.

similar documents