5 Platonischen Körper

Report
Platonische
Körper
Polyeder
Die 5 platonischen Körper inspirieren
sowohl Wissenschaftler wie auch Mystiker
seit Jahrtausenden. Aber wieso gibt es
eigentlich nur 5 regelmässige Polyeder?
Nach dieser Lektion haben Sie den Beweis
in der Tasche!
Inhalt des Vortrags
1.
2.
3.
4.
5.
Platonische Körper in der Philosophie
Platonische Körper in der Natur
Platonische Körper in der Chemie
Begriffsklärung
Beweis, dass es nur 5 Platonische
Körper geben kann
Platonische Körper in
• Philosophie
• Natur
• Chemie
In Platons Timaios-Dialog
Platon setzt die 5 regelmässigen Körper in
Beziehung zu den Begriffen Erde, Wasser, Luft
und Feuer und zum Weltganzen.
Diese Darstellung stammt aus dem Buch „Mysterium
cosmographicum“ des Astronomen Johannes Kepler.
Deutung bei Kepler
Saturn
Kubus
Jupiter
Tetraeder
Mars
Dodekaeder
Erde
Ikosaeder
Venus
Oktaeder
Merkur
Kristalle
Fluorit
Salz
Pyrit
Coccosphäre der Alge
Braarudosphaera bigelowi
Skelett der Radiolarie
circogonia icosaedra
Hepatitis C Virus
Platonische Körper in der
Chemie
Tetraederlücke
Ferrimagnetische Struktur
von Spinellen
Begriffsklärung
•
•
•
•
Polyeder
Einfache Polyeder
Konvexe Polyeder
Platonische Polyeder
Polyeder-Begriff
Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein Teil des
dreidimensionalen Raumes, der von Polygonen
(Vielecken) begrenzt wird.
Polyeder-Begriff
Polyeder können Löcher und innere Hohlräume
haben, die dann ebenfalls von geraden Flächen
und Kanten begrenzt sein müssen.
Sie müssen keinerlei Symmetrie aufweisen.
Einfache Polyeder
Ein einfaches Polyeder besitzt keine „Löcher“.
Das bedeutet, dass sich sein Oberfläche
stetig in eine Kugeloberfläche deformieren lässt.
Konvexe Polyeder
Ein Polyeder ist konvex, wenn zu je zwei Punkten
aus dem Inneren des Polyeders die
Verbindungsstrecke zwischen diesen im Innern
des Polyeders verläuft.
Nicht-konvexe Polyeder
Definition der Platonischen
Körper
1. Platonische Körper sind konvex.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten
zusammen.
1. Platonische
Körper sind
konvex.
2. Alle Flächen
sind
regelmässige
Vielecke.
3. Alle Flächen
sind kongruent.
4. An jeder Ecke
stossen gleich
viele Kanten
zusammen.
Dieser Körper ist kein
Platonischer Körper,
weil er nicht konvex ist.
1. Platonische
Körper sind
konvex.
2. Alle Flächen
sind
regelmässige
Vielecke.
3. Alle Flächen
sind kongruent.
4. An jeder Ecke
stossen gleich
viele Kanten
zusammen.
Dieser Körper ist
kein Platonischer
Körper, weil die
Flächen keine
regelmässigen
Vielecke sind.
1. Platonische
Körper sind
konvex.
2. Alle Flächen sind
regelmässige
Vielecke.
3. Alle Flächen
sind kongruent.
4. An jeder Ecke
stossen gleich
viele Kanten
zusammen.
Dieser Körper ist kein
Platonischer Körper,
weil verschiedenartige
Flächen vorkommen.
1. Platonische
Körper sind
konvex.
2. Alle Flächen sind
regelmässige
Vielecke.
3. Alle Flächen sind
kongruent.
4. An jeder Ecke
stossen gleich
viele Kanten
zusammen.
Dieser Körper ist kein
Platonischer Körper,
weil nicht an jeder Ecke
gleich viele Kanten
zusammenstossen.
Zusammenfassung der Definition
der Platonischen Körper
• einfach
• konvex
• lauter kongruente regelmässige
Vielecke
• lauter kongruente Ecken
Beweis
•
•
•
•
Euklid
Polygone
Eck-Konfigurationen
Konstruktionen
Euklid von Alexandria
(ca. 340–ca. 270)
Euklid schreibt im 13. Buch seiner Elemente:
„Weiter behaupte ich, dass sich ausser den
fünf Körpern kein weiterer Körper errichten
lässt, der von einander gleichen gleichseitigen
und gleichwinkligen Figuren umfasst würde.“
1. Schritt: Polygone
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist gleich
zwei rechten Winkeln.
e=a und d=b, weil
g parallel zu c.

a+b+g=e+d+g
e+d+g=180°
 a+b+g=180°
1. Schritt: Polygone
Die Innenwinkelsumme eines n-Ecks ist gleich
(n-2) mal zwei rechten Winkeln.
n=4: I4=2∙180°=360°
n=5: I5=3∙180°=540°
n=6: I6=4∙180°=720°
n=7: I7=5∙180°=900°
usw.
In=(n-2)∙180
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Dreieck ist das Gleichseitige.
α3 =
180°
3
= 60°
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Viereck ist das Quadrat.
α4 =
2  180°
4
=
360°
4
= 90°
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Fünfeck (Pentagon)
α5 =
3  180°
5
=
540°
5
= 108°
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Sechseck (Hexagon)
α6 =
4  180°
6
=
720°
6
= 120°
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Siebeneck (Heptagon)
α7 =
5  180°
7
=
900°
7
=
128.57°
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Übersicht über die Peripheriewinkel
n
3
4
5
6
7
8
9
10
→
in =
n
- 2   180°
n
60°
90°
108°
120°
128.57°
135°
140°
144°
180°
3. Schritt: Bedingung
1. An einer Ecke müssen mindestens drei gleiche
Flächen zusammenstossen.
2. Die Summe der Peripheriewinkel der Flächen,
die an einer Ecke zusammenstossen, muss
kleiner als 360° sein, da sonst die Flächen
keine Ecke bilden.
3. Schritt: Gleichseitige Dreiecke
An einer Ecke können 3, 4 oder 5 gleichseitige
Dreiecke anstossen, nicht aber 6 oder mehr.
3 Dreiecke
3∙60°<360°
4 Dreiecke
4∙60°<360°
5 Dreiecke
5∙60°<360°
6 Dreiecke
6∙60°=360°
7 Dreiecke
7∙60°>360°
usw. –
unmöglich!
3. Schritt: 1.Eckkonfiguration
Drei gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
3. Schritt: 2. Eckkonfiguration
Vier gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
3. Schritt: 3. Eckkonfiguration
Fünf gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
4. Schritt: Quadrate
An einer Ecke können 3 Quadrate anstossen,
nicht aber 4 oder mehr.
3 Quadrate
3∙90°<360°
4 Quadrate
4∙90°=360°
5 Quadrate
5∙90°>360°
usw. –
unmöglich!
4. Schritt: 4. Eckkonfiguration
Drei Quadrate an einer Ecke
5. Schritt: Regelmässige Pentagone
An einer Ecke können 3 regelmässige Pentagone
anstossen, nicht aber 4 oder mehr.
3 Pentagone
3∙108° < 360°
4 Pentagone 5 Pentagone
4∙108° > 360° 5∙108° > 360°
usw. –
unmöglich!
5. Schritt: 5. Eckkonfiguration
Drei regelmässige Pentagone an einer Ecke
6. Schritt: Hexa-, Heptagone, etc.
Drei regelmässige Hexagone bilden keine Ecke!
Dasselbe gilt für alle regelmässigen Polygone
mit n > 6.
7. Schritt: Konstruktion
Es kann also nur gerade 5 reguläre, konvexe
Polyeder geben, bei denen an jeder Ecke gleich
viele reguläre Polygone anstossen.
Ende des Beweises
hx/wzbw/qed
Die 5 Platonischen Körper ergeben sich durch
Konstruktion aus den 5 erlaubten
Eckkonfigurationen:
7. Schritt: Tetraeder
Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Tetraeder (Vierflach) hat 4 Flächen, 4 Ecken
und 6 Kanten.
7. Schritt: Oktaeder
Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke vier
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Oktaeder (Achtflach) hat 8 Flächen, 6 Ecken
und 12 Kanten.
7. Schritt: Ikosaeder
Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke fünf
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Ikosaeder (Zwanzigflach) hat 20 Flächen,
12 Ecken und 30 Kanten.
7. Schritt: Hexaeder (Würfel, Kubus)
Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
Quadrate anstossen.
Das Hexaeder (Sechsflach) hat 6 Flächen,
8 Ecken und 12 Kanten.
7. Schritt: Dodekaeder
Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
regelmässige Fünfecke anstossen.
Das Dodekaeder (Zwölfflach) hat 12 Flächen,
20 Ecken und 30 Kanten.
Schlusswort
Link zu diesen Folien:
http://www.gymliestal.ch/manuelerdin/Schule/Home.html
Ende des Vortrags

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