Ecuación de ondas

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8. Ecuación de ondas
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
1
Recordatorio: Características en ecuaciones
semi-lineales de segundo orden en dos variables
 ,   + 2 ,   +  ,   =  , , ,  , 



2

− 2
+ =0

Ecuación diferencial para las curvas
características asociadas.
(2 −) > 0 Ecuación hiperbólica: existirán dos (±)
familias uniparamétricas de características.
(2 −) = 0 Ecuación parabólica: existirá una
familia uniparamétrica de características.
(2 −) < 0 Ecuación elíptica: no existirán curvas
características.
2
Ecuación de ondas unidimensional
 ,   + 2 ,   +  ,   =  , , ,  , 



2

− 2
+ =0

 = 1,
2 = 0,
 = − 2
2
2
( −) =  > 0
2

− 2 = 0


= ±

 −  2  = (, )
 ∈ ℜ,  > 0
Ecuación hiperbólica: existirán dos (±)
familias uniparamétricas de características.
Curvas características:
 +  = cte
 −  = cte
3
 −  2  = (, )
Para resolver la EDP aplicaremos el cambio de variable:
 =  + 
 =  − 




=

−
1
= 2 ≠ 0,
1
∀(, ) ∈ 
 
    
 =
=
+
 
    


=
 −  = 
  − 


( − )  ( − ) 
=
+




=  2  −  −  + 
=  2  − 2 + 
4
 
    

 =
=
+
=
 + 
 
    

( + )  ( + ) 
=
+




=  +  +  +  =  + 2 + 
 =  2  − 2 + 
 =  + 2 + 
 −  2  = (, )
 2  − 2 +  −  2  + 2 +  =  , 
2
−4  = (, )
5
Resolvamos el caso homogéneo:
−4 2  = 0;  = 0
Integrando con
respecto a  a
ambos lados:
 
 =  ;
 

= 

E integrando ahora con respecto a  a ambos lados:
 ,  =
   + () =   + ()
Y deshaciendo finalmente el cambio, obtenemos la solución:
 ,  =   −  + ( + )
“In other words, solutions of the 1D wave equation are sums of a right traveling function F
and a left traveling function G. "Traveling" means that the shape of these individual
arbitrary functions with respect to x stays constant, however the functions are translated
left and right with time at the speed c.” From Wikipedia.
 −  2  = 0
 ,  =   −  + ( + )
Añadamos condiciones
iniciales con curvas iniciales en
 = 0. Por ejemplo, la
posición y al velocidad de cada
punto de la cuerda:
 , 0 =  
 , 0 = ()
 , 0 =   −  ∙ 0 +   +  ∙ 0 =
  +  = 
 , 0 = −′() + ′  = ()
Integremos la EDO: −′() +  ′  = ()

−
 ′   + 
0

′   =
0

  
0

−   −  0
+    −  0
=
  
0

   − 
+   0 −  0
1
  −  =

=
  
0

   + 
0
8
  +  = 
1
  −  =


   + 
0
Sumando y restando ambas ecuaciones obtenemos:
1
1
  =   +
2
2
1
1
  =   −
2
2

   + ′
0

   − ′
0
9
Sustituyendo en la solución:
 ,  =   −  + ( + )
1
1
  +  =   +  +
2
2
1
1
  −  =   −  −
2
2
+
   + ′
0
−
   − ′
0
Jean Le Rond d’Alembert
1717 - 1783
  +  +   − 
1
 ,  =
+
2
2
La solución puede interpretarse como suma de
dos ondas de velocidades ±c que se desplazan
en direcciones opuestas a lo largo del eje x.
+
−
  
Fórmula de D’Alembert
10
Resolvamos:
(  = 0)
Podemos interpretar la condición inicial como una perturbación y seguirla.
Stunning bass-string shot on Vimeo
11
Puesto que   = 0, la solución será:
1
 ,  =   +  +   − 
2
que podemos separar en dos «componentes». Teniendo en
cuenta que   = 1 si −1 ≤  ≤ 1 y 0 en el resto de casos:
−1 ≤  −  ≤ 1
−1 ≤  +  ≤ 1
12
1 + 2 = 1
1/2 = 2 + 0
1 + 0 = 1/2
La ecuación de ondas modeliza la transmisión de una señal con velocidad finita
(en este caso con velocidad c = 1). Si entendemos la condición inicial como una
perturbación, observemos como viaja hacia la derecha mediante f(x-ct) y hacia
la izquierda con f(x+ct).
13
1/2 = 2 + 0
1/2 = 2 + 0
1 + 0 = 1/2
1 + 0 = 1/2
14
Supongamos que () es el triángulo
de la figura y que g(x) = 0. Entonces la
solución es:
1
 ,  =   +  +   − 
2
Dibuja la solución para distintos , mostrando como la perturbación
triangular viaja en forma de dos ondas a derecha e izquierda.
15
Curvas características:
 +  = cte
 −  = cte
1
 ,  =   +  +   − 
2
=

( +  )


 = ( −  )



0
16
Apuntes de ecuaciones diferenciales II
(EDPs) Pepe Aranda
Métodos Matemáticos
Físicas Complutense
http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDPs.html
Curvas características:
 +  = cte
 −  = cte
1
 ,  =   +  +   − 
2
17
Resuelve:
 −  2  = 0  , 0 =   = 0  , 0 =   = 
  +  +   − 
1
 ,  =
+
2
2
0+0 1
 ,  =
+
2
2
+
−
  
+
 = 
−
«La cuerda infinita se inclina progresivamente, cosa poco real. La ecuación es sólo
un modelo simplificado. Más interés (y más complicación de análisis) tienen los
problemas en los que los datos son no nulos sólo en intervalos acotados.»
Pepe Aranda
18
2
 −   = (, )
 , 0 =  
Resolveremos ahora la ecuación
no homogénea.
 , 0 = ()
Disponemos de la solución al problema homogéneo.
Por el principio de superposición solo necesitamos entonces
una solución  (, ) con   =   = 0. Puedes comprobar que:
 ,  =
1  +(−)

2 0 −(−)
cumple la EDP con
las c.i.:
,  
 −  2  = (, )
 , 0 =  , 0 = 0
19
De modo que la solución final es:
  +  +   − 
1
 ,  =
+
2
2
+
1  +(−)

0
−(−)
2
+
−
  
,  
20
Ejercicio: Resuelve
 −  = 2
La solución será:
  +  +   − 
1
 ,  =
+
2
2
+
1  +(−)

0
−(−)
2
 ,  =
+
−
  
,  
(+)+ −
2
 ,  =  + 3+
 , 0 = 
 , 0 = 3
+
1 
2 0
1 +
1  +(−)
3+ 0 −(−) 2
−
2
2
 −  
 ,  =  + 3 +  2
21
utt  u xx  2
u( x,0)  x
ut ( x,0)  3
A veces es fácil “ver” una solución particular
(, ) de la ecuación no homogénea. Resolvamos
el mismo ejemplo. Si suponemos que (, ) =
(), sustituyendo en la EDP tenemos:
ptt  p xx  2;  p xx  2
p x  2 x  c1 ;
p( x, t )   x  c1 x  c2
2
Tomemos el caso más sencillo (, ) = −2. Observa que esta
solución cumple otras condiciones iniciales:
p( x,0)   x ;
2
pt ( x,0)  0
Sabemos que (, ) = ℎ(, ) + (, ) o
ℎ(, ) = (, ) – (, ), donde ℎ(, ) es la solución a la EDP
homogénea con condiciones iniciales:
h( x,0)  u( x,0)  p( x,0)  x  x 2
ht ( x,0)  ut ( x,0)  pt ( x,0)  3  0  3
htt  hxx  0
h( x,0)  x  x
ht ( x,0)  3
2
Llegamos así a un problema homogéneo
que podemos resolver por la fórmula de
D’Alembert:


1
1 x t
2
2
h( x, y )  ( x  t )  ( x  t )  ( x  t )  ( x  t )   3ds
2
2 x t
h( x, y )  x  x 2  3t  t 2
Sumando esta solución a la particular encontramos
la solución de la EDP:
u( x, y )  h( x, y )  p( x, y )  x  3t  t 2
que coincide con nuestro resultado anterior.
utt  u xx  2 Repite el ejercicio suponiendo ahora que
(, ) = ().
u( x,0)  x
ptt  p xx  2; ptt  2
ut ( x,0)  3
pt  2t  c1 ;
p( x, t )  t 2  c1t  c2
El caso más sencillo sería (, ) = 2.
Sus condiciones iniciales serían: p( x,0)  0
pt ( x,0)  0
htt  hxx  0
h( x,0)  u( x,0)  p( x,0)  x
ht ( x,0)  ut ( x,0)  pt ( x,0)  3
1
1 x t
h( x, y )  ( x  t )  ( x  t )   3ds
2
2 x t
h( x, y )  x  3t
u( x, y )  h( x, y )  p( x, y )  x  3t  t 2
Ecuación de ondas en dominios semi-infinitos:
 −  2  = 0,
(, ) ∈ 0, ∞ × 0, ∞
 , 0 = (),
 ∈ 0, ∞
Dominio
semi-infinito
 , 0 = ()
 ∈ 0, ∞
+ Condición de contorno: que puede ser (a) de Dirichlet,
(b) de Neumann o (c) mixta.
 0,  = ℎ ()
 0,  = ℎ ()
Aprovecharemos las simetrías de la
solución para resolver el problema:
Método de las imágenes.
 0,  −   (0, ) = ℎ ()
25
Método de las imágenes
Supongamos que la condición
de contorno es de tipo Dirichlet
Cuerda semi-infinita y fija en un extremo.
Observemos que (0) debe ser igual a 0
para que la cuerda no se rompa.
 0,  = 0
Para resolver el problema lo extenderemos a todo el dominio
real, extendiendo las funciones  y  anti-simétricamente
alrededor del origen:
 , 0 = (),
 , 0 =   ,
  =  ,
  = −(−),
 ∈ 0, ∞
 ∈ (−∞, 0]
 ∈ 0, ∞
 ∈ 0, ∞
  =  ,
  = −(−),
 ∈ 0, ∞
 ∈ (−∞, 0]
 −  2  = 0,
 , 0 =   ,
 , 0 =   ,
 0,  = 0
 ∈ 0, ∞
 ∈ 0, ∞
 ∈ 0, ∞
Pasamos de nuestro problema
original a otro que podemos
resolver por la fórmula de D’Alembert
 −  2  = 0,
 , 0 =   ,
 , 0 =   ,
 ∈ −∞, ∞
 ∈ −∞, ∞
 ∈ −∞, ∞
¿Qué pasa con la condición de contorno  0,  = 0?
Veamos que la extensión impar de f y g aseguran su cumplimiento.
27
El nuevo problema puede resolverse mediante la fórmula
de D’Alembert:


1 ~
~
1 x  ct ~
~
u ( x, t )  f ( x  ct )  f ( x  ct ) 
g ( s )ds

2
2c x ct
 ∈ −∞, ∞
Observemos que esta solución cumple que (0, ) = 0:



1 ~
~
1 ct ~
~
u (0, t )  f ( ct )  f ( ct ) 
g ( s )ds

2
2c ct
1 ~
~
1
~
u (0, t )  f ( ct )  f ( ct ) 
00
2
2c

Así que para  ≥ 0, la solución del problema ampliado
coincide por unicidad con la solución que buscábamos:
 ,  =  ,  .
Cuando las condiciones de contorno son de tipo Neumann,
las funciones f y g se extienden simétricamente:
  =  ,
  = (−),
 ∈ 0, ∞
 ∈ (−∞, 0]
  =  ,
  = (−),
 ∈ 0, ∞
 ∈ (−∞, 0]
Nota:
¿Cómo resolver el caso más general con una fuerza externa (, ) y un extremo
móvil, (0, ) = ℎ0()?
Necesitamos una (, ) que cumpla la condición de contorno. La más inmediata
es:
(, ) = ℎ0(). De ese modo:
ℎ(, ) = (, ) – (, )
será la solución de una ecuación de ondas con condición de contorno homogénea
que ya sabemos resolver, extendiendo ,  y  de manera impar.
Cuerda acotada y fija en los extremos:
utt  c 2 u xx  0, x  [0, L]
u( x,0)  f ( x ), ut ( x,0)  g ( x )
Debe ocurrir que
(0) = () = 0
u(0, t )  u( L, t )  0
Extenderemos  y  de manera impar al intervalo [−, ] y luego
extenderemos periódicamente a todo ℝ.
 − = −  ,
 − = −  ,
  + 2 =   ,
( + 2) = ()
“A pulse traveling through a string with fixed endpoints as modeled by the wave equation.”
Wikipedia
Ejemplo de aplicación del método de las imágenes.
 −  = 0,
(, ) ∈ 0, ∞ × 0, ∞
 , 0 =  − ,
 ∈ 0, ∞
 , 0 = 1,
 ∈ 0, ∞
Tipo Neumann
 0,  = 0,
 ∈ 0, ∞
Extendemos por simetría:
 −  = 0,
−|| ,
Extensión par  , 0 = 
 , 0 = 1,
(, ) ∈ −∞, ∞ × 0, ∞
 ∈ (−∞, ∞)
 ∈ (−∞, ∞)
Y resolvemos aplicando la fórmula de D’Alembert:
  +  +   − 
1
 ,  =
+
2
2
+
−
  
31
 −|+| +  −|−| 1
 ,  =
+
2
2
+
−
1
 −|+| +  −|−| 1
 ,  =
+ +−+
2
2
 ,  =
 −|+|
+
2
Para  > 0, tenemos:
 −|−|
+
Esta solución es la extendida
a todos los reales. A nosotros
nos interesa la solución para
 > 0.
 −− +  −|−|
 ,  =  ,  =
+
2
Observemos que la solución presenta una discontinuidad en  =  (es
decir, a lo largo de la curva característica). Veámoslo con más detalle:
32
 −− +  −|−|
 ,  =  ,  =
+
2
Para  > 
 −− +  −+
 ,  =
+
2
 − (  +  − )
=
+
2
 ,  =  − cosh() + 
Para  < 
Para  > 
 ,  = − − cosh()
Para  < 
 ,  =  − sinh()
 −− +  −
 ,  =
+
2
 − (  +  − )
=
+
2
 ,  =  − cosh() + 
33
Hay discontinuidad en la derivada por incompatibilidad de las c.i.
(Por el método de
las imágenes)
c
Usa
 = 1 −  −(+) como solución particular para homogeneizar (hacer igual a cero)
la condición de contorno de Dirichlet...
Este problema sí lo podemos resolver por el método de las imágenes,
extendiendo antisimétricamente las condiciones inciales...
34
35
36
¿Qué solución particular nos puede servir para homogeneizar la condición de contorno
de Neuman?
37
Extensión
simétrica
38
Método de las características para la ecuación de ondas.
Resolvamos por este
método el problema
anterior, pero con
condiciones de contorno
mixtas:
 −  = 0,
(, ) ∈ 0, ∞ × 0, ∞
 , 0 =  − ,
 ∈ 0, ∞
 , 0 = 1
 ∈ 0, ∞
 0,  −  ∙ (0, ) = 0
 ∈ 0, ∞
Dividimos el dominio
de validez de la EDP en
dos zonas separadas por
la recta característica:
Zona I con  > 
y
Zona II con  < 
Observemos que en la zona I
el triángulo de dependencia
de la solución cae dentro de la
región donde solo influyen los
valores iniciales.
39
En la zona I, con  −  > , tendremos como solución:
 ,  =   −  + ( + )
Imponiendo las c.i.:
 , 0 =  − =   +  
  , 0 = 1 = − ′  + ′()
Integrando la última ecuación:
Sumando y
restando:
  =
  −   =  + ′
 − +
2
+;
1 −(−)
 ,  = [
−  −  + −
2
 ,  =
 − cosh()
+
  =
+
 − −
2
−
+ + ]
( −  > 0)
que coincide con
nuestro anterior
resultado.
40
Sin embargo, en la zona II con  −  < , el dominio de
dependencia afecta de lleno a la condición de contorno,
que es la que ahora debemos imponer a la solución:
 ,  =   −  + ( + )
Puesto que:
  ,  =  ′  −  + ′( + )
  0,  −  ∙  0,  = 0
 ′ − −  − = −′  +   ;
>0
Observemos que la función () ya estaba determinada
por las condiciones iniciales para s ≥ 0:
 − + 
  =
+
2
41
 ′ − −  − = −′  +   ;
 − + 
  =
+ ;
2
>0
−
1
−

′  =
2
Sustituyendo en la ecuación diferencial haciendo  = − < 0:
 ′  −   = −′ − +  −



−
1

−
′
  −   =
+
+
2
2
1+  
1
′
  −   =
 −  − + 
2
2
2
Cuya solución es:   =   +  ()
Probando como
solución particular:
  =   +  + 
42
1
+


1
  =   +
  + + − ;  < 0
2(1 − )
2 
−−
1
+


−

1

+
(−)
−
 ,  = 
+

+
+ +
+
2(1 − )
2

2
2
 , 0 =   =  − ;  0,0 = 1 =  0 + (0)
 −0 + 0
1
 0 =
+ = +
2
2
1
 0 =1−
+
2
1
= −
2
43
1
+


1
  =   +
  + + − ;  < 0
2(1 − )
2 
1+
1
1
 0 =+
+ − = −
2(1 − ) 
2

1
=−
−
1− 

1 +  −  −−
1
,  =

+
+  − 1 − 
2(1 − )
2

−

−

1−
−
Observemos que ambas soluciones coinciden en la
característica  = :

1+
 −2

,  =
+
+−
=  , 
2(1 − )
2
1−
44
45
46
47
Método de las características en intervalos finitos
Hicimos en clase los problemas 3.2, 3.3, 11 y 13 del libro
Ecuaciones en Derivadas Parciales de Parra, Zamecnik y Olarrea.
48

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