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UNIVERSIDAD NACIONAL
Optaciano Vasquez
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA I
DINAMICA DE UNCUERPO RIGIDO
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
I. OBJETIVOS
Al finalizar este capítulo el estudiante será
capaz de:
• Aplicar métodos para calcular momentos de
inercia de cuerpos rígidos
• Formular las ecuaciones de movimiento para
un cuerpo rígido
• Aplicar las ecuaciones de movimiento para
estudiar el movimiento de traslación de un CR,
la rotación de un CR alrededor de un eje fijo y
el movimiento plano de un CR
II. INTRODUCCIÓN
• Un cuerpo rígido es aquel cuerpo en el cual la
distancia entre dos puntos pertenecientes a él
no cambian cuando éste se le somete a
fuerzas y momentos.
• En esta sección nos dedicaremos a estudiar la
cinética del movimiento de un cuerpo rígido
II. CLASES DE MOVIMIENTO DE
UN CUERPO RIGIDO
• TRASLACIÓN. Cuando todas las partículas
describen líneas rectas paralelas (traslación
rectilínea) o líneas curvas (traslación curvilínea)
II. CLASES DE MOVIMIENTO DE
UN CUERPO RIGIDO
• ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.
Aquel movimiento en el cual todas las partículas,
excepto aquellas ubicadas sobre el eje de rotación
describen trayectorias circulares en planos
perpendiculares al eje de rotación
II. CLASES DE MOVIMIENTO DE
UN CUERPO RIGIDO
• MOVIMIENTO PLANO. Aquel movimiento en
el cual existe una traslación acompañada de una
rotación. La traslación ocurre en un plano y la
rotación alrededor de un eje
III.
TRASLACIÓN
• Cualquier línea recta dentro de
un cuerpo permanece constante
cuando se mueve el CR.
• Para cualquier par de partículas
dentro del CR se cumple

 
rB  rA  rB A
• Derivando
 respecto
  del tiempo
rB  rA  rB A  rA


vB  v A
• La aceleración será
rB  rA  rB


aB  a A
A


 rA
ROTACIÓN ALDEREDOR DE UN EJE FIJO
• Considere la rotación del CR alrededor
de un eje fijo


• El vector velocidad v  dr dt es tangente a la
trayectoria y su magnitud es v  ds dt
s  BP   r sin  
v
ds

 lim r sin  
 r sin 
dt t 0
t
• Los mismos resultados se obtienen de
15 - 8

 dr  
v   r
dt



   k  k  angular velocity
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN
EJE FIJO: Aceleración
• La aceleración se obtiene derivando la
velocidad respecto del tiempo
dv d
d
dr
   r  
r 
dt dt
dt
dt
d
a
r v
dt
a
• La aceleración de P es la combinación de
dos vectores
a    r     r
  r  componente tangencial de la aceleración
    r  componente normal de la aceleración
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN
EJE FIJO: Movimiento Plano
• Considere el movimiento de una placa een
el plano perpendicular al eje
• La velocidad de cualquier punto P de la placa
 
es
  
v    r  k  r
v  r
• La aceleración de cualquier punto P es,
     
a    r     r
 
2
 k  r  r
• Las componentes normal y tangencial
son
15 - 10
 

at  k  r

2
an   r
a t  r
an  r 2
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
• Este movimiento está compuesto por una
traslación mas una rotación
• Puede ser considerado como la suma de la
traslación más una rotación
• El desplazamiento de las aprtículas A y B a
A2 y B2 puede ser dividida en dos partes:
- Traslación a A2 and B1
- Rotación de B1 alrededor de A2 a B2
VELOCIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA
EN UN MOVIMIENTO PLANO
• Cualquier movimiento plano puede ser remplazado por
una traslación de un punto de referncia A y una
rotación simultánea alredeor de A
15 - 12



vB  v A  vB A
 

v B A   k  rB A
 


v B  v A   k  rB
vB
A
A
 r
CENTRO INSTANTÁNEO EN UN
MOVIMIENTO PLANO
• Todas las partículas de una placa con movimiento
plano pueden ser remplazadas por la traslación de
cualquier punto arbitrario A y una rotación
alrededor de A con una velocidad angular que es
independiente del punto elegido
• Las mismas velcoidades de traslación y rotación en
A pueden ser obtenidas haciendo rotar a la lamina
alrededor de C sobre la perpendicular a la velocidad
de C
• Las velocidades de las demás partículas de la
lámina son las mismas que las definidas
originalmente
15 - 13
• Por consiguiente, en lo que se refiere a las
velocidades de la placa parece rotar
alrededor del centro instantáneo C en el
instante considerado
CENTRO INSTANTÁNEO EN UN
MOVIMIENTO PLANO
• Si las velocidades de dos puntos A y B son
conocidos, el centro instantáneo de rotación se
ubica en la intersección de las perpendiculares a
los vectores velocidad de A y B
• Si los vectores velocidad son paralelos, el centro
instantáneo de rotación se encuentra en el infinito
y la velcoidad angular es nula
• Si los vectores velocidad de A y B son
perpendiculares
a la linea AB, el centro
instantaneo de rotación
se ubica en la
intersección en la línea AB con la linea obtenida
al unir los extremos de las velocidades de A y B
• Si las magnitudes de las velcoidades son iguales,
el centro instantáne eestá en el infinito y la
velcoidad angular es cero
Ejemplo
• El doble engranaje de la figura rueda sobre la
cremallera inferior que se encuentra. La
velocidad de su centro A es de 1,2 m/s, dirigida
hacia la derecha. Determine: (a) la velocidad
angular de la rueda dentada, (b) las velocidades
de la cremallera superior R y del punto D del
engranaje
SOLUCIÓN
• Del dibujo se observa que el centro instantáneo C
tiene velocidad nula.
• Entonces
el
punto
A
describe
una
circunferencia con centro en C . Su velocidad
angular será
v A  rA

v A 1.2 m s

 8 rad s
rA 0.15 m
• De igual forma se dice que los puntos de la
rueda giran con centro instatnátneo en C
vR  vB  rB  0.25 m 8 rad s 


vR  2 m s i
rD  0.15 m 2  0.2121 m
vD  rD  0.2121 m8 rad s
vD  1.697 m s



vD  1.2i  1.2 j m s
Aceleración absoluta y relativa
en movimiento plano
Aceleración absoluta de una partícula de la placa,



aB  a A  aB A

a
• La aceleración relativa
B A asociada con la rotación alrededor
de A incluye las componentes tangencial y normal



aB

aB

A n
A t
 
  k  rB A
2
  rB A
aB A t  r
aB A n  r 2
Momentum angular de un CR
• La partícula Ai, describe una
circunferencia de radio AiBi con una
velocidad.
vi   x ri
• Su módulo será
vi  ri seni   Ri
• El momento angular de la partícula
Ai con respecto a O será
HO  mi (ri x vi )
• Su dirección es perpendicular al
plano de ri y vi y esta situado en el
plano definido por ri y el eje Z
Momentum angular de un CR
• La magnitud del momento angular
será
H m r v
O,i
i
i
i
• La componente paralela al eje Z
H iz  mi ri vi cos( / 2  i )
H iz  mi ri vi seni  mi (r1seni )( Ri )
H iz  mi ( Ri2 )
• La componente del momento
angular total alrededor del eje Z es
H Z   H iz  m1 R12  m2 R22  .....  mn Rn2
H Z  (m1R12  m2 R22  .....  mn Rn2 )
• El término en paréntesis se le
denomina momento de inercia (I)
Momentum angular de un CR
• El momento de inercia será
I z  (m1R12  m2 R22  .....  mn Rn2 )
n
I z   mi Ri2
i 1
• El momento angular alrededor del
eje z en función del momento
inercia
H z  I z
• El momento angular total será
H  H1  H2  .....  Hn   H
Este
momento
no
tiene
necesarimante que ser paralelo al
eje de rotación
Momentum angular de un CR
• Sin embargo, para cualquier cuerpo
sin importar su forma existen tres
ejees mutuamente perpendiculares
para los cuales el momento angular
coincide con el eje de rotación
• A estos ejes se le llama ejes
principales de inercia y sus
momentos se llam momentos
principales de inercia
• Cuando un cuerpo rota alrededor de
un eje principal de inercia, el
momento angular se escribe
H  I
Momentum angular de un CR
• Hemos visto que, en un sistema de
partículas, la relación entre el
momento angular total y el
momento de las fuerzas aplicadas
es:
dH
 M
dt
• Esta ecuacipin es la ecuacipon
fundamental de la dinámica de
rotación.
• Si el cuerpo gira alrededor de un eje
principal de inercia se tiene
d (I )
d
dt
 M  I
I   M
dt
 M
EQUATIONS OF TRANSLATIONAL MOTION
• Nuestro estudio está limitado a la cinetica plana de cuerpos
rígidos que son simétricos con respecto a un plano de
referencia
• Cuando un cuerpo tiene movimiento plano, este se
considera como la superposición de un movimiento de
traslación mas una rotación.
• Primero se establece un sistema de referencia con su
origen en un punto arbitrario P. Los ejes x e y no rotan y
pueden ser fijos o moverse a velocidad constante
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN
• Si un cuerpo presenta moviento de traslación, la ecuación
de movimiento es F = m aG pueden escribirse
escalarmente
Fx = m(aG)x
and
 Fy = m(aG)y
• En otras palabras “la la suma de todas las fuerzas actuando
sobre el cuerpo es igual al producto de la masa de cuerpo
por la aceleración de su centro de masa.
=
Ecuaciones de movimiento de rotación
Necesitamos determinar el efecto cusado por las fuerzas
externas del sistema. El momento respecto a P se escribe
 (ri  Fi) +  Mi = rG  maG + IG
 Mp = ( Mk )p
donde  Mp es el momento resultante alredeor de P
debido a las fuerzas externas y el término (Mk)p se le
llama momento cinético alredeor de P
=
Ecuaciones de movimiento de rotación
Si el punto P coincide con el centro de masa G, estas
ecuaciones se escriben
 MG = IG .
Es decir, el momento resultante alrededro del centro
de masa alredor del centro de masa debido a las
fuerzas externas es igual al momento de inercia
alrededor de G por la aceleración angular de cuerpo.
Así, para un movimiento plano pueden utilizarse las
ecuaciones ecalares
 Fx = m(aG)x
 Fy = m(aG)y
 MG = IG o  Mp =  (Mk)p
Ecuaciones de movimiento: Traslación Pura
Cuando eel cuerpo rígido experimenta solamente un
movimeinto de traslación, todas las partículas del cuerpo
tienen la misma aceleración tal que aG = a y  = 0. Las
ecuaciones de movimiento se escribe:
Fx = m(aG)x
 Fy = m(aG)y
 MG = 0
Debe observarse que la ecuación de momentos puede
aplicarse a otro punto como por ejemplo A, en este caso
debe considerarse el momento de maG
MA = (m aG ) d .
Ecuaciones de movimiento de traslación
curvilinea
Si el cuerpo es sometido a una
traslación curvilíne, es mejor utiliar
cordenadas normal y tangencial.
Entonces
las
ecuaciones
de
movimiento se escriben
Fn = m(aG)n
 Ft = m(aG)t
 MG = 0 or
 MB = e[m(aG)t] – h[m(aG)n]
Ejemplo o1
• Un bloque uniforme de 50 kg descansa sobre una
superficie horizontal para la cual el coeficiente de ficción
es k = 0,20. Si se aplica al bloque una fuerza P = 600
Ncoo se indica en la figura . Determine la velocidad del
bloque después de que se ha movido 3 m. Suponga que
incialmente el bloque estaba en reposo
Solución
En la figura se muestra el DCL del
cuerpo rígido con el sistema de
referencia. Las fuerzas que actúan
son au peso W, la reaccón normal
actuando NC en O y la fuerza de
fricción
Aplicando las ecuaciones de movimiento:
 Fx = m(aG)x: 600 – 0.2 Nc = 50 aG
 Fy = m(aG)y: Nc – 490.5 = 0
 MG = 0: -600(0.3) + Nc(x)-0.2 Nc
(0.5) = 0
Nc = 490 N
x = 0.467 m

aG = 10.0 m/s2
Continua la solución del ejemplo 01
Debido a que x = 0.467 m < 0.5 m,
la caja desliza como lo hemos
asumido
Si x > 0,5 el problema tiene que
volver a resolverse con la hipótesis
de hay volcamineto
Debido a que la aceleración es
constante la velocidad después
de que l bloque recorre 3 m será
vG2  v0,2 G  2aG ( SG  S0,G )
vG2  0  2(10)(3)
vG  7, 75m / s
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
Cuando un cuerpo rota alrededro de un
eje fijo perpendicular al plano del cuerpo
pr ejemplo el punto A el centro de
gravedad descrive una circunferencia de
radio rG. La aceleración de G se
descompone en componetes tangencial
(aG)t = rG  y normal (aG)n = rG 2.
Debido a que el cuerpo tiene una aceleración angular,
su inercia crea un momento de magnitud IG igual al
momento de las fuerzas externas alrededor de G. Las
ecuaciones ecalares son
 Fn = m (aG)n = m rG 2
 Ft = m (aG)t = m rG 
 MG = IG 
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
ALREDEDOR DE UN EJ FIJO
Note que la ecución de momentos MG puede ser
rempalzada por una suma de momentos alrededor de un
punto arbitrario.
MO = IG + rG m (aG) t = (IG + m (rG)2 ) 
Usando el teorema de los ejes paralelos, el término entre
paréntesis es igual al momento d inercia respecto de O, IO =
IG + m(rG)2,. Entonces la ecuaciones escalares se escriben
Fn = m (aG)
n
= m rG 2
Ft = m (aG) t = m rG 
MO = IO 
Ejemplo
• Una barra de 50 kg de masa se encuentra girando con
una velocidad angular  = 5 rad/ s cuando se le aplica
un momento externo M = 60 N.m como se muestra en la
figura. Encuentre la aceleración angular y la reacción en
el pasador O cuando la barra se encuentra en posición
horizontal
Solución
Solution:
Diagrama de cuerpo libre
Las ecuaciones de mov son:
+ Fn = man = mrG2
On = 20(1.5)(5)2 = 750 N
+ Ft = mat = mrG
-Ot + 20(9.81) = 20(1.5)
+ MO = IG  + m rG  (rG)
Usando IG = (ml2)/12 y rG = (0.5)(l), escribimos:
MO = [(ml2/12) + (ml2/4)] = (ml2/3) where
(ml2/3) = IO.
Después de remplazar:
resolviendo:  = 5.9 rad/s2
60 + 20(9.81)(1.5) = 20(32/3)
Ot = 19 N
ECUACIONES DE MOVIMINETO PARA
UN MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Cuando el cuerpo se encuentra sometido
a fuerzas y momentos, el cuerpo puede
experimentar un movimento de traslación
mas un movimiento de rotación. Es decir
experimenta un movimiento plano
Usando las cordenadsas inerciales x-y,
las ecuaciones alrededor del centro de
msa se escriben
 Fx = m (aG)x
P
 Fy = m (aG)y
 MG = I G 
ECUACIONES DE MOVIMENTO PLANO
A veces es mas conveniente escribir las
ecuaciones de momentos alrededor de
un punto por ejemplo P. Entonces las
ecuaciones de moimiento se escriben
 Fx = m (aG)x
 Fy = m (aG)y
 MP =  (Mk )P
P
En este caso,  (Mk )P representa la suma
de momentos de IG y maG alredeodr de P
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CON FRICCIÓN
En algunos problemas de movimiento de cilindros, discos,
etc a veces no se conoce si su movimiento es con rodadura
pura o con rodadura y deslizamiento.
Consideremos por ejemplo el movimiento
de un disco sometido a la fuerza P
desconocida
Las ecuaciones de movimiento serán
 Fx = m(aG)x => P - F = maG
 Fy = m(aG)y => N - mg = 0
 MG = IG
=> F r = IG
hay 4 cantidades no conocidas(F, N, , and
aG) en estas ecuaciones.

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