Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques

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Pré-rentrée
L1 Eco-Gestion
Mathématiques
EQUATION & FONCTION 10H -13H
DOCUMENTS DISPONIBLES CE SOIR SUR
UNIPIAF.NET
YVES BERTINI
Pensée économique
Vision du monde  Modèle
Modèle  traduire en langue naturelle
Discours quantitatif  traduire en langue mathématiques
Economie : répartir des ressources, quantités, prix, valeurs
Micro-économie : maximiser l’utilité de l’agent
Finance : prévision, risque
Réalité n’est pas mathématiques
Objectif : résoudre des problèmes
Problèmes Eco
Problèmes Math
◦ Réalisabilité
◦ Inéquations
◦ Atteindre un objectif fixe
◦ Equations
◦ Atteindre le meilleur objectif
◦ Optimum
Jouant sur des leviers
Variables
◦ Variables endogènes
◦  , , 
Toutes choses égales par ailleurs
◦ Variables exogènes
Paramètres fixes
◦ , , 
Problèmes de Micro-Economie
Problème du coût de production
Problème de Producteur consommateur
Niveau de production de Cobb-Douglas
Sommaire
Equation de droite
Equation, Inéquation du 1er degré à 1 ou 2 variables
Fonction rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme
Etude de fonction
Calculatrice modernes
Systèmes Informatiques de Calcul – CAS
Wolfram Alpha – Le "Google" des math/stat
www.wolframalpha.com
Geogebra – Calculs et dessins de courbes
www.geogebra.org
Notations
Ensembles
[1; 10] nombres réels entre 1 et 10
2,5 ∈ [1; 10]
{1; 10} ou {10; 1} entiers 1 et 10
2,5 ∉ 1; 10 et 2 ∉ 1; 10
1; 10 ou {1; … ; 10} entiers de 1 à 10
2,5 ∉ 1; 10 et 2 ∈ {1; … ; 10} et 2 ∈ 1; 10
Equation de droite
Equation cartésienne D ∶  =  ×  + 
◦  : pente
◦  : ordonnée à l’origine
Tracé D ∶  = 2 ×  − 1
 > 2 − 1
◦ Droite : a=2 et b=-1
◦ 2 points (, )
 = 2 − 1
Pt
A
B

0
1

−1
1
 < 2 − 1
Equation de droite
Signe de la fonction   =  ×  + 
0 =
x
  =  + 
Opposé du
signe de a
0
−

Signe de a
Equation - Inéquation
Exercices
Résoudre :
◦ Identifier les inconnues
◦ Trouver toutes les solutions réelles possibles
Rappel de règle de calcul
◦ Si  > 0 et si  >  alors  > 
◦ Si  < 0 et si  >  alors  < 
◦ Si  <  et  <  alors  +  <  + 
◦ Si  <  et  <  et , , ,  > 0 alors  < 
◦ Pas de division ni soustraction
Valeur absolue – Racine carrée
Fonction valeur absolue : pour tout  ∈ ℜ   = ||
◦ Si  > 0
|| =  > 0
◦ Si  < 0
|| = − > 0
◦ | − 2| = 2
Fonction racine carrée : pour tout  ≥ 0
  = 
Pour tout  > 0
◦
◦
>0
 2=
Pour tout  ∈ ℜ
 2 = ||
Si  > 0 et  > 0
 =  × 
  =
 est croissante.
 =  ⇔  = 2
(−2)2 = 4 = 2 = | − 2|


=


Si  <  alors  < 
 <  ⇔ 0 ≤  < 2
+ ≤ + 
Equation
nd
2
degré
Fonction polynôme de degré 2 : Pour tout  ∈ ℜ , () =  2 +  +  où  ≠ 0
 2 +  +  = 0
Solutions réelles de l’équation de 2nd degré :
◦ Discriminant :
Δ =  2 − 4
◦ Si Δ < 0 Aucune solution réelles
◦ Si Δ = 0 Une seule solution
0 = −

2
◦ Si Δ > 0 deux solutions, deux racines
− − Δ
− + Δ
0 =
 1 =
2
2
Forme factorisée :  2 +  +  = ( − 0 )( − 1 )
Equation
nd
2
degré
Signe de la fonction de 2nd degré :  2 +  + 
◦ Discriminant :
◦ Si Δ < 0 alors
Δ = 2 − 4
 2 +  +  > 0   > 0
ou
 2 +  +  < 0   < 0
◦ Si Δ ≥ 0 on a le tableau de signes selon les racines
− − Δ
− + Δ
0 =
 1 =
2
2
− − Δ
0 =
2
x
  =  2 +  + 
Signe de
a
0
− + Δ
 =
2
Opposé
du signe
de a
0
Signe de
a
Equation
nd
2
degré
Exercice
Rappel identités remarquables
2 −  2 =  +   − 
2 − 2 +  2 =  − 
2
2 + 2 +  2 =  + 
2
Si  > 0,  2 = 
a pour solutions
0 = 
et
1 = − 
Fractions rationnelles
Fraction rationnelle : pour () et () des polynômes
 
  =
 
() est définie pour tous les  où   ≠ 0
Fractions rationnelles
Exercices
Equation
 
 
= 0 a pour solutions () = 0 quand   ≠ 0
 
 
=
 
 
⇔
 
 
−
 
 
=0⇔
    −   
   
=0
⇔
 
 
−
 
 
>0⇔
    −   
   
>0
Inéquation
 
 
>
 
 
puis factorise et tableau de signes
Fractions rationnelles
Exercice
Puissances
Pour  ∈ ℜ ,   =  ×  ×  . . .×  ,  fois
Pour  ≠ 0 ,
1
 − =  
1

Pour  ≥ 0 ,  =


0 = 1
Pour a et b des réels :

= −


 ×  = +
×

 
=
×



=  × 
=
1
2


= 



=

=

2
Puissances
Exercice
Exponentielle
Exponentielle base  >  : pour tout  ∈ ℜ   =   elle prolonge 
Si 0 <  < 1,   est décroissante tendant vers 0
Si 1 < ,
  est croissante tendant vers l’infinie
Exponentielle Népérienne
Exponentielle base  = .  : pour tout  ∈ ℜ   =  
Propriétés
 > 0
0 = 1
1 = 
 + =   ×  
 − =
1

 − =




=  ×
La droite  =  + 1 est tangente à ^
Logarithme Népérien
Pour tout réel  > 0 , l’unique solution de   =  est  = ln 
Autrment dit :  > 0  ln  =  ⇔  =  
 ln  = 
Logarithme népérien : pour tout  > 0 ,   = ln 
Propriété :
Pour tout  ∈ ℜ,
ln   =  et pour tout  > 0,  ln  = 
ln 1 = 0 et ln  = 1
ln  ×  = ln  + ln 
ln


= ln  − ln 
ln  =  × ln 
ln
1
2
 = ln 
La droite  =  − 1 est tangente à ln()
ln   = 
Exponentielle Logarithme
Exercice
Etude de fonctions
Pour les équations, inéquations mixant toutes ces fonctions  étude de fonctions
Etapes
◦
◦
◦
◦
Domaine de définition et Continuité
Dérivabilité
Signe de la dérivée, tableau de variations
Limite et tendances
Domaine de définition - continuité
Domaine de définition de   ∶  = ensemble des x où f est calculable
Polynôme :   =    + −1  −1 + … + 1  + 0
 = ℜ tout réel et continue sur son domaine de définition
Fraction rationnelle ∶   =
 = ℜ −
 
 
où () et () sont des polynômes
     = 0
Fonction racine :   =
 =  > 0
() continue sur 

() continue sur 
Exponentielle :   =  
 = ℜ et   est continue sur 
Logarithme :   = ln 
 = ℜ et () est continue sur 
Dérivabilité
Soit () une fonction définie sur [, ]
Taux d’accroissement de () entre  et  est
  − 
−
Taux d’accroissement instantanée en  :
◦ Limite de l’accroissement entre  et  + ℎ quand ℎ devient petit :
 +ℎ − 
ℎ
◦ C’est la pente de la tangente à la courbe de () en  = 
Dérivé de () en  : c’est la limite de
Elle est noté ’ 
Tangente à () en  =  :
 ∶  = ’   −  +  
 +ℎ − 
ℎ
quand ℎ est petit
Dérivée usuelles
  = …
‘  = …
  = …
‘  = …
    
0
 × () où  é
 × ()

1
  + ()
 ′  + ′()
  ù  ≠ 1
1
  ≠ 0

 −1
1
− 2

  × ()
  ′  +  ′  ()
 
 
′    −   ′()
()2
   ≥ 0
1
  > 0
2× 


ln    > 0
1
  > 0

  
 ′  × g′  
 ()
ln  
() ù  ≠ 1
 
′() ()
′()
  > 0
()
 × ′  ×  
1
2×  
−1
ù () > 0
Sens de variation
Etude de signe de ’() sur [, ]
Si ’  > 0 alors () est croissante sur [, ]
Si ’  < 0 alors () est décroissante sur [, ]
Si ’  = 0 alors () est consante sur [, ]
Tableau de variations

0
‘ 
+
0
−
 


é
Solution équation & inéquation
◦ La résolution de () =  se fait pour chaque colonne.
Chaque colonne a 1 unique ou aucune solution car () est monotone
◦ La résolution de () >  se fait sur chaque colonne en étudiant () = 
Extremum
◦ Le tableau de variation montre les valeurs extrêmes que peut prendre ()
Sens de variation

0
ln ′() = 1/
+
ln()



′
= 

−∞
+∞
+

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