il teorema del viriale

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presentano:
Il teorema del viriale è una proposizione che lega
la media temporale dell'energia cinetica e
dell'energia potenziale di un sistema stabile
di N particelle e che ha importanti risvolti in diverse
branche della fisica.
La prima formulazione del teorema è
dovuta
a Rudolf Clausius, nel 1870.
Il nome viriale deriva dal latino vis che
significa forza o energia.
Si basa sull’uguaglianza tra la
tendenza di contrazione e la
tendenza all’espansione di una
stella.
Ricaveremo:
=-
U=Il segno negativo è spiegato dalla
legge di Coulomb, secondo cui due
cariche opposte si attraggono.
COME VOLEVASI DIMOSTRARE!
Dal punto di vista matematico si esprime tramite il
teorema del Viriale questa condizione: una nube
interstellare rimane in uno stato di equilibrio
dinamico finché l'energia cinetica del gas, che genera
una pressione verso l'esterno, e l’energia
potenziale della gravità, con verso centripeto, si
equivalgono.
Il teorema stabilisce che, per mantenere l'equilibrio,
l'energia potenziale gravitazionale deve essere uguale
al doppio dell'energia termica interna. La rottura di
questo equilibrio a favore della gravità determina il
manifestarsi di instabilità che innescano il collasso
gravitazionale della nube.
La massa limite oltre la quale la nube andrà
certamente incontro al collasso è detta massa di
Jeans, che è direttamente proporzionale alla
temperatura ed inversamente proporzionale alla
densità della nube: quanto più bassa è la
temperatura e quanto più alta la densità, tanto
minore è la massa necessaria perché possa
avvenire tale processo.
Per una densità di 100 000 particelle al cm³ e una
temperatura di 10 K il limite di Jeans è pari a una
massa solare.
Il Teorema del Viriale formalizza, quindi, la condizione di stabilità
di un sistema autogravitante, che implica un preciso
bilanciamento fra energia cinetica (agitazione termica) ed
energia potenziale gravitazionale.
Infatti:
• Se prevale l’energia termica Ec, il sistema si espande  non è più
stabile
• Se prevale l’energia potenziale gravitazionale U, il sistema si
comprime  non è più stabile
Essendo l’energia potenziale negativa, se il sistema si contrae,
l’energia potenziale diventa sempre più negativa.
In base alla formula, quindi, se il sistema si contrae, l’energia
termica aumenta.
Ma, in base al teorema del Viriale, solo ½ dell’energia
gravitazionale rilasciata rimane nel sistema sottoforma di energia
termica, l’altro ½ viene rilasciato sotto forma di radiazione.
Applicazione del Teorema del Viriale: stima della velocità di fuga dall’ammasso
Consideriamo un ammasso stellare sferico, autogravitante, composto da N stelle di massa m aventi
velocità quadratica media V e aventi distanza media R fra ogni coppia di stelle.
Per calcolare la velocità di fuga ve dall’ammasso di una delle N stelle eguagliamo l’energia cinetica,
corrispondente alla velocità di fuga, all’energia potenziale “sentita” dalla stessa stella (dovuta cioè alle
N-1 stelle rimanenti):
½ m ve2 = G [(N1)m] m / R
(essendo R la distanza media fra le stelle, che adottiamo come il raggio caratteristico dell’ammasso)
D’altra parte, il teorema del Viriale afferma che l’energia cinetica di agitazione termica
è uguale al ½ dell’energia potenziale gravitazionale U cambiata di segno:
=½U
La quantità totale di energia cinetica disponibile
è data da:
= N ½ mV2
Ricordiamo che abbiamo assunto una distanza media fra coppie di stelle pari a R.
L’energia potenziale gravitazionale associata a ogni coppia è Gm2/R.
Essendoci N(N1)/2 possibili coppie di stelle nell’ammasso, si ha U = G N(N1) m2 /2R .
delle N stelle
Dal teorema del Viriale si ha quindi la relazione:
N ½ mV2 =  ½ G N(N1) m2 /2R
che paragonata alla relazione per la velocità di fuga:
½ mve 2 = G [(N1)m] m / R
implica:
ve = 2V
Il TEOREMA DEL VIRIALE consente di misurare la massa di un ammasso galattico
in
stato di equilibrio dinamico. All'interno di un ammasso, ogni galassia è accelerata dalla
gravità totale subita da parte di ogni atomo facente parte dell'ammasso stesso. Maggiore
è la massa dell'ammasso, maggiore è la gravità e maggiore è la velocità con la quale le
galassie si muovono nelle loro orbite. Il TEOREMA DEL VIRIALE regola, quindi, anche i
moti delle singole galassie degli ammassi.
Gli Ammassi di Galassie sono
insiemi di galassie che vengono
tenute insieme dalle rispettive
forze di gravità. Poco meno di
metà delle galassie si trova
questi ammassi, strutture con un
numero di membri che va da
poche unità a diverse migliaia.
Gli ammassi più grandi possono
essere due o tre volte l’
Ammasso della Coma; solo l'1%
delle galassie si trova in questi
grandi ammassi.

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