Integraal - We Love Math

Report
Integraal
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
muudu
jagatise
funktsiooni diferentserimiseks
cos x
x
0
a ln a
1
1

x 1
1
x
 sin x
1
x ln a
2
1
2
x
nx
cos
n 1
e
2
x
x
korrutisega
u   v
u   v
uv
cu 
u v
uv
Tuletise leidmise pöördoperatsiooniks on algfunktsiooni
leidmine.
funktsioon
f ( x)  5 x  2 x  3
2
funktsioon
f ( x)  ?
tuletis
f ( x )  10 x  2
tuletis
f ( x )  3 x
algfunktsiooniks
1. Funktsiooni y  F ( x ) nimetatakse funktsiooni y  f ( x ) ....................................
Piirkonnas X, kui selles piirkonnas F  ( x )  f ( x ) .
2. Funktsiooni
5
4
x
3
a) y  5 x algfunktsiooniks on näiteks ...........................
 cos x  10
b) y  sin1 x algfunktsiooniks on näiteks ...........................
ln x  4
c) y 
algfunktsiooniks on näiteks ...........................
x
3.Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks ja see on
pöördtehe
tuletise leidmise ...........................................
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
G ( x)  F ( x)  C
konstant

f ( x ) dx  F ( x )  C
f ( x)

f ( x ) dx
x
C
Integreerimine on algfunktsioonide üldavaldise ehk
määramata integraali leidmine.
C
cos x
x
2
x+C
n+1
x
sin x
e C
x
a
x
summaga
cos xdx   cos x  C 1  sin x  C 2 
 sin x  cos x  C
märgi ette
x dx  3 
4
x
5
5
C 
3
5
x C
5
1

5  3 x 1, 5
3

1
2  6x
1
2
C 
1, 5
2
9
5  3 x 3
cos  2 x  5   C
C
6
4 x
2
C
1 x3
C
x3
C
C
2
2
5
5
6
ln x
6
6

ln x
18
C
C 
9 x  5   C
4
4
t
4
44
C 
11 x  2
44
C
t2
x
x=a
x=b
t C
1
2
ln x  2  C
2
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
Kui kõvertrapetsi kõverhaar on määratud võrrandiga y=f(x) ja selle kõvertrapetsi
pindala on S(x), siis
S ( x )  f ( x )
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
määratud integraaliks
ülemiseks rajaks
a-st b-ni
alumiseks rajaks
algfunktsioon
ülemise
ülemise
alumise
alumise
  1 3
2

 7 
3

21
x
2
x
2
 6 
  2    2   5   2 
3
2
1
1
1 x
x
x
9
 1, 5
1, 5
 1, 5
x
2 
2

 4    1  
2 
1

 4  1   1  2   5  3  2
Matemaatika lisamaterjal 12.kl, Avita
2 2
x

2 2
x

 2x
 2

 1 

2
x
2 2
 ln 2



2
1
 2
  2

4
1
7
7  4 ln 2




2

2

2

(

1
)

4


2


2

 ln 2
  ln 2
 ln 2
2 ln 2
2 ln 2
2 ln 2

 

x
1  sin x 1  sin x 
1  sin x 
1  sin x 

1  sin x
x  cos x
3


6


3

 
3   1

 

2  6
2 
2
1
3
 2 x  1  dx
2 x  1
4
10
  2 x  1 dx
4

1
t

2
4
dt 
t
5
10
C
5
1

0
2 1  1
10

0 1
10

1
10

1
10

1
5
 2 dx  dx 
dt
2
summaga
märgi ette
integraali märk vastupidiseks
 x3 3x2
 4


 3  2  10 x  1 


3
2

 43 3  42
   1
3   1
1
1

  21  24  40   1, 5  10






10

4


10


1
 3
  3

2
2
3
3

 

x=a
a; b 
x=b
r
S ( x)
2
ristlõike
ruumalade
0
6
6
 0 ,5 x  4
0
x
3
 4
12
6
 
x
 12
0
2
 16 x
2
3
 2  6  16  6 
2
6
0

2
 2  0  16  0 
12

0
6
3
x
2
4
 4 x  16
4
4
 
x 1
1
3
 3
1

2

 4

1

1
 3



3
 4
2
4
x  2x 1
2
1
39
x
3
3
x x
2
b)
2
2
V 
2
 2 x  dx    4 x
2
0
0
4
dx  4  
x
5
5
2
 4 
0
2
5
5
 
 0  25 , 6  ü
3
c)
NB ! sin
2
x
1  cos 2 x
2

V    sin

2
xdx 
0
 

0
1  cos 2 x
2
dx 

2

 1  cos 2 x dx

0

 
1
1

 
  x  sin 2 x      sin 2   0  sin 0      0 , 5
2
2
2
2
2
0
 2
1
2
ü 
3
Integraali seos füüsikaga
Kui keha liigub mööda sirget kohast a kohani b muutuva
jõu P mõjul, mis mõjub piki sirget ja sõltub läbitud tee
pikkusest s, st P=f(s), kui a ˂b, siis avaldub tehtud töö
n 1
A
b
lim  f  s    s   f  s ds
i
n 
i0
a
Näide. Venimata olekus vedru on 20 cm pikk. Jõud suurusega
100 N suudab hoida selle vedru 5 cm pikemana. Kui palju tööd
minimaalselt on vaja teha, et venitada vedru pikkuselt 25 cm
pikkuseni 35 cm?
Hooke’i seaduse põhjal venitusjõud P on vedru tasakaaluasendis
võrdeline vedru algpikkuse muuduga  x  s st P=ks.
Et 100 N suurune jõud hoiab vedru 5 cm = 0,05 m pikemana
100=k·0,05, st k=2000 ja P=2000s. Meid huvitab töö pärast
seda, kui vedru on juba venitatud 0,05 m võrra ja seda jätkatakse
Kuni vedru on pikenenud 15 cm = 0,15 m võrra.
0 ,15
A
 2000 s ds 
0 , 05
2000 s
2
2
0 ,15
0 , 05

 1000 0 ,15  0 , 05
2
2
  20  J 
O. Prinits Matemaatika 11. klassile, Valgus 1988
Harjutusülesanne 5, lk. 77.
( 0 ;0 , 4 )
y  ax  0 , 4
0 ,16 a  0 , 4  0
2
0 ,16 a   0 , 4
0 , 4 ; 0 
a   2 ,5
y   2 ,5 x  0 , 4
2
0 .4
S  2
  2 ,5 x
2

 0 , 4 dx
0
 2 ,5 x 3
 0,4
 2 ,5  0 , 4 3

2
 2   
 0 , 4 x  0  2   
 0 , 4  0 , 4   0  0 , 2 m
3
3




Vastus. Kaarhalli otsa pindala on ligikaudu 0,2 m².
 

similar documents