第三章《时域分析》 - 西安电子科技大学

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第三章
线性系统的时域分析法
回顾: 第二章
系统数学模型的建立
到底完成了一件什么事?
已知输入和输出之间的物
理关系,求传递函数
第三章
线性系统的时域分析法
常用什么输入
已知输入和传递函数,
分析输出的动态特性
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响应
常用什么系统
IAEI
航天电子信息研究所1
第三章
线性系统的时域分析法
第三章
线性系统的时域分析法
3.1 各种常用信号和系统
3.2 一阶系统的时域分析
3.3 二阶系统的时域分析
动态性能
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析
3.6 控制系统的稳态误差
稳态性能
3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析
小结
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IAEI
航天电子信息研究所2
第三章
线性系统的时域分析法 常用输入信号
r(t)
r(t)
r(t)
R ¡¤1(t)
Rt
1
Rt
2
2
0
t
(a)
0
t
0
(b)
(c)
r(t)
r(t)
t
r(t)
1
h
2
1
0
t
h
(d)
0
(e)
0

t
(f)
图 3-1 典型输入信号
IAEI
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t
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线性系统的时域分析法 常用输入信号
 R  1( t ) t  0

r (t )  

t0
0
r ( s )  L [ r ( t )]
 L [ R  1( t )]

1
s
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 Rt

r (t )  
 0
t0
t0
r ( s )  L [ r ( t )]
 L[ R  t ]

A
s
2
IAEI
 Rt 2

r (t )   2

0
t0
t0
r ( s )  L [ r ( t )]
 L[ A  t ]
2

2A
s
3
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线性系统的时域分析法 常用输入信号
r ( t )  A sin  t
 t  0

 (t )  r (t )  
 0 t  0



r ( s )  L [ r ( t )]
 ( t ) dt  1
 L [ A sin(  t )]
r ( s )  L [ r ( t )]
 A / ( s   )
2
 L [ ( t )]
2
1
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法 常用系统
1. 一阶系统
什么是一阶系统?
答:由一阶微分方程描述的系统
dc ( t )
T
 (s) 
 c (t )  r (t )
C (s)

R (s)
dt
1
Ts  1
一阶系统就是惯性环节
R (s)
£«
£-
E (s)
1
C (s)
R (s)
Ts
(a )
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1
C (s)
Ts  1
IAEI
6
(b )
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线性系统的时域分析法 常用系统
什么是二阶系统?
答:由二阶微分方程描述的系统
2
T
2
d c (t )
dt
G (s) 
2
 2 T
dc ( t )
 c ( t )  r ( t ) ( 0    1)
dt
C (s)
R (s)

T s  2 Ts  1
2
2
n
2
1

s  2 n s  
2
2
n
( 0    1)
式中ζ为振荡环节的阻尼比, ωn为系统的自然振荡角频率
这两个参数是二阶系统的重要结构参数。
二阶系统就是震荡环节
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线性系统的时域分析法 常用系统
典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节
和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。
R (s)
£«
£-
K1
K2
s  1
s
C (s)
C (s)
n
R (s)
2
s  2 n s   n
2
(a )
2
(b )
二阶系统的特征方程为
s  2 n s   n  0
2
2
所以, 系统的两个特征根(极点)为
s1 , 2    n   n   1
2
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随着阻尼比ζ的不同, 二阶
系统特征根(极点)也不相
同。
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线性系统的时域分析法
3.2 系统的时域分析
已知输入和传递函数,分析输出的动态特性
思路:
G (s) 
C (s)
C (s)  G (s)  R (s)
R (s)
1
c ( t )  L ( C ( s ))
从c(t)分析输出随时间递进的运动规律
常用单位阶跃函数作为典型输入
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线性系统的时域分析法
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统就是惯性环节
输入为单位阶跃函数
输出的S域表达式
输出的时域表达式
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G (s) 
C (s)
R (s)
R (s) 

1
Ts  1
1
s
C (s) 
1

1
Ts  1 s
c (t )  1  e
IAEI

 t /T
1
s ( Ts  1)

1
s

T
Ts  1
( t  0)
10
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线性系统的时域分析法
c (t )  c s (t )  ct (t )  1  e
 t /T
( t  0)
cs(t)=1是稳态分量, 由输入信号决定。
ct(t)=-et/T是瞬态分量(暂态分量), 它的变化规律由传递函数的
极点s=-1/T决定。
当t→∞时, 瞬态分量按指数规律衰减到零。
一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始,
按指数规律上升并且最终趋于1的曲线。
曲线无震荡特性,故为非周期信号
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线性系统的时域分析法
£- t/T
c (t )£½ 1£ -e
c (t )
c(0)  1  e  0
0
1
1
б ÂÊ
T
c (T )  1  e
0.6 32
0
T
2T
3T
4T
9 9.3%
9 8.2%
9 5%
8 6.5%
6 3.2%
A
5T
t
图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线
1
 0 . 632
c ( 2T )  1  e
2
 0 . 865
c ( 3T )  1  e
3
 0 . 95
c ( 4T )  1  e
4
 0 . 982
c ( 5T )  1  e
5
 0 . 993
c( )  1
一阶系统从零上升到1的时间为T
T越小,响应过程越快
t=3T 5%误差带
t=4T 2%误差带
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线性系统的时域分析法
h(t)
1/T
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
如果输入信号为理想单位脉冲函数
0.368/T
r(t)=δ(t), R(s)=1
0.135/
0.05/T
T
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C (s) 
0
1
Ts  1
T
3T
2T
这 时 的 输 出 响 应 称 为 单 位 脉 冲 响 应 , 记 作 g(t) 。因 为 g(t)=L-1
[G(s)], 其表达式为
c(t ) 
1
e
t / T
(t  0)
T
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线性系统的时域分析法
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
对于单位斜坡函数
1
r (t )  t, R ( s ) 
s
2
可求得系统输出信号的拉氏变换为
C (s) 
1

1
Ts  1 s
2

1
s
2

T

s
T
2
Ts  1
取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为
t /T
(t≥0)
c ( t )  c s ( t )  c t ( t )  ( t  T )  Te
式中, cs(t)=t-T是稳态分量, 它是一个与输入信号等斜率的斜坡
函数, 但时间上滞后一个时间常数T; ct(t)=Te-t/T是瞬态分量, 当
t→∞时, ct(t)按指数规律衰减到零, 衰减速度由极点s=-1/T决定。
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c (t)
线性系统的时域分析法
表明过渡过程结束后,其稳
态输出与单位斜坡输入之间
,在位置上仍有误差,一般
叫做跟踪误差。
r(t)
T
c (t)
T
0
T
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t
在阶跃响应中,输出量与输入量
之间的位置误差随时间而减小,最
终趋于0,而在初始状态下,位置
误差最大,响应曲线的斜率也最大;
无差跟踪
在斜坡响应中,输出量与输入
量之间的位置误差随时间而增大,
最终趋于常值T,在初始状态下,
位置误差和响应曲线的斜率均等于
0。有差跟踪。
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线性系统的时域分析法
响应曲线在[0,) 的时
一阶系统的特点
c(t)
间区间中始终不会超过其稳
态值,把这样的响应称为非
周期响应。无振荡
1.0
0.865
0.632
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个重要的特点:
①用时间常数T去度量系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于1/T。
t
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts
T反映了系统的惯性。
定义:︱c(ts) 1 ︱= 
T越小惯性越小,响
应快;
= e

ts
T
( 取5%或2%)
 t s  3 T (   5 %)

 t s  4 T (   2 %)
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T越大,惯性越大,
响应慢。
16
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线性系统的时域分析法
3.3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的标准形式
典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环
节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统
的传递函数为
C (s)

R(s)
K 1K 2
s  s  K 1K 2
2
令ω2n=K1K2/τ, 1/τ=2ζωn, 则可将二阶系统化为如下标准形式:
C (s)
R(s)
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n
2

s  2 n s  
2
IAEI
2
n
(3.15)
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线性系统的时域分析法
C (s)
n
2

R(s)
s  2 n s   n
2
2
二阶系统的动态特性, 可以用ζ(阻尼比)和ωn(无阻尼振荡频
率)这两个参量的形式加以描述。
二阶系统的特征方程为
s  2 n s   n  0
2
2
所以, 系统的两个特征根(极点)为
s1 , 2    n   n   1
2
随着阻尼比ζ的不同, 二阶系统特征根(闭环极点)也不相同。
要针对阻尼比的不同区分对待
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线性系统的时域分析法
1. 欠阻尼(0<ζ<1)
当0<ζ<1时, 两特征根为
s1 , 2    n  j  n 1  
2
这是一对共轭复数根, 如图3-7(a)所示。
2. 临界阻尼(ζ=1)
当ζ=1时, 特征方程有两个相同的负实根
s1,2=-ωn
此时, s1, s2如图3-7(b)所示。
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19
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线性系统的时域分析法
3. 过阻尼(ζ>1)
当ζ>1时, 两特征根为
s1 , 2    n   n   1
2
这是两个不同的实根。
4. 无阻尼(ζ=0)
当ζ=0时, 特征方程有一对共轭纯虚数根
s1 , 2   j  n
此时, s1, s2如图所示。
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20
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线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二阶系统在
单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
n
2
C (s) 
s  2 n s  
2
2
n

1
s
(3.19)
对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的
过渡过程为
1
c ( t )  L [ C ( s )]
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IAEI
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线性系统的时域分析法 C ( s ) 
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
n
2
s  2 n s  
2
2
n

1
s
(3.19)
式(3.19)可以展成如下部分分式形式:
C (s) 
1

s

1
s

s  2 n
( s   n  j  d )( s   n  j  d )
s   n
( s   n )  
2
2
d

 n
d

d
( s   n )   d
2
2
阶跃
sin
cos
式中,  d   n 1   称为有阻尼自振角频率。
2
下一步:进行拉普拉斯反变换
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IAEI
22
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线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
1
c ( t )  L [ C ( s )]  1  e
1 e
c(t )  1 
e
1
e
  n t
1
2
  n t
1
2
  n t

  n t

 cos  d t 

1
2
cos  d t 

1
2
 n
d
  n t
sin  d t

sin  d t  ( t  0 )

cos  d t   sin  d t
sin(  d t   ) ( t  0 )

式中,   arctan(
阻尼比在不同的范围内取值时,二阶系统的特征
根在s 平面上的位置不同,二阶系统的时间响应
对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。
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e
IAEI
1
2
/ )
系统的单位阶跃响
应表达式
23
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线性系统的时域分析法
1. 欠阻尼情况(0<ζ<1)
c (t )  1 
c (t)
2
e
  n t
1
2
在欠阻尼情况下, 二阶系统的单位
阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线
0.1
0.3
0.9
0.5
0.7
1.0
衰减速度取决于特征根实部的绝
对值  n 的大小
1
振荡角频率  d   n 1   2
是特征根虚部的绝对值
0.5
2.0
1.5
0
20
2
sin( d t   ) ( t  0)
 £½ 0
1.5
s1, 2    n  j n 1  
40
60
80
10 0
t
振荡周期为
输出波形与特征根的关系
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IAEI
Td 
2
d

2
n 1  
24
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2
第三章
线性系统的时域分析法
c (t)
c(t)
2
 £½ 0
0.1
0.3
1.5
1
0.9
0.5
0.7
1.0
1
c(t )  1 
0
1
1 
e
  n t
2
sin(  d t   )
0.5
2.0
t
衰减振荡
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1.5
0
IAEI
20
40
60
80
25
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10 0
t
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线性系统的时域分析法
  arctan(
2. 无阻尼情况(ζ=0)
c (t )  1 
e
  n t
1
2
1
/ )
2
d  n 1  
2
sin( d t   ) ( t  0)
当ζ=0时, 系统的单位阶跃响应为
c ( t )  1  cos  n t
c (t)
2
 £½ 0
0.1
无阻尼情况下系统的阶跃响应是
0.3
1.5
0.9
0.5
0.7
1.0
1
等幅正(余)弦振荡曲线
0.5
2.0
1.5
振荡角频率是ωn。
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0
IAEI
20
40
60
80
10 0
26
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t
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线性系统的时域分析法
c (t)
c(t)
2
 £½ 0
0.1
0.3
1.5
0.9
0.5
0.7
1.0
1
0
等幅振荡
t 0.5
1.5
20
0
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2.0
IAEI
40
60
80
10 0
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t
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线性系统的时域分析法
n
2
C (s) 
3. 临界阻尼情况(ζ=1)
s  2 n s   n
2
2

1
s
式(3.19)
当ζ=1时, 时域表达式分母出现零,无法有效表达
由传递函数式(3.19)可得
n
2
C (s) 
s(s   n )
2

1
s
n
2

(s  n )
2

1
s  n
对上式进行拉氏反变换得
c ( t )  1  ( n t  1) e
 nt
(t  0)
(3.25)
所以, 二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的
单调上升曲线(如图3 - 8所示)。
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线性系统的时域分析法
c (t)
2
 £½ 0
0.1
c(t)
0.3
1.5
0.9
1
0.5
0.7
1.0
1
0.5
2.0
t
0
1.5
0
20
40
60
80
10 0
此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程,其变化率
t = 0,变化率为0; t > 0变化率为正,c(t) 单调上升;
t →∞ ,变化率趋于0。整个过程不出现振荡,无超调,
稳态误差=0。
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t
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线性系统的时域分析法
4. 过阻尼情况(ζ>1)
这种情况下, 系统存在两个不等的实根, 即
s1   (  
  1 ) n , s 2   (  
2
  1 ) n
2
由式(3.19)可得
n
2
C (s) 


1
( s  s1 )( s  s 2 ) s
A1
s

A2
s   n ( 
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  1)
2
IAEI

A3
s   n ( 
  1)
2
30
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线性系统的时域分析法
式中,
A1  1, A2 
A3 
1
2   1 ( 
  1)
2
2
,
1
2   1 ( 
  1)
2
2
取上式的拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为
1
c(t )  1 
2
e
2   1( 
  1)
2

2
1
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 (    1 )  n t
2
2   1 ( 
2
 (    1 )  n t
  1)
IAEI
2
e
(t≥0)
31
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线性系统的时域分析法
显然, 这时系统的响应c(t)包含两个衰减的指数项, 其过渡过程曲线如图
3-8所示。此时的二阶系统就是两个惯性环节的串联。 有关分析表明, 当
ζ≥2时, 两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大, 此时靠近虚轴的极点所对应的
惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近, 可以用该惯性环节来代替原
来的二阶系统。
c(t)
1.0
ts
0
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t
32
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线性系统的时域分析法
c (t)
2
 £½ 0
随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响
应的振荡程度加剧。
0.1
0.3
1.5
0.9
0.5
0.7
1.0
ζ=0时是等幅振荡,
ζ≥1时是无振荡的单调上
升曲线,
ζ=1时临界阻尼对应的过
渡过程时间最短。
1
0.5
2.0
1.5
0
20
40
60
80
10 0
t
在欠阻尼的状态下, 当0.4<ζ<0.8时, 过渡过程时间比临界阻尼时更短,
而且振荡也不严重。 因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和
振荡的情况外, 通常都希望二阶系统工作在0.4<ζ<0.8的欠阻尼状态。
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IAEI
33
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第三章
线性系统的时域分析法
总结:
1)ξ<0时,响应发散,系统不稳定;
2)ξ>=1时,响应与一阶系统相似,无超调,但调节速度
慢;
3)ξ=0时,无过渡过程,直接进入稳态,响应等幅振荡;
4)0<ξ<1时,响应有超调,但上升速度快,调节时间短,
合理ξ选择可使既快又平稳,工程上把ξ=0.707的二阶系统称为
二阶最优系统;
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34
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第三章
线性系统的时域分析法
回顾上节课内容
1
P


P
1.梅森公式
k
k
k
2.一阶系统的时域特性
 (s) 
C (s)
R (s)
c (t )

1
c (t )  1  e
T s  1 c (t )£½ 1£ -e
( t  0)
£- t/T
t=3T 5%误差带
t=4T 2%误差带
1
1
б ÂÊ
T
0.6 32
9 5%
9 8.2%
9 9.3%
T
8 6.5%
A
6 3.2%
0
 t /T
2T
3T
4T
5T
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c (3T )  1  e
3
 0.95
c (4 T )  1  e
4
 0.982
t
35
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第三章
线性系统的时域分析法
3.二阶系统的时域特性
C (s)

R(s)

特征根
2
n
s  2 n s  
2
s1 , 2    n   n   1
2
2
n
c (t )  1 
e
  n t
1
n
自然震荡角频率

阻尼系数
2
sin( d t   )
( t  0)
d  n 1  
2
阻尼震荡角频率
  arctan(
1
2
/ )
阻尼角
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36
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第三章
线性系统的时域分析法
3.二阶系统的时域特性
C (s)
R(s)


特征根
2
n
s  2 n s  
2
c (t )  1 
s1 , 2    n   n   1
2
2
n
e
  n t
1
2
sin( d t   )
特征根的实部,决定了衰减速度
特征根的虚部系数,决定了震荡频率
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( t  0)
振荡周期为
Td 
2
d

2
n 1  
37
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2
第三章
线性系统的时域分析法
特征根
s1 , 2    n   n   1
2
3.二阶系统的时域特性
c (t )  1 
e
  n t
1
2
sin( d t   )
( t  0)
j
p1
 n 越大,衰减越快,
也就是说特征根的实部越大,衰减越快
特征根的实部  n: 极点距离虚轴的远近
极点距离虚轴越远,越稳定,
暂态衰减越快
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n
jd

ξn

0
p2
38
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第三章
线性系统的时域分析法
3.3.3 二阶系统的性能指标
在许多实际情况中, 评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶
跃函数的过渡过程的特征量来表示的。
在一般情况下, 希望二阶系统工作在0.4<ζ<0.8的欠阻尼状态下。 因此,
下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工
作状态进行的。
另外, 系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程与初始条件有关, 为了便于
比较各种系统的过渡过程性能, 通常假设系统的初始条件为零。
  t
2
e
二阶系统


arctan(
1


/ )
c (t )  1 
sin( d t   ) ( t  0)
2
单位阶跃
1
2
响应
d  n 1  
n
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39
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第三章
线性系统的时域分析法
c (t)
³¬ µ ÷ Á ¿
c (t p )
Îó²î´ø
c (¡Þ)
0.9 c (¡Þ)
td
ÎÈ Ì¬Îó ²ît¡ú¡ Þ
0.5 c (¡Þ)
0.1 c (¡Þ)
0
tr
t
tp
图 3-2 动态性能指标
ts
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40
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第三章
线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从
稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时
间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越
短, 响应速度越快。
峰值时间tp: 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所
需要的时间。
调节时间ts: 输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通
常取5%或2%), 响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内
所需的时间。
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41
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第三章
线性系统的时域分析法
最大超调量σp: 设阶跃响应的最大值为c(tp), 则最大超调量σp
可由下式确定:

p

c(t p )  c( )
c( )
 100 %
(3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次数的
一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr评价系统的响
应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同时反映响应速度和阻尼
程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指
标的解析表达式是很困难的。
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42
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第三章
1.
线性系统的时域分析法
上升时间tr
对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间
c (t)
³¬ µ ÷ Á ¿
c (t p )
Îó²î´ø
c (¡Þ)
0.9 c (¡Þ)
td
ÎÈ Ì¬Îó ²ît¡ú¡ Þ
0.5 c (¡Þ)
0.1 c (¡Þ)
0
tr
t
tp
c (t )  0
ts
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IAEI

c (t )  1
43
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第三章
1.
线性系统的时域分析法 c ( t )  1 
e
  n t
1
上升时间tr
2
sin( d t   )
( t  0)
对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间
c (t )  0
1  1
e
  n t
1

c (t )  1
e
sin( d t   )
2
1
始终大于零
tr 
 
d

  n t
2
sin( d t   )  0
dt    
 
n 1  
2
 和  n决定了上升时间, n 一
1
2
  arctan(
d  n 1  
2
定时,阻尼比越大,上升时间
越长;阻尼比一定时, n 越大
则上升时间越短
/ )
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44
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第三章
线性系统的时域分析法
2. 峰值时间tp
指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。
c (t)
³¬ µ ÷ Á ¿
c (t p )
Îó²î´ø
c (¡Þ)
0.9 c (¡Þ)
td
ÎÈ Ì¬Îó ²ît¡ú¡ Þ
0.5 c (¡Þ)
0.1 c (¡Þ)
0
tr
t
dc ( t )
tp
ts
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dt
IAEI
0
ttp
45
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第三章
线性系统的时域分析法 c ( t )  1 
e
  n t
1
2. 峰值时间tp
2
sin( d t   )
( t  0)
指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。
dc ( t )
0
dt
e
ttp
  n t p
1
  arctan(

d


1
2
d  n 1  
2
2
 
/ )
n
e
  n t
1
2

sin (  d t   ) 


 0
dt
sin( d t p   )   d cos( d t p   )   0
 n sin( d t p   )   d cos( d t p   )  0
sin( d t p   )
cos( d t p   )
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IAEI

d
 n
tan( d t p   ) 
1
46
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
2
第三章
线性系统的时域分析法 c ( t )  1 
2. 峰值时间tp
e
  n t
1
2
sin( d t   )
( t  0)
指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。
tan( d t p   ) 
  arctan(
1
2
tan( d t p   )  tan 

1
2
/ )
dtp  
即二阶系统过渡过程峰值时间为
tp 
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
d

IAEI

n 1  
2
47
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第三章
线性系统的时域分析法

p

3. 最大超调量σp
tp 
c (t)
³¬ µ ÷ Á ¿
c (t p )
c(t p )  c( )
c( )

d

 100 %

n 1  
2
Îó²î´ø
c (¡Þ)
0.9 c (¡Þ)
td
ÎÈ Ì¬Îó ²ît¡ú¡ Þ
0.5 c (¡Þ)
0.1 c (¡Þ)
0
t
tr
tp
ts
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IAEI
48
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第三章
线性系统的时域分析法
3. 最大超调量σp
c ( )  1

p

c(t p )  c( )
 e
即
c( )
  n t p

p
tp 
c (t p )  1  e
  n t p
 100 %   e

 cos  




1
p
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2
e


d
c(t p )  c( )
c( )


 cos  d t p 


  n t p
 100 %

n 1  

1

 cos  t 
d p


2
2

sin  d t p 



1
2

sin  d t p   100 %



  t
sin    100 %  e n p  100 %


 
1
IAEI
2
 100 %
超调量只
与阻尼比
有关
49
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第三章
线性系统的时域分析法
4. 过渡过程时间ts
c (t)
输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通常取5%或2%),
³¬ µ ÷ Á ¿
c (t p )
Îó²î´ø
c (¡Þ)
0.9 c (¡Þ)
td
ÎÈ Ì¬Îó ²ît¡ú¡ Þ
0.5 c (¡Þ)
0.1 c (¡Þ)
0
tr
t
tp
ts
t s   x  0.05 |t
 x  c (  )  c (t )
t s   x  0.02 |t
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第三章
线性系统的时域分析法
4. 过渡过程时间ts
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于一对曲线
y (t )  1 
e
  n t
1
2
之内, 这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替
实际响应曲线估算过渡过程时间ts, 所得结果一般略偏大。若允
许误差带是Δ, 则可以认为ts就是包络线衰减到Δ区域所需的时间,
则有
e
  n t
1
解得
2
 
1 
1
ts 
1n  1n

 n


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IAEI
1
1
2




51
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第三章
线性系统的时域分析法
若取Δ=5%
,
1n
1
1
ts 
若取Δ=2%,
1n
1
1
2
ts 
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2
( 0    0 .9 )
时, 则得
3
 n
(0<ζ<0.9) 时, 则得
4
 n
IAEI
52
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第三章
线性系统的时域分析法
tp 
5. 振荡次数N

d


n 1  
2
根据振荡次数的定义, 有
ts
N 
调节时间除以振荡周期
2t p
当Δ=5%和Δ=2%时, 由式(3.31)和式(3.32)可得
N 
N 
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1 .5 1  

2 1

IAEI
2
(   5 %)
2
(   2 %)
53
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第三章
线性系统的时域分析法
若已知σp
, 考虑到 
p
1n 
e
p
  / 1  
2
,即
 

1
2
求得振荡次数N与最大超调量之间的关系为
N  
N  
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1 .5
1n 
(   5 %)
p
2
1n 
(   2 %)
p
IAEI
54
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第三章
线性系统的时域分析法
总结
1.阻尼比 
3.阻尼角
2.自然振荡角频率  n
  arctan(
6.峰值时间
7.最大超调量
2
/ )
d  n 1  
4.阻尼振荡角频率
5.上升时间
1
 
tr 
d
tp 

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p


d
e

 
2
 
n 1  
2

n 1  
1
IAEI
2
2
 100 %
55
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第三章
线性系统的时域分析法
总结
7.过渡时间
ts 
ts 
8.振荡次数
N  
N  
3
Δ=5%
 n
4
Δ=2%
 n
1 .5
1n 
(   5 %)
p
2
1n 
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(   2 %)
p
IAEI
56
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-1
某二阶系统如图所示, 其中系统的结构参数ζ=0.6,
ωn=5rad/s。输入信号为阶跃函数, 求性能指标tr、tp、ts、 σp和N
的数值。
R (s)
n
C (s)
2
£«
s ( s  2 n )
£-
典型二阶系统
解 根据给定的参数可以得出
1
2
 0 .8,  d   n 1  
2
 4 ,   arctan
所以
tr 
 
d
tp 
 0.55 s
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1
IAEI


d
2
 0 . 93 rad
 0.785 s
57
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第三章
线性系统的时域分析法

p
e
ts 
ts 
N 
  /
3
 n
4
 n
ts
1
2
 100 %  9 . 5 %
 1 s (   5 %)
 1 . 33 s (   2 %)
 0 . 6 (   5 %)
2t p
N 
ts
 0 . 8 (   2 %)
2t p
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-2 设一个带速度反馈的伺服系统, 其结构图如图3-10所
示。要求系统的性能指标为σp=20%, tp=1s。试确定系统的K和KA
值, 并计算性能指标tr、ts和N。
R (s)
£«
C (s)
K
s ( s  1)
£-
已知指标,
求  n
1£ «K A s
解 首先, 根据要求的σp求取相应的阻尼比ζ:

p
e
  / 1  
2

1
 1n
2
1

 1.61
解得ζ=0.456。
p
其次, 由已知条件tp=1 s和已求出的ζ=0.456 求无阻尼自振频率ωn,

即
tp 
2
n 1  
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59
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第三章
线性系统的时域分析法
解得ωn=3.53rad/s, 将此二阶系统的闭环传递函数与标准形式比
较, 求K和KA值。由图3-10得
C (s)
R(s)

n
2
K
s  (1  KK A ) s  K
2

s  2 n s   n
2
2
比较上式两端, 得
n  K ,
2
2  n  1  K K A
所以K=12.5, KA=0.178。
最后计算tr、ts和N:
  arctan
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1

IAEI
2
 1 . 1 rad
60
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第三章
线性系统的时域分析法
tr 
ts 
ts 
 
n 1 
3
 n
4
 n
2
 0 . 65 s
ts
 1 . 86 s , N 
 0 . 93 次
(   5 %)
2t p
ts
 2 . 48 s , N 
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 1 .2 次
(   2 %)
2t p
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61
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c(t)
第三章已知单位负反馈系统的
线性系统的时域分析法
例3-2
单位阶跃响应曲线如图所示, 1.3
1
试求系统的开环传递函数。
解:由系统的单位阶跃响应
曲线,直接求出超调量和峰值时
间。
Mp = 30%
tp = 0.1

e

1
0
0.1


2
t
 100 %  0 . 3
n 1 
 0 .1
2
求解上述二式,得到  = 0.357,n= 33.65(rad/s)。
于是二阶系统的开环传递函数为
n
2
G (s) 
s ( s  2  n )
西安电子科技大学

33 . 65
2

11 . 31
62 )
s ( sIAEI
 2  0 . 357航天电子信息研究所
 33 . 65 )
s ( s  24
第三章
线性系统的时域分析法
3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系
1. 阻尼比是分析系统动态品质的重要参量
(1)  0 时,系统发散
(2)  0 时,系统做等幅震荡
(3)  1 时,系统等效于一阶系统,做惯性反映
(4)0    1 时,系统欠阻尼,做减幅震荡
a.  过于小,超调量大,震荡次数多,调节
时间长,系统动态品质差
b.  过大,上升速度慢,调节时间长也不好
2. 调节时间 t s 与系统阻尼比  和震荡角频率之积程反
比,因此在  一定的情况下,可以通过调节  n 来减小
调节时间。  n 越大,调节时间越小。
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63
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第三章
线性系统的时域分析法
3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系
3. 最大超调量只与阻尼比有关,可以根据允许的
超调量来选择阻尼比。

p
e
 
1
2
 100 %
4. 为了限制超调量,并使调节时间较短,阻尼比
一般应在0.4-0.8之间,这时系统的阶跃响应超
调量在1.5%---25%之间
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第三章
线性系统的时域分析法
3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系
二阶工程最佳参数
常用优化系统参数:令   2  0.707
作业:假设 ωn=5rad/s
求此时系统的各项系统参数指标
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第三章
线性系统的时域分析法
3.4 高阶系统的时域分析
高阶控制系统的传递函数如下式所示。
C (s)
b0 s  b1 s
m

R(s)
s  a1 s
n
m 1
n 1
   bm 1 s  bm
   a n 1 s  a n
,n  m
严格地说, 大多数控制系统都是高阶系统, 这些高阶系统往往是
由若干惯性子系统(一阶系统)或振荡子系统(二阶系统)所组成的
m
C (s) 
K  ( s  zi )
i 1
q
r
s  ( s  p j )  ( s  2 k  nk s   nk )
2
j 1
2
k 1
式中, n=q+2r, q为实极点的个数, r为复数极点的个数。
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IAEI
66
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第三章
线性系统的时域分析法
m
K  ( s  zi )
i 1
C (s) 
q
r
s  ( s  p j )  ( s  2 k  nk s   nk )
2
j 1
2
k 1
将上式展成部分分式得
C (s) 
A0
s
稳态分量
q

Aj
 s
j 1
pj
r


B k ( s   k  nk )  C k  nk 1   k
k 1
一阶暂
态分量
2
s  2 k  nk s   nk
2
2
二阶暂
态分量
对上式求拉氏反变换得
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IAEI
67
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第三章
线性系统的时域分析法
m
K  ( s  zi )
i 1
C (s) 
q
r
s  ( s  p j )  ( s  2 k  nk s   nk )
2
j 1
2
k 1
将上式展成部分分式得
C (s) 
A0
s
稳态分量
q

Aj
 s
j 1
pj
r


B k ( s   k  nk )  C k  nk 1   k
k 1
一阶暂
态分量
2
s  2 k  nk s   nk
2
2
二阶暂
态分量
对上式求拉氏反变换得
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68
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第三章
线性系统的时域分析法
q
C ( t )  A0 

A je
j 1
r


Cke
 k  nk t
 p jt
r


Bk e
 k  nk
cos  nk 1   k t
2
k 1
sin  nk 1   k t , ( t  0 )
2
k 1
由此可见, 单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为A0, 其瞬
态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成
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IAEI
69
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第三章
线性系统的时域分析法
q
C ( t )  A0 

j 1
r


Cke
 k  nk t
A je
 p jt
r


Bk e
 k  nk
cos  nk 1   k t
2
k 1
sin  nk 1   k t , ( t  0 )
2
k 1
几个结论:
(1) 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数
pj和ζkωnk决定。如果某极点远离虚轴(对应的衰减系数大),
那么其相应的瞬态分量比较小, 且持续时间较短。
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IAEI
70
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第三章
线性系统的时域分析法
q
C ( t )  A0 

j 1
r


Cke
 k  nk t
A je
 p jt
r


Bk e
 k  nk
cos  nk 1   k t
2
k 1
sin  nk 1   k t , ( t  0 )
2
k 1
(2) 高阶系统各瞬态分量的系数Ak、Bk和Ck不仅与复平面中
极点的位置有关, 而且与零点的位置有关。当某极点pj越靠近某
零点zi而远离其他极点, 同时与复平面原点的距离也很远时, 相
应瞬态分量的系数就越小, 该瞬态分量的影响就越小。极端情况
下, 当pj和zi重合时(称这对重合的零极点为偶极子), 该极点对系
统的瞬态响应几乎没有影响。 因此, 对于系数很小的瞬态分量,
以及远离虚轴的极点对应的快速衰减的瞬态分量常可以忽略。
于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。
增加零点环节,零极点对消,降低系统阶数
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IAEI
71
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第三章
线性系统的时域分析法
(3) 在系统中, 如果距虚轴最近的极点,其实部的绝对值为
其他极点实部绝对值的1/5甚至更小, 并且在其附近没有零点
存在, 则系统的瞬态响应将主要由此极点左右。 这种支配系统
瞬态响应的极点叫做系统的主导极点。一般高阶系统的瞬态
响应是有振荡的, 因此它的近似低阶系统的主导极点往往是一
对共轭的复数极点。
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
3.5 线性系统的稳定性分析
稳定性是对系统的基本要求,探讨系统的稳定条件,提出
保证系统稳定的措施。
3.5.1 稳定性的基本概念
设一个线性定常系统原处于某一平衡状态, 若它瞬间受到某
一扰动的作用偏离了原来的平衡状态, 当扰动消失后, 如果系统
还能回到原有的平衡状态, 则称该系统是稳定的。 反之, 系统为
不稳定的。这表明稳定性是表征系统在扰动消失后自身的一种
恢复能力, 它是系统的一种固有特性。
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IAEI
73
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第三章
线性系统的时域分析法
系统的稳定性又分为两种: 一是大范围的稳定, 即初始偏差
可以很大, 但系统仍稳定; 另一种是小范围的稳定, 即初始偏差
必须在一定限度内系统才稳定, 超出了这个限定值则不稳定。
对于线性系统, 如果小范围内是稳定的, 则它一定也是大范围稳
定的。 而非线性系统不存在类似结论。
通常而言, 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收
敛性。当把控制系统的响应分为过渡状态和稳定状态来考虑时,
若随着时间的推移, 其过渡过程会逐渐衰减, 系统的响应最终收
敛到稳定状态, 则称该控制系统是稳定的; 而如果过渡过程是发
散的, 则该系统就是不稳定的。
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IAEI
74
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第三章
线性系统的时域分析法
稳定:暂态分量必须是衰减的
3.5.2 线性定常系统稳定性的充分必要条件
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性,而与输入
信号无关。
线性系统稳定的充要条件是:闭环系统特征方程的所
有根都具有负实部,或者说,闭环传递函数的极点均
位于s左半平面(不包括虚轴)。
a 0 s  a1 s
n
n 1
首先:
系统稳定的
必要条件:
 a2 s
n2

 a n 1 s  a n  0
(1)所有项系数均为正
(2)不能缺项。
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不满足则
不稳定
75
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第三章
线性系统的时域分析法
求特征根有复杂性,需要计算机辅助。寻求更简单有效的方法
劳斯代数稳定判据
由伟达定理,系统特征根都具有负实部的必要条件为:
闭环特征方程各项同号且不缺项。
如果特征方程不满足上式的条件,系统必然非渐近稳定。
但满足上式,却不一定稳定。下面给现系统稳定的充分必要
条件。
系统稳定的充要条件是:特征方程式的全部系
数为正,且由该方程式作出的劳斯表中第一列
全部元素都为正。
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第三章
线性系统的时域分析法
3.5.3 劳斯稳定判据
设控制系统的特征方程式为
D ( s )  a 0 s  a1 s
n
n 1
   a n 1 s  a n  0
首先, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是: 控制
系统特征方程式式(3.42)的所有系数ai(i=0, 1, 2, …, n)均为正值,
且特征方程式不缺项。
其次, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充分条件是:
劳斯表中第一列所有项均为正号。
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IAEI
77
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第三章
线性系统的时域分析法
劳斯表(Routh Array)
s
s
s
s
n
n 1
n2
n3

s
2
s
1
s
0
a0
a2
a4
a6

a1
a3
a5
a7

b1
b2
b3
c1
c2
c3



d1 d 2
b4
稳定
为正
b1 

 
d3
c1 
b1 
1 a0
a1 a1
首列系数全
a2
a3
 1 a1
a3
b1 b1
b2
a1 a 2  a 0 a 3
a1
b2 
1 a0
a4
a1 a1
a5
c2 
, b2 
 1 a1
a5
b1 b1
b3
a1 a 4  a 0 a 5
a1
b3 
c3 
, b3 
1 a0
a6
a1 a1
a7
 1 a1
a6
b1 b1
b4
a1 a 6  a 0 a 7
a1
为了简化其后的数值运算, 可以用
e1 e 2
f1
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一个正整数去除或乘某一整个行,
这时并不改变稳定性结论。
IAEI
78
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第三章
线性系统的时域分析法
采用劳斯判据判断系统的稳定性时,
(1)如果必要条件不满足(即特征方程系数不全为正或缺项),
则可断定系统是不稳定或临界稳定的;
(2)如果必要条件满足, 就需要列出劳斯表, 检查表中第一列
的数值是否均为正值, 如果是, 则系统稳定, 否则系统不稳定,
(3) 系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系
数符号改变的次数。
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IAEI
79
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第三章 线性系统的时域分析法
例 3-3
s  41 . 5 s  517 s  2 . 3  10  0
3
2
4
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解 系统特征方程式的系数均大于零, 并且没有缺项, 所以稳
定的必要条件满足。列劳斯表
3
s
1
517
0
41 . 5 2 . 3  10
s
2
s
1
 38 . 5
s
0
2 . 3  10
4
0
4
由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方程中有两个根
在复平面的右半平面, 故系统是不稳定的。
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IAEI
80
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-4 设有一个三阶系统的特征方程
a 0 s  a1 s  a 2 s  a 3  0
3
2
式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2>a0a3。
证明 上式对应的劳斯表为
s
3
a0
a2
s
2
a1
a3
s
1
a1a 2  a 0 a 3
根据劳斯判据, 系统稳定
的充要条件是劳斯表第一列
系数均大于零。 所以有
a1
s
0
a1a2>a0a3
a3
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-5
考虑图3-11所示的系统, 确定使系统稳定的K的取
值范围。
R (s)
£«
C (s)
K
s ( s  s  1)( s  2 )
2
£-
图 3-11 控制系统框图
对于单位负反馈,已知前
向通路传函,求闭环传函
的简单方法:
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Wk 
IAEI
b
a
WB 
b
ab
82
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第三章
线性系统的时域分析法
解 由图3-11可知, 系统的闭环传递函数为
C (s)

R(s)
K
s ( s  s  1)( s  2 )  K
2
所以系统的特征方程为
D ( s )  s  3s  3s  2 s  K  0
4
3
2
由稳定的必要条件可知, K>0。
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
列劳斯表如下:
s
3
1
s
4
1
3
K
s
3
3
2
0
s
2
7
517
0
K
3
s
1
2
9K
7
s
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0
K
IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
根据劳斯判据, 系统稳定必须满足
K  0,
2
9K
0
7
因此, 使系统闭环稳定的K的取值范围为
0 K 
14
9
当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性时, 有时
会遇到下列两种特殊情况:
(1) 在劳斯表的某一行中, 出现第一个元为零, 而其余各元
均不为零, 或部分不为零的情况;
(2) 在劳斯表的某一行中, 出现所有元均为零的情况。
在这两种情况下, 表明系统在复平面内存在正根或存在两
个大小相等符号相反的实根或存在两个共轭虚根, 系统处在不
稳定状态或临界稳定状态。
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
若遇到第一种情况, 可用一个很小的正数ε代替为零的元素, 然后
继续进行计算, 完成劳斯表。
例如, 系统的特征方程为 D ( s )  s  2 s  3 s  6 s  1  0
其劳斯表为
4
s
4
s
3
s
2
s
1
s
1
3
2
6

0
2
因为劳斯表第一
列元素的符号改
变了两次, 所以
0 
6  2
1
3
1
 
系统不稳定, 且
有两个正实部的
特征根。
1
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IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
若遇到第二种情况, 先用全零行的上一行元素构成一个辅助
方程, 再将上述辅助方程对s求导, 用求导后的方程系数代替全零
行的元素, 继续完成劳斯表。
D (s)  s  2s  s  2  0
例如, 系统的特征方程为
s
3
s
2
3
1 1
2 2
2
由以上可以看出, 劳斯表
→辅助方程2s2+2=0
第一列元素符号均大于零,
故系统不含具有正实部的
s
s
1
0
4 0
←辅助方程
求导后的系数
2
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根, 而含一对纯虚根, 可
由 辅 助 方 程 2s2+2=0 解 出
±j。
IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
3.5.4 系统的稳定裕度
在知道稳定性的基础上,我们还期望知道系统有多稳定
稳定裕度
要知道系统是否具有 a 的稳定裕度
只需要将传递函数中的 s 用 z-a 替换
用新的传递函数计算
例
2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0
是否稳定,并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边
(是否具有a=1的稳定裕度)?
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IAEI
89
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第三章
线性系统的时域分析法
s3
解:1)
s2
s1
s0
2
10
12.2
4
2) 令 s1 = s  1
13
4
劳斯表中第一列元素均
为正
∴系统在s 右半平面没有
根,系统是稳定的。
S1
坐标平移,
得新特征方程为
s
-1
2 s 13 + 4 s 1 2  s 1  1 = 0
3
s1
s12
s11
s10
2
4
0.5
1
1
1
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劳斯表中第一列元素不全为正,
且第一列元素符号改变了一次,故系
统在s1 右半平面有一个根。因此,系
统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
所以该系统不具有1的稳定裕度
90
IAEI
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第三章
线性系统的时域分析法
3.6 控制系统的稳态误差
定义:稳态条件( t   时)下输出量与期望值之间的误差
作用:稳态误差是控制系统设计衡量系统控制精度的重要指标
现象:控制系统的稳态误差只可减小,不可避免的
无差系统 当稳态误差足够小,可以忽略不计的时候
有差系统 稳态误差不为零的系统
稳态误差的计算方法,由定义 e ss  lim e ( t )
t 
时域形式计算分析复杂
在传递函数已知的情况下,可以采用拉普拉斯终值定理
lim f ( t )  lim s  F ( s )
t 
s 0
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e ss  lim e ( t )  lim s  e ( s )
t 
IAEI
s 0
91
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第三章 线性系统的时域分析法
ÈÅ ¶¯
基本系统结构图如图所示,
N(s)
R(s)
E(s)
£«
£«
G1(s)
£-
C(s)
G2(s)
£«
B(s)
H(s)
系统的误差由两部分组成:
• 由系统给定信号引起的误差为系统误差或给定稳态误差, 它
反映了系统跟踪输入信号的能力;
• 由扰动输入信号引起的误差称为扰动稳态误差,它反映了系
统抑制扰动的能力。
根据线性系统的叠加原理, 可求得系统总稳态误差传递函数为
E (s) 
1
1  Go ( s)
R(s) 
G2 (s)H (s)
1  Go ( s)
扰动稳态误差
恒值系统常用
给定稳态误差
随动系统常用
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N (s)
IAEI
92
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第三章
线性系统的时域分析法
3.6.1 扰动稳态误差计算
定义:恒值系统中,加入扰动后,稳定下来的稳态误差
ÈÅ ¶¯
N(s)
R(s)
E(s)
£«
£«
G1(s)
C(s)
G2(s)
£«
£-
B(s)
H(s)
扰动误差传递函数
 N (s) 
C N (s)
N (s)

G2 (s)
C N (s) 
1  G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
e ss  lim c n ( t )  lim s  C N ( s )  lim
t 
s 0
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s 0
IAEI
G2 (s) N (s)
1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s )
s  G2 (s) N (s)
1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s )
93
航天电子信息研究所
第三章
线性系统的时域分析法
N(s)
EG.
R(s)
E(s)
+
+
+
K1
﹣
K2
s(Ts+1)
C(s)
试求系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差。
解: 系统误差的拉氏变换为
K2
En (s)  
K2
1
s (T s  1)
 N (s)  

2
K1K 2
Ts  s  K1K 2 s
1
s (T s  1)
e ssn  lim sE n ( s )   1 / K 1
s 0
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IAEI
94
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第三章
3.6.2
线性系统的时域分析法
给定稳态误差
R(s)
E(s)
£«
G(s)
C(s)
£-
B(s)
H(s)
普通闭环系统
两
种
定
义
E(s)=R (s)-B(s)
单位反馈闭环系统
便于测量和直接计算,常用
E(s)= R(s)-C(s)
对单位反馈系统,上述两种定义等价
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IAEI
95
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第三章
3.6.2
E(s)
线性系统的时域分析法
给定稳态误差的计算
把E(s)看作输出
R(s)
E(s)
 R (s)  B (s)
£«
 R ( s )  H ( s )C ( s )
B(s)
 R (s)  H (s) 
G(s)
£H(s)
G (s)R (s)
1  H ( s )G ( s )
扰动误差传递函数
We (s) 
C(s)
E (s)
开环传
递函数
 1
R (s)
H ( s )G ( s )
1  H ( s )G ( s )

1
1  Wk (s)
e ss  lim e ( t )  lim s  W e ( s )  lim
t 
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s 0
s 0
IAEI
sR ( s )
1  Wk (s)
96
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第三章
线性系统的时域分析法
e ss  lim
s 0
3.6.3
sR ( s )
1  Wk (s)
稳态误差的计算与系统的类型有关, 而系统的类型是由开
环传递函数决定的。一般情况下, 系统的开环传递函数可以表
m
m
示为 K  ( i s  1)
K
( s  1)
WK (s) 
s

i 1
n
 (T
j
s  1)

lim W K ( s )  lim
s 0
s 0
s
j 1

i
i 1
n
 (T
 lim
j
s  1)
s 0
K
s

j 1
K为系统的开环放大倍数;
τi和Tj为时间常数;
γ为开环传递函数中积分单元的个数,或称为系统的无差阶数
γ=0,1和2的系统分别称为0型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统。Ⅲ型
以上的系统很少见。
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IAEI
97
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第三章
1.
线性系统的时域分析法
单位阶跃输入作用下的稳态误差
e ss  lim s 
r ( t )  1( t )
s 0
令 K p  lim G ( s ) H ( s )

1
1  G (s)H (s) s

1
1  lim G ( s ) H ( s )
s 0
称为系统的静态位置误差系数
s 0
 K /s
1

0 型系统:K
Ⅰ型系统:K
e ss 
1
1 K p
p
 lim K / s  K ,
ess = A/ (1+ K)
p
 lim K / s  
ess = 0
0
s 0
s 0
II型系统: Kp = ∞
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ess = 0
IAEI
98
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第三章
2.
线性系统的时域分析法
单位斜坡输入作用下的稳态误差
1
R
(
s
)

2
r (t )  t
s
e ss  lim
s 0
s

1
1  G (s)H (s) s
2
1

lim sG ( s ) H ( s )
s 0
sG ( s ) H ( s )  lim
令 K v  lim
s 0
s 0
e ss 
K
s
 1
静态速度误差系数
1
Kv
0 型系统:Kv = 0 ess = ∞,0型系统无法跟踪斜坡输入
Ⅰ型系统:Kv = K ess = 1/ K, 有差跟踪
Ⅱ型及Ⅱ型以上系统: Kv = ∞ ess = 0, 无差跟踪
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99
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第三章
3.
线性系统的时域分析法
单位加速度输入作用下的稳态误差
r (t )  t / 2
2
R (s) 
1
s
e ss  lim
s 0
3
s

1
1  G (s)H (s) s
3
1

2
lim s G ( s ) H ( s )
s 0
令 K a  lim s 2 G ( s ) H ( s )  lim K
静态加速度误差系数
 2
s 0
s 0
e ss 
s
1
Ka
0 型系统:
Ka = 0 ess = ∞
Ⅰ型系统:
Ka = 0 ess = ∞
Ⅱ型系统:
Ka = K ess =1/ K
Ⅲ型及Ⅲ型以上系统:Ka = ∞ ess = 0
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100
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第三章
线性系统的时域分析法
阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差
静态误
差系数
系统
型别
r(t)=A·1(t)
r(t)=B t
r(t)=Ct2/2
ess=A/(1+ Kp )
ess=B/Kv
ess=C/Ka

Kp
Kv Ka
0
K
0
0
A/(1+ K )
∞
∞
1
∞
K
0
0
B/K
∞
2
∞
K
0
0
C/K
∞
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第三章
线性系统的时域分析法
根据以上对三种典型输入、 三种类型系统的分析, 可以得
到如下结论:
0型系统对于阶跃输入是有差系统, 并且无法跟踪斜坡信号;
Ⅰ型系统由于含有一个积分环节, 所以对于阶跃输入是无差的,
但对斜坡输入是有差的, 因此, Ⅰ型系统也称一阶无差系统;
Ⅱ型系统由于含有两个积分环节, 对于阶跃输入和斜坡输入都
是无差的, 但对加速度信号是有差的, 因此, Ⅱ型系统也称二阶
无差系统。
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-7
已 知 两 个 系 统 分 别 如 图 3-13(a) 、 (b) 所 示 。 输 入
r(t)=4+6t+3t2, 试分别计算两个系统的稳态误差。
R (s)
C (s)
10
£«
£-
s (s  4)
£«
(a )
解:
R (s) 
4
s
阶跃

10 ( s  1)
R (s)
C (s)
s (s  4)
2
£-
(b )
6
s
2
6

s
斜坡
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3
加速度
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对线性定常系统,稳态
误差是三个输入分别产
生的误差总和
103
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第三章
线性系统的时域分析法
R (s) 
4

s
R (s)
10
£«
£-
C (s)
s
2

6
s
3
10 ( s  1)
R (s)
s (s  4)
6
£«
C (s)
s (s  4)
2
£-
(a )
(b )
图3-13(a)为Ⅰ型系统, 它不能跟踪输入信号的加速度分量3t2, 所
以该系统的稳态误差ess=∞。
或:对框图1,K=10/4
对I型系统:Kp=0 Kv=6/K=2.4
所以:e ss  K p  K v  K a  
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Ka=∞
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第三章
线性系统的时域分析法
R (s)
C (s)
10
£«
£-
10 ( s  1)
R (s)
s (s  4)
£«
C (s)
s (s  4)
2
£-
(a )
(b )
图3-13(b)为Ⅱ型系统, 开环放大倍数为K=10/4。查表可知,
系统的稳态误差为
对I型系统:Kp=0
所以:
Kv=0
e ss  6 
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1
Kv=6/Ka=2.4
 2 .4
Ka
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第三章
线性系统的时域分析法
3.6.4 稳态误差的抑制措施
1.
从表3-1可以看出: 0型系统跟踪单位阶跃信号、Ⅰ型系统跟
踪单位斜坡信号、Ⅱ型系统跟踪恒加速信号时, 其系统的稳态误
差均为常值, 且都与开环放大倍数K有关。若增大开环放大倍数
K, 则系统的稳态误差可以显著下降。
提高开环放大倍数K固然可以使稳态误差下降, 但K值取得
过大会使系统的稳定性变坏, 甚至造成系统的不稳定。 如何解
决这个矛盾, 将是本书以后几章中讨论的中心问题。
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第三章
线性系统的时域分析法
2.
从表3-1可以看出: 若开环传递函数(H(s)=1时, 开环传递函
数就是系统前向通道传递函数)中没有积分环节, 即0型系统时,
跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为常值; 若开环传递函数中
含有一个积分环节, 即Ⅰ型系统时, 跟踪阶跃输入信号引起的
稳态误差为零; 若开环传递函数中含有两个积分环节, 即Ⅱ型
系统时, 则系统跟踪阶跃输入信号、 斜坡输入信号引起的稳态
误差为零。
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107
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第三章
线性系统的时域分析法
3.
采用复合控制, 即在反馈控制基础上引入顺馈(也称前馈)
补偿。 这种方法可以在基本不改变系统动态性能的前提下,
有效改善系统的稳态性能。
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第三章
线性系统的时域分析法
3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析
1. 用MATLAB
通过MATLAB提供的函数step( )和impulse( ), 可以方便地求
出各阶系统在阶跃函数和脉冲函数作用下的输出响应。
例 3-8 试用MATLAB绘制系统
G1 ( s ) 
G2 (s) 
1
2s  1
25
s  3 s  25
2
在单位阶跃函数作用下的响应曲线。
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第三章
线性系统的时域分析法
解 获取上述两系统单位阶跃响应的程序如下:
%ex-3-8
num1=[1]; den1=[2 1];
G1=tf(num1, den1);
num2=[25]; den2=[1 3 25];
G2=tf(num2, den2);
figure(1);
step(G1);
xlabel(′时间′); ylabel(′输出响应′); title(′一阶系统单位阶跃
响应′);
figure(2);
step(G2);
xlabel(′时间′); ylabel(′输出响应′); title(′二阶系统单位阶跃
响应′);
110
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第三章
线性系统的时域分析法
Ò» ½×Ï µÍ³µ ¥Î» ½×Ô ¾ÏìÓ ¦
¶þ ½×Ï µÍ³µ ¥Î»½ ×Ô ¾ÏìÓ ¦
1
1.4
1.2
0.8
0.6
Ê ä ³ ö Ï ìÓ ¦
Ê ä ³ ö Ï ìÓ ¦
1
0.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
12
ʱ¼ä( sec)
0
1
2
3
ʱ¼ä( sec)
(a)
(b )
图 3-14 例 3-8 的MATLAB仿真结果
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4
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线性系统的时域分析法
例 3-9 试用MATLAB绘制例3-8中两系统的单位脉冲响应。
解 本题的程序实现与例3-8类似, 这里从略。 仿真结果如图
3-15所示。
应当指出的是, 函数step( )和impulse( )具有不同的参数形式
和 输 出 形 式 , 具 体 情 况 请 通 过 MATLAB 的 Help 查 询 。 另 外 ,
MATLAB还提供了在任意输入信号作用下, 获取系统输出响应
的函数lsim( ), 关于其用法请参见MATLAB软件的联机帮助。
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第三章
线性系统的时域分析法
Ò» ½×Ï µÍ³µ ¥Î»Â ö³å ÏìÓ¦
¶þ ½×ϵ ͳµ ¥Î»Â ö³åÏ ìÓ¦
0.5
3
0.4
0.3
Ê ä ³ ö Ï ìÓ ¦
Ê ä ³ ö Ï ìÓ ¦
2
0.2
0.1
1
0
£-1
0
2
4
6
8
10
12
0
ʱ¼ä( sec)
1
2
3
4
ʱ¼ä( sec)
(a)
(b)
图 3-15 例 3-9 的MATLAB仿真结果
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第三章
线性系统的时域分析法
2. 用MATLAB进行系统稳定性分析
可以利用MATLAB求系统特征方程的根来分析系统稳定性。
例 3-10 设系统是由前向通道传递函数Gp(s)和反馈通道传递
函数H(s)组成的负反馈控制系统。其中,
G p (s) 
1
s  2s  4
2
, H (s) 
1
s 1
试判别系统的稳定性。
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第三章
线性系统的时域分析法
解 MATLAB采用roots( )或eig( )计算系统的特征根。 以下
是求取上述闭环系统特征根的程序:
%ex-3-10
Gp=tf([1], [1 2 4]); H=tf(1, [1 1]);
G=feedback(Gp, H);
p=eig(G)
只知道闭环传递
函数时求特征根
的方法
p=
-0.8389 + 1.7544i; -0.8389 - 1.7544i; -1.3222
由于没有正实部特征根, 因此系统稳定。
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第三章
线性系统的时域分析法
如果已知系统的特征多项式, 求取系统的特征根可采用函
数roots( )。
需 要 说 明 的 是 , 程 序 中 feedback( ) 是 构 建 反 馈 回 路 的
MATLAB函数, 对于几个传递函数的串联和并联, MATLAB也
提供了相应的实现函数series( )和parallel( ), 具体用法请查询
MATLAB的联机帮助。
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第三章
线性系统的时域分析法
例 3-11 已知系统闭环特征多项式为
D(s)=s4+3s3+3s2+2s+3, 试判断系统稳定性。
解 可用下面程序求取系统特征根:
%ex-3
11
den=[1 3 3 2 3];
p=roots(den)
p=
-1.6726±0.6531i; 0.1726±0.9491i
可见, 系统有两个实部为正的根, 所以系统不稳定。
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第三章
线性系统的时域分析法
小 结
本章根据系统的时间响应分析了系统的动态性能、 稳态性
能以及稳定性。
(1) 通过讨论系统在典型信号下的时间响应, 定义了描述系
统动态和稳态性能的一系列指标。动态性能指标通常用单位阶
跃响应的上升时间、超调量和调节时间表示; 稳态性能用稳态误
差表示。
(2) 分析了一阶、二阶和高阶系统在一些典型输入信号作用
下的时间响应。重点研究了二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应, 以
及其动态性能指标的计算方法; 还指出, 对于高阶系统在一些条
件下可以用低阶系统代替。
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第三章
线性系统的时域分析法
(3) 系统的稳定性是系统正常工作的前提。本章简要介绍
了稳定性的概念, 指出线性定常系统的稳定性由其闭环极点的
位置决定, 同时还介绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别
方法——劳斯判据。
(4) 稳定的控制系统存在控制精度问题, 这个控制精度通常
用稳态误差来描述。本章给出了控制系统稳态误差的定义、 计
算方法以及减小稳态误差的途径。
(5) 通过例题介绍了MATLAB在线性系统的时域分析中的应
用。
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线性系统的时域分析法
作业:
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第三章
线性系统的时域分析法
二、设某系统的特征方程式为,求其特征根,并判
断系统 的稳定性。
s  2 s  8 s  12 s  20 s  16 s  16  0
6
5
4
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3
2
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第三章
线性系统的时域分析法
三、控制系统方块图如图所示:
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第三章
线性系统的时域分析法
2
四、(10分) 在如图所示的系统中, r ( t )  2 t 、n(t)=4t。求系统的稳态误差。
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