3. Méthodes d`analyse des circuits DC

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Méthodes d’analyse des circuits
Méthodes de noeuds et des mailles
Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee
Méthodes de nœuds
Principe :
1. Choisir un nœud de référence parmi les N nœuds d`un
circuit et attribuer une tension vi (par rapport au
nœud de référence) à chacun de N-1 nœuds restants
2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les courants à chacun
des N-1 nœuds et exprimer les courants en termes des
tensions des nœuds
3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour
trouver les tensions vi
On peut alors déterminer tout courant dans le circuit à
partir des tensions vi
Illustration sur circuit partiel
v1
v2
v3


R4
R2
R1
I
R3
reference node
On a pour v1:
•
V1  V2 V1 V1 V1  V3



I
R2
R1 R3
R4
1 1
 1 
 1 
1
1 
    V1   V2   V3  I
ou
 R2 
 R4 
 R1 R2 R3 R4 
Des équations similaires existent pour les autres nœuds
Note : on suppose que les courants quittent les nœuds,
sauf indication contraire
Exemple d’application 1
R2
v1
R3

v2
R5

+
R1
I1
R4
v6
_
R6
On a :
V1
V1  V2

 I1
R1  R2
R3
V2  V1 V2
V2


0
R3
R4
R5  R6
ou
 1
 1 
1 

 V1   V2  I1
 R1  R2 R3 
 R3 
 1 
 1
1
1 
V2  0
  V1   

 R3 
 R3 R4 R5  R6 
Exemple d’application 1
R2
v1
R3

v2
R5

+
R1
I1
R4
v6
_
R6
On peut écrire les équations précedentes sous forme matricielle
et les résoudre :
1
 1
R  R  R
2
3
 1
1



R3

 V1   I1 


1
1
1  V2   0 


R3 R4 R5  R6 
1
R3
Exemple numérique
2A
v1 

v2
5
10 
20 
Donc : V1 + 2V1 – 2V2 = 20
v1:
V1 V1  V2

2
10
5
v2:
V2  V1 V2

 6
5
20
4A
ou 3V1 – 2V2 = 20
4V2 – 4V1 + V2 = -120 ou -4V1 + 5V2 = -120
Solution: V1 = -20 V,
V2 = -40 V
» % A MATLAB Solution
» R = [3 -2;--4 5];
» V = [20;-120];
» I = inv(R)*V
Circuits avec sources de tension
I
R1
v1
v2
R3
E
+
_
v1 :
v2 :
R2
V1  E V1 V1  V2


I
R1
R2
R3
V2 V2  V1

 I
R
R
4
3
R4
• Réduisent le nombre
des tensions inconnues
• Si une borne est la
tension de référence,
on a un nœud en moins
à déterminer
 1

 
  1  1 V   1 V  I  E
R R
 1 R  2
R
R1
Soit :  1 2 3 
 3
 1
 1 
1 
  V1    V2   I
 R2 
 R3 R4 
Exemple numérique
4
v2

10 V
v1
_

+
6
10 
v1 :
V1 V1  10  V2

 5
10
4
v2 :
V2
V2  10  V1

0
6
4
5A
D’où : 4V1 + 10V1 + 100 – 10V2 = -200
4V2 + 6V2 – 60 – 6V1 = 0
ou
14V1 – 10V2 = -300
-6V1 + 10V2 = 60
V1 = -30 V, V2 = -12 V, I1 = -2 A
• Dans le cas d’une source prise entre deux nœuds,
on peut aussi former un super nœud
Super nœud
• Un super nœud englobe deux nœuds adjacents
(excluant le nœud de référence) reliés par une source
de tension
• Le couplage entre les tensions des deux nœuds
permet de dériver facilement l’une de l’autre
super noeud
2
v1
5
6A
x
x
v2
_
v3
+
10 V
x
x
4
10 
Exemple
Contrainte sur le
v1  v2  2
super noeud :
Au super
Noeud :
Ce qui donne :
V1 – V2 = -2
-2V1 – V2 = 20
v1 v2
27   0
2 4
Et la solution est :
V1 = -7.33 V
V2 = -5.33 V
Exemple
2
v2
v1
_
5
6A
+
v3
10 V
4
10 
Contrainte sur le
V2 – V3 = -10
super noeud :
À v1 :
V1  V2 V1  V3

6
5
2
Au super
Noeud : V2  V1  V2  V3  V3  V1  0
5
Ce qui donne :
7V1 – 2V2 – 5V3 = 60
-14V1 + 9V2 + 12V3 = 0
V2 – V3 = -10
4
Et la solution est :
V1 = 30 V,
V2 = 14.29 V,
V3 = 24.29 V
10
2
Circuits avec sources dépendantes
2
_
v1
10 
10 V
+
_
• Il faut exprimer les
tensions des sources
en termes de vi
Vx +


2A
v2
4
5
Ce qui donne :
5Vx
Vx  V2  V1
À v1 :
V1  10 V1 V1  V2


2
10
5
2
V2  V1 V2  5Vx
À v2 :

 2
2
4
8V1  5V2  30
La solution est :
 7V1  8V2   8
V1  6.9V ,
V2  5.03V
Méthode des mailles
Méthodes de mailles
Principe :
1. Ignorer la maille qui a le plus de branches communes
avec les autres et attribuer un courant à chacune des
N-1 mailles restantes
2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les tensions à chacune
des mailles et exprimer les tensions en fonction des
courants dans les mailles
3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour
trouver les tensions Ii
On peut alors déterminer toute tension dans le circuit à
partir des tensions Ii
Illustration
R1
+
VA
V1
_
+
V2
_
+
+
_
R2
I1
VL1
_
Rx
+
I2
_
VB
On a pour la maille 1 : V1+VL1=VA,
avec
V1=R1I1 et VL1=Rx(I1-I2)
On en déduit : (R1+Rx)I1-RxI2=VA
Pour la maille 2, on aurait obtenu : –RxI1+(R2+Rx)I2 = -VB
Note : on suppose que les courants vont dans le sens
horaire, sauf indication contraire
Illustration
R1
+
VA
V1
_
+
V2
_
+
+
_
R2
I1
VL1
_
Rx
+
I2
_
VB
• On peut écrire les équation précédente sous forme
matricielle et les résoudre :
• ou
 R X   I1   V A 
( R1  RX )

 R




(
R

R
I

V
X
X
2  2 

 B
1
 RX   VA 
 I1  ( R1  RX )
I     R
  V 
(
R

R
X
X
2 
B
 2 
Exemple
4
10V
+
_
2
7
6
I1
2V +_
I2
_
+
20V
Maille 1 : 4I1 + 6(I1 – I2) = 10 - 2
Maille 2 :
6(I2 – I1) + 2I2 + 7I2 = 2 + 20
Par conséquent :
10I1 – 6I2 = 8
-6I1 + 15I2 = 22
» % A MATLAB Solution
» R = [10 -6;-6 15];
» V = [8;22];
» I = inv(R)*V
I=
2.2105
2.3509
Exemple
9
12V
_
_+
Maille 1:
+
10 
I3
6
20V
6I1 + 10(I1 – I3) + 4(I1 – I2) = 20 + 10
8V
+ _
11 
Maille 2:
4(I2 – I1) + 11(I2 – I3) + 3I2 = - 10 - 8
4
+
__
I1
_
+
10V
Forme standard
20I1 – 4I2 – 10I3 = 30
-4I1 + 18I2 – 11I3 = -18
-10I1 – 11I2 + 30I3 = 20
I2
3
Maille 3:
9I3 + 11(I3 – I2) + 10(I3 – I1) = 12 + 8
Forme matricielle
 20  4  10  I 1 
 30 
  4 18  11  I     18

 2 


  10  11 30   I 3 
 20 
Noter la régularité du processus de détermination des coefficients!
Exemple
20 
30 
I1
I2
+
_
8
_
10 
20V +_
12 
+ 15V
10V
10 
On a par inspection :
 30  10 0   I 1  10
  10 50  10  I    25

 2   
 0
 10 30   I 3  15
I3
_
+ 30V
Circuits avec sources de courant
20V
_ +
2
I3
10 
10V +_
I1
5
20 
I2
4A
15 
• Réduisent le nombre des
courants inconnus
• La source est
directement reliée à un
ou plusieurs courants de
maille
• Dans l’exemple, on a I2 = -4 A et seuls I1 et I3 sont à
déterminer
I = -0.667 A
1
Maille 1 : 10I1 + (I1-I2)5 = 10
Maille 2 : 2I3 + (I3-I2)20 = 20
I2 = - 4 A
I3 = - 2.73 A

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