Chapitre2 Le Codage

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Le codage
Exercice 2.1
 Imaginons un ordinateur doté d’une mémoire de 4 bits
 Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire ?
 16 états possibles
 Quels sont ces états ?
0000
0100
1000
1100
0001
0101
1001
1101
0010
0110
1010
1110
0011
0111
1011
1111
L’arc-en-ciel
 Quel est le nombre de couleurs de l’arc en ciel ?
 Réponse 7
 Quelles sont les couleurs visibles de l’arc en ciel ?
 Rouge
Bleu
Orange
Indigo
Jaune
Violet
Vert
Exercice 2.2
 On veut représenter chacune des sept couleurs de
l’arc-en-ciel par un mot, les sept mots devront être
distincts et de même longueur.
 Quelle est la longueur minimale de ces mots ?
 La longueur minimale doit correspondre au nombre
de lettres du nom de couleur le plus long
 Il s’agit de Orange, Indigo et violet, soient six lettres (6)
Exercice 2.3
 En France, comme dans d’autre pays de l’UE, le
numéro de la plaque minéralogique est de la forme :
LL CCC LL (où L est une lettre et C un chiffre)
 Combien de véhicules ce système
permet-il d’immatriculer ?
 Et si le système n’utilisait pas
les lettres I, O et U?
(risque de confusion avec le 1, 0 et V)
Représentation des entiers naturels
 Notation décimale à position
45083 = 4x104 + 5x103 + 0x102 + 8x101 + 3x100
 10 est appelé la base
 La lecture se fait de droite à gauche
 Notation binaire à position
101010 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 +0x20
 (101010)2 = (42)10
 Les mêmes remarques que pour le décimal
Exercice 2.4
 Un horloger excentrique a eu l’idée de fabriquer une
montre sur laquelle l’heure est indiquée par 10 diodes
électroluminescentes appelées 1 h, 2 h, 4 h, 8 h, 1 min,
2 min, 4 min, 8 min, 16 min et 32 min. Pour connaître
l’heure, il suffit d’additionner les valeurs des diodes
allumées.
 Quelle heure est-il quand sont allumées les diodes
1 h, 2 h, 4 h, 1 min, 2 min, 8 min, 16 min, et 32 min ?
 Quelles sont les diodes allumées à 5 heures 55 minutes ?
La base cinq
 Pour écrire un nombre en base 10, on a besoin de
10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
La base 10 se note 10 dans la base 10
 Pour écrire un nombre en base 2, on a besoin de deux
chiffres : 0 et 1
La base 2 se note 10 dans la base 2
 Pour écrire un nombre en base 5, on a besoin de
5 chiffres : 0, 1, 2, 3 et 4
La base 5 se note 10 dans la base 5
Étonnant non !
Pas si étonnant que ça
 Car une base b quelconque est toujours égale à
1xb1 + 0xb0
10
Exercice 2.5
 Trouver la représentation de 47 en base 5
 47 = 9 x 5 + 2 = (1 x 5 + 4) x 5 + 2 = (1 x 52) + (4 x 51) + (2 x 50)
(47)10 = (142)5
Sens de lecture des restes
Exercice 2.6
 Traduire 944 en base 5
(944)10 = (12234)5
Conversion « inverse »
 Étant donné le nombre (401302)5
 Quelle est sa valeur en base 10 ?
 Calcul :
4x55
+
4x3125 +
12500
+
0x54
+
1x53
+
3x52
+
0x51
+
2x50
0x625
+
1x125
+
3x25
+
0x5
+
2x1
0
+
125
+
75
+
0
+
2
(12702)10
Exercice 2.7
 Trouver la représentation en base 10 des nombres
(2341)5 et (400)5
 (2341)5 = 2x53 + 3x52 + 4x51 + 1x50 = (346)10
 (400)5 = 4x52 + 0x51 + 0x50 = (100)10
Le binaire
Introduction




Quels sont les chiffres utilisés pour la base deux ?
0 et 1
Quel est le principe de numération en base deux ?
Le même que celui de la base dix
 Rappel : Les puissances de 10 de droite à gauche
105
104
103
102
101
100
100000
10000
1000 100 10
1
 Pour le binaire c’est le même principe
28 27
256 128
26
64
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
Exercice 2.8
 Trouver la représentation en base deux du nombre (11)10
(1 1)10 = (1 0 1 1)2
Exercice 2.9
 Trouver la représentation en base 2 des nombres :
1, 3, 7, 15, 31, 63
 (1)10 = (1)2
(3)10 = (11)2
(7)10 = (111)2
(15)10 = (1111)2
(31)10 = (11111)2
(63)10 = (111111)2
 Expliquer les résultats obtenus
 Chacun de ces nombres est égal à la somme des n
premières puissances de 2 (n=0, 1, 2, 3, 4 et 5)
La base 16
 Appelée hexadécimal
 Les chiffres de l’hexadécimal sont :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F
 Les mêmes règles de conversion
Tout base
Exercice 2.10
 Trouver la représentation en base deux du
nombre (1000)10
 Trouver la représentation en base 10 du
nombre (11111111)2
 Trouver mentalement les nombres décimaux
correspondant aux nombres binaires suivants :
10010110 10000001
11000000
11110000
 Multiplication par la base
 Pour multiplier un nombre décimal par 10, on ajoute un
zéro à droite
 Exprimer 3, 6, 12 et 24 en base 2  conclure
Recherche sur internet
 L’arithmétique des Shadoks
 Trouver sur internet le fonctionnement
de l’arithmétique des shadoks
 Quel est la base utilisée ?
 Quels sont les chiffres de cette base ?
 Trouver sur le web une calculatrice binaire,
hexadécimal

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