« Un enseignement efficace des nombres décimaux?"

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« Un enseignement efficace des
nombres décimaux?"
Laetitia Desmet
Julie Fanuel
Philippe Skilbecq
Enseigner, verbe transitif : Apprendre, montrer à qqn.
 L'apprentissage des nombres décimaux par les
élèves
 Pourquoi cet apprentissage est-il difficile?
 Quels sont les obstacles rencontrés lors de cet
apprentissage?
 Comment enseigner au mieux les nombres
décimaux?
Évaluations externes non-certificatives
 (2004) auprès de 1838 élèves provenant de 79
classes de 2e secondaire commune en Communauté
française
70,6% RC
Lors d’un apprentissage…
les connaissances existantes sont mobilisées (perspective
constructiviste)
 Les apprentissages mathématiques peuvent être
considérés de façon hiérarchique (Aunola & al., 2004;
Hecht & Vagi, 2010; Jordan & al., 2009; Moeller & al. ,2011),
l’apprentissage de concepts élémentaires servant
de fondation à l’acquisition de concepts plus
complexes.
 Certaines connaissances antérieures peuvent être
un obstacle au nouvel apprentissage
 Bachelard (1938) « on connaît contre une connaissance
antérieure, en détruisant des connaissances mal faites »
 obstacle épistémologique
 Fischbein (1971, 1987) : des intuitions mathématiques qui
peuvent interférer avec les connaissances à acquérir
 Brousseau (1998)
 obstacle épistémologique
 obstacle didactique
 Vosniadou , Vamvakoussi (2007) une réorganisation des
connaissances, lente et graduelle, comportant des
conceptions intermédiaires (modèles synthétiques).
Dans l’apprentissage des sciences
 Conceptions de la terre :
 Conceptions initiales : la terre est plate.
 Modèle scientifique admis: la terre est un objet
astronomique, une « sphère » entourée par l’espace.
 Modèles synthétiques :
tentatives de réconciliation
entre les conceptions initiales
et modèle enseigné.
 Tentatives « personnelles » et
en même temps, certaines
constantes…
Des naturels aux rationnels…
4
23
145
0,23
0,201 0,190000
Réorganisation des connaissances / Généralisation

2<4
alors que
½>¼

1450 > 145
alors que
0,20 = 0,2

« rien » entre 2 et 3
alors que
2,1

23 + 5 = 28
alors que
0,23 + 0,5 = 0,73
2,157869…
Quelles conceptions des nombres décimaux ?
Comment évoluent-elles?
 Une tâche de comparaison de deux décimaux
proposée à des élèves de la 3ème primaire à la 6ème primaire
 Des paires de décimaux de différents types, certains n’allant pas « à
l’encontre des naturels », d’autres bien
(Desmet, Grégoire, Mussolin, 2010)
Différents types des paires
Par rapport aux naturels :
Longueur
Valeur
Zéro
0,1
0,2
N
C
/
0,20
0,1
C
C
D, rend + grand ?
0,09
0,9
I
N
G, pas d’impact ?
0,6
0,03
I
C
G
0,3
0,06
I
I
G
0,6
0,30
0,30
?
/
D
0,3
I
/
D
Analyses clustering
Y a-t-il des élèves répondant de façon similaire pour
les différents types de paires ?
→ 5 clusters ou profils d’élèves
 “Naturel” : la partie décimale est traitée comme si elle était
un nombre naturel (sans les valeurs de position).
0.1 – 0.20
0.1 = 0.01
0.2 – 0.01
0.1 – 0.02
0.2 – 0.10
0.1- 0.10
 “Longueur ” : seule la longueur est prise en compte.
0.1 – 0.20
0.1 – 0.01
0.2 – 0.01
0.1 – 0.02
0.2 – 0.10
0.1- 0.10
 “Presque expert” : difficulté pour zéro en fin de partie décimale
0.1 – 0.20
0.1 – 0.01
0.2 – 0.01
0.1 – 0.02
0.2 – 0.10
0.1- 0.10
0.1 – 0.01
0.2 – 0.01
0.1 – 0.02
0.2 – 0.10
0.1=0.10
 “Expert”
0.1 – 0.20
 “Hesitant” : majorité de réponses correctes, mais des erreurs
dispersées dans les différentes catégories
Fréquence des profils par année
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
95
72
64

Longueur
48
Hésitant
30
27
1
8
3ème

Naturel
16
0
3
4ème
3
5 3
13
Presque expert
7
5ème
0 0
5
0
Expert
6ème
Il y a bien des conceptions initiales, une « implication » des
connaissances antérieures basées sur les nombres naturels
Pas de tout ou rien. Il y a bien des stades intermédiaires, une
réorganisation progressive des connaissances
Connaître le profil d’un élève ?
 Intérêt pour la didactique, la pédagogie différenciée, la
remédiation…
 Mais,
http://www.crem.be/index.php/Decival
Conceptions qui « interfèrent »
 Conceptions issues des connaissances des nombres
naturels, tendance à considérer la partie décimale
comme un nombre naturel :
 Par exemple,
0.02 > 0.1 parce que 2 > 1
ou parce que plus de chiffres…
 Observées chez les élèves les plus jeunes, avant
l’enseignement et au début de l’apprentissage (3ème,
4ème, (5ème))
 Chez les élèves un peu plus âgés, lorsque
l’enseignement a débuté (4ème, 5ème)…
Antoine, élève de 6è primaire
 Exp. : Comment sais-tu que 0,2 est plus grand que 0,10 ?
 Antoine : Là c’est zéro virgule deux centièmes et ça c’est
dixième, ‘fin zéro virgule deux dixièmes, c’est plus grand.
 Exp. : Certains élèves m’ont dit que 0,10 c’est plus grand que
0,2 parce que 10 est plus grand que 2. Pourquoi ne peut-on
pas se dire ça ?
 Antoine : Ben, parce que ça c’est en centième et ça c’est en
dixième.
 Exp. : Et ici (0,3 vs 0,40) ?
 Antoine : C’est comme le premier, c’est zéro virgule quarante
centième et là c’est zéro virgule trois dixièmes, ‘fin c’est plus
grand. Parce que il y a dixième, centième et millième. Dixième
c’est plus grand, puis c’est centième, puis millième. Donc celuilà (0,3) c’est plus grand.
 Utilisation du transcodage et des connaissances des
fractions, mais raisonnement limité au dénominateur
sans tenir compte du numérateur
1. Exp. : Pourquoi est-ce que un sixième est
plus grand (que un tiers) ?
Antoine : Parce que six c’est plus grand que
trois.
2. Antoine : Parce que là c’est trente
centièmes, c’est comme l’autre (les
décimaux) je trouve que c’est plus petit..
3. Antoine : Par exemple, on a quelque
chose coupé en 4, on prend deux là, et là on
prend carrément toute la moitié. Donc c’est
½ le plus grand.
Exp. : Peux-tu me dessiner cela ?
Antoine : (très rapidement) Ah non, c’est
égal…
4. Antoine : C’est comme là (2), c’est des
centièmes et là c’est des dixièmes, ça passe
avant, c’est plus grand que les centièmes
avec l’abaque.
Exp. : Finalement, tu regardes le nombre
du dessous uniquement…
Antoine : Oui, mais ça dépend, si c’est tous
les deux des dixièmes, on regarde un peu
celui du dessus.
 Implication des connaissances des fractions (et du
transcodage), mais raisonnement imparfait limité au
dénominateur sans tenir compte du numérateur.
 Lors de l’apprentissage des nombres décimaux,
une influence des connaissances des nombres naturels,
plus tard des fractions,
un processus lent et graduel,
des conceptions erronées, des tentatives de
réconciliation des connaissances initiales et des
nouvelles connaissances…
notion d’obstacle épistémologique
Entre hiérarchie et obstacle?
 Faut-il choisir entre l’idée que les connaissances sont
hiérarchiques (que des concepts simples servent de
base à des concepts plus complexes)
et l’idée que la progression vers les concepts plus
complexes comporte des obstacles?
Étude longitudinale
Temps 1
Temps 2
Temps 3
Enseignement des décimaux
• Système décimal
• Fraction
• Décimaux
• Décimaux
• Décimaux
> La compréhension des fractions et/ou du système décimal
de position prédit-elle l’apprentissage des nombres
décimaux ?
Régressions linéaires…
8
7
Variable Y
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Variable X
La variable X est un prédicteur
significatif de la variable Y.
8
La compréhension
du système décimal,
des fractions,
les conceptions initiales des
nombres décimaux,
sont des prédicteurs de
l’apprentissage des nombres
décimaux.
Régressions multiples
Apprentissage des nombres décimaux
 Des conceptions erronées issues des connaissances
initiales (des nombres naturels ou des fractions)
 Notion d’obstacle épistémologique (par exemple,
du successeur unique à la densité)
 Importance d’une compréhension du système
décimal
 Distinguer connaissances approfondies de « trucs et
astuces superficiels »
 1 vs. 10 / 0.1 vs. 0.10
 « rend dix fois plus grand » / « marque un rang vide »
Comment enseigner les nombres décimaux?
 Connaître et tenir compte des conceptions initiales
des élèves (constructivisme)
 Retravailler/approfondir le système décimal.
 Créer un conflit cognitif pour susciter un changement
conceptuel ?
 Un usage intensif met trop l’accent sur les connaissances
initiales inappropriées (Smith & al. 1993)
 Les élèves peuvent ignorer ou rejeter les infos
contradictoires avec leurs conceptions initiales (Chinn &
Brewer, 1998) ou avoir une réaction affective négative face
au conflit (Dreyfus et al., 1990; Stavy & Berkovitz, 1991)
 Il est donc important de recourir aux ressources
conceptuelles dont les élèves disposent (Stavy &
Berkovitz, 1991)
 L’idéal est de combiner les deux approches (conflit
et recours) , de tenir compte des conceptions
erronées mais construire sur les conceptions
initiales pertinentes (di Sessa, 1988; Clement & al., 1989).
Morgane, élève de 5è primaire
 0,3 + 0,64
Morgane : Je fais 64 + 3, ça fait 67 et je marque 0,67.
 0,6 + 0,9
Morgane : Ça fait 15, donc je fais 1,5.
Exp. : Pourquoi ce n'est pas 0,15 ? Certains élèves m'ont déjà
répondu ça.
Morgane : Euh, parce que… (long silence)
Exp. : Tu sais pourquoi ?
Morgane : Non.
 0,08 + 0,01
 Morgane : Je fais 8 + 1, ça fait 9 et je rajoute les deux zéros
(réponse correcte donnée : 0,09).
 6 + 0,2
 Morgane : Je fais 6 + 2, ça fait 8 et je rajoute le zéro ici
(réponse donnée : 0,8).
 Procédure : addition à partir de la droite, ajout du zéro
ensuite.
 Re-médiation basée sur la liaison des connaissances
conceptuelles et procédurales pour les naturels et
l’utilisation d’une calculatrice.
Enseigner les décimaux
 Tenir compte des connaissances initiales, aider les
élèves à les réorganiser (conflit cognitif, mais pas
seulement)
 Importance d’une connaissance approfondie du
système décimal
 Des obstacles didactiques ? (Brousseau)
 Des situations didactiques qui ne permettent pas la construction
de conceptions adéquates
 Certaines situations pourraient favoriser l’idée qu’un nombre décimal est
un couple d’entier (N,N)
0.52 vs. 0.3
0.25 vs. 0.1
0.4 vs. 0.67
0.2 vs. 0.14
0.2 + 0.45
0.12 + 0.6
0.78 + 0.1
0.2 + 0.457
Utiliser l’euro?
 Il existe des pièces représentant des parties inférieures à
l’unité (cents) 
 Mais il n’y a pas de pièces au-delà du centième 
 10 centièmes (10 cents) et pas un dixième 
•
Utiliser la monnaie pour l’enseignement des nombres
décimaux est proposé dans la littérature (Bonotto, 2005;
Carraher & Schliemann, 1988 ; Irwin, 2001)
•
Monnaie « didactique » commercialisée
•
Monnaie présente dans certains manuels
scolaires
1,2 vs. 1,10
1,2 € vs. 1,10 €
Comparaison
 Une erreur fréquente lors de l’addition :
1,5 + 2,7 = 3,12
1 € 5 + 2 € 7 = 3 € 12
Une séquence didactique expérimentée
par le CREM…
 http://www.enseignement.be
 http://www.crem.be/index.php/Recherches/decimaux
 P. Skilbecq, J. Fanuel
 Situation problème
 Éviter tant que faire se peut les obstacles
didactiques
 L’euro ne constitue pas une aide pour la comparaison
de décimaux, voire est un obstacle pour certains nombres
et pour les élèves plus âgés.
 L’euro renforce la conception N,N. Par exemple, Utilisé
intensivement et/ou isolément il constituer un obstacle
didactique.
 Par contre, l’euro semble aider à concevoir qu’il y ait
des nombres entre deux naturels,
mais il devient un obstacle pour aller au-delà des
centièmes et pour les élèves plus âgés.
Utiliser les mesures?
 Des nombres dont la partie décimale ne contient
que 1 ou 2 chiffres (e.a., €)
 1 € 25
N,N
 entre 1,1 et 1,3 il n’y a que 1,2 (successeur unique)
 Dans le contexte de la mesure, mais sans unité
conventionnelle
 1,25 m
1 m 25 cm
N,N
(Brousseau)
En 4è primaire…
 [Enseignant] « Pourriez-vous mettre votre crayon ou votre





doigt sur la latte où on a 2,82 ? »
[Les élèves] « Oui »
[Enseignant] « C’est quoi 2,82 cm ? »
[Un élève] « C’est 2 cm et 8 mm. »
[Certains élèves] « Le dernier 2, on ne sait pas le mettre. »
[Martin] « J’y arrive parce que c’est 82 mm et que 82 mm, ça
fait 8 cm et 2 mm. »
N cm ,N mm
 [Un élève] « Donc pour toi, c’est 10,2. »
 [Martin] « Oui. »
 [Enseignant] « Pour toi, 2,82 cm c’est la même chose que 10,2 ?»
 [Martin] « Oui. »
 [Enseignant] « Donc, quand je trace une ligne de 2,82 cm,




c’est la même chose que si je traçais une ligne de 10,2 cm ? »
[Les élèves] « Non. »
[Enseignant] « Pourquoi vous n’êtes pas d’accord ? »
[Un élève] « Parce que 2,82 c’est 2,82. Ce n’est pas 10,2. Ça ne
peut pas être autre chose. »
[Un autre élève] « Moi, je dis qu’on ne sait pas écrire le 2. C’est
comme les euros, il y en a après la virgule mais on ne sait pas
payer. »
 [Martin] « Si, parce que 2,82, c’est 82 mm et ça fait 8,2 cm et si
je le mets avec le 2, ça nous donne 10,2. »
côté
1
2
3
4
…
aire
1
4
9
16
…
Un carré
d’aire 8 ?
La longueur du côté de ce carré d’aire 8 ?
côté
aire
2<x<3:
1
2
3
4
1x1
2x2
3x3
4x4
1
4
9
16
2 ½  2,5
2,5 x 2,5 = 6,25
2,8 x 2,8 = 7,84
2,9 x 2,9 = 8,41
2,8 < x < 2,9 :
2,81 x 2,81 = 7,8961
2,82 x 2,82 = 7,9524
2,83 x 2,83 = 8,0089
2,82 < x < 2,83
:
2,828 x 2,828 = 7,997584
2,829 x 2,829 = 8,003241
…
…
Comparaison

?
 reste l’obstacle épistémologique
 Mais cette séquence didactique évite des obstacles
didactiques,
 présente d’emblée une propriété majeure des nombres
décimaux : la densité
 s’ancre sur un approfondissement du système décimal
 contient un conflit cognitif (les naturels ne suffisent pas) et
peut être travaillée avec les élèves en distinguant avec eux
les connaissances sur lesquelles ils peuvent se baser de
celles qui doivent être modifiées…

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