Modos

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ACÚSTICA
ARQUITECTÓNICA
complementos
formativos
MASTER otoño 2014
1
ACÚSTICA ARQUITECTÓNICA
calendario otoño 2014
T E O R I A
T E O R I A
LABORATORIO
12 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30
Tres teorías de Acústica en
recintos. Modos 1D, 2D, 3D
17 NOV LUNES 15.30 – 17.30
Densidad modal. Damping.
Frecuencia de Schroeder
19 NOV MIÉRC 15.30 – 17.30
Cálculo del campo acústico en
recintos. ENTREGA 1
19 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30
24 NOV LUNES 15.30 – 17.30
Campo difuso. Fórmula de Sabine
26 NOV MIÉRC 15.30 – 17.30
Difusión de sonido.
26 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30
1 DIC LUNES 15.30 – 17.30
Modelos de reverberación
3 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30
Resolución de problemas
3 DIC MIÉRC 17.30 – 19.30
8 DIC
10 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30
Teoría de rayos. Fuentes
imaginarias. ENTREGA
10 DIC MIÉRC 17.30 – 19.30
FIESTA
15 DIC LUNES 15.30 – 17.30
Ecogramas
ENTREGA 2:
17 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30
Superficies curvas. ENTREGA 2
9 de enero de 2015
MODOS PROPIOS DE UN
RECINTO. PARTE 1
MODOS PROPIOS DE UN
RECINTO. PARTE 2
MEDIDA DE TIEMPO DE
REVERBER. CON SPLAB
MEDIDA DE TIEMPO DE
1 REVERBER. CON 01DB
17 DIC
ECOGRAMAS
profesor:
Vladímir Úlin
e-mail: [email protected] desp. 8103 tel. 91 336 55 03
Tutorías: 6 horas semanales
(avisar previamente por correo)
Página web:
http://www.etsist.upm.es/info_pers/info_pers_pers?idTrabajador=e0d9
7a95d33ca3db8e8e4d81adbca986&departamento=TSC
3
BIBLIOGRAFÍA
1. KUTTRUFF H., Acoustics, Spon Press, 2007
2. KUTTRUFF H., Room Acoustics , Spon Press, 2009
3. JACOBSEN F., otros, Fundamentals of Acoustics and Noise Control,
Technical University of Denmark, 2011 (*)
4. KINSLER L., otros, Fundamentals of Acoustics, John Wiley, 2000
5. CREMER, L., MULLER, H., Principles and Applications of Room Acoustics,
Applied Science Publishers, 1982
6. ALTON EVEREST F., The Master Handbook of Acoustics,
McGraw‐Hill, 2001
7. VIGRAN T.E., Building Acoustics, Taylor & Francis, 2008
8. CARRIÓN ISBERT A., , Diseño acústico de espacios arquitectónicos,
Edicions UPC, 1998
9. RECUERO M., GIL C., Acústica Arquitectónica. Distribuido por Paraninfo.
Madrid 1992
4
MI WEB
5
KUTTRUFF SOBRE AA
Como en general en Arquitectura, en el diseño de una sala intervienen dos principios: el
arte y la técnica. Cada arquitecto trata de crear algo nuevo y original. Con el tiempo
evolucionan mucho tanto las formas y estilos arquitectónicos, como la tecnología y
materiales de construcción.
Por tanto no siempre es posible utilizar la experiencia anterior y un consultante acústico
se enfrenta frecuentemente con los problemas nuevos. Para resolverlos es inevitable
recurrir a los principios físicos y desarrollos matemáticos. No es posible diseñar y
construir a base de las soluciones del pasado.
En general el diseño acústico de un recinto de grandes dimensiones es muy complicado.
Muchos factores influyentes todavía no están suficientemente estudiados. Hasta ahora no
es posible calcular el campo acústico dentro de una sala con mucha precisión. Son
inevitables unas simplificaciones y aproximaciones.
Además la relación entre las características objetivas del campo acústico, medibles y
calculables, y la impresión auditiva de los oyentes no es perfectamente determinada.
Tampoco es sencillo promediar la impresión auditiva de muchas personas. Por otra parte,
la valoración de la calidad acústica de un recinto finalmente es subjetiva. Y es más
importante que cualquier medida objetiva.
6
El espectro de sonido dentro de un recinto podemos dividir en 4 zonas:
A, B, C y D con tres frecuencias destacadas:
20 Hz
A
20 KHz
B
F1
D
C
F2
F3
F1= frecuencia de corte = c/2L_max, por debajo de F1 no hay modos.
F2= frecuencia de Schroeder , los modos se separan tan poco entre si
que “se funden”
F3= 4F2 , rayos se hacen suficientemente finos
………………………………………………………………………
A + B < F2
TEORÍA ONDULATORIA
En recintos grandes la zona A se queda por debajo del áudio (20 Hz)
C entre F2 y F3 es la zona “transitória”, donde la frecuencia es demasiado
baja para la teoría geométrica y demasiado alta para teoría ondulatoria (vale
para cualquier frecuencia, pero sumando modos es inabordable, mallas son
enormes)  TEORÍA ESTADÍSTICA
D
> F3
TEORÍAS ESTADÍSTICA Y GEOMÉTRICA
7
TEORÍA ONDULATORIA
La TEORIA ONDULATORIA se basa en la ecuación de
onda que describe con detalle el comportamiento de
fluido. Es válida para cualquier frecuencia y permite
obtener todos los parámetros del campo acústico.
ES LA TEORÍA MÁS PRÓXIMA A LA REALIDAD. Por tanto es
imprescindible para entender los fenómenos acústicos
dentro de un recinto.
INCONVENIENTES:
1) La solución exacta en la TEORIA ONDULATORIA es
posible sólo para un recinto con la geometría muy simple.
2) Métodos numéricos : no se pueden aplicar en recintos
grandes para audiofrecuencias : f = 1 kHz  λ=34 cm 
número total de elementos y nodos se hace enorme.
3) La cantidad de los modos propios en muchos casos
prácticos se hace inabordable.
8
TEORÍA ONDULATORIA
caso 1 D
Cálculo del modo propio de un tubo “abierto – cerrado”
por el programa SYSNOISE
C:\Sysnoise\trabajo\anim_modos_recinto\*2.sdb
9
Onda estacionaria para un tono puro, un tercio y una octava
Fichero REFLEX_TERCIO.cmd
f_centr = 1 kHz refl=0.5
(en dB)
dist 0 – 1m
10
Distribución espacial de la
presión acústica en un
modo propio (1D) para tres
tipos de la impedancia de
las paredes:
a) infinita
b) reactiva pura (masa)
c) real (pared absorbente)
Kuttruff, Room Acoustics,
Fig.3.5
11
caso 2 D
12
Ver el fichero
“MODOS_MEBRANAS_PLACAS”
Acústica_CF
transparencias
26, 30, 32, 33, 35,37,38
(membranas circulares)
13
MODO 1
8.12 Hz
14
MODO 17
97.29 Hz
15
Can One Hear the Shape of a Drum?
Figuras isoespectrales
16
MODOS
DE UN RECINTO
17
CASO 3D
ecuación de onda
 2p
 2p  2p  2p 
2
 c  2  2  2 
2
t
y
z 
 x
p
0
x
en las paredes:
(ver la página siguiente)
En un recinto rectangular y con las paredes rígidas los modos propios son:
p0 (x, y, z)  Cm,n, q
 m x
 ny 
 qy 
cos
 cos
 cos

 A 
 B 
 C 
2
fm,n, q
C
A
B
2
c  m  n   q 

     
2  A  B  C
m, n, q  0,1,2,3,....
2
m2  n2  q2  0
18
ξ
Segunda ley de Newton
para un elemento de fluido
p
ξ+Δξ
p+Δp
 2
 x S 2   p S
t
Por tanto (ecuación de Euler):
v
p


t
x
En el caso armónico (una sola frecuencia)
j  v  
p
x
Cuando las paredes son absolutamente
rígidas, las condiciones frontera son:
v0

p
0
x
19
1.4 m
1.65 m
0.95 m
20
Frecuencias calculadas teoricamente
A= 1.65
B= 1.4
C=0.95
velocidad del sonido 340 m/s
f (1, 0, 0) = 103´03
f (2, 0, 0) = 206´06
f (0, 1, 0) = 121´43
f (0, 2, 0) = 242´86
f (0, 0, 1) = 178´95
f (0, 0, 2) = 357´89
f (1, 1, 0) = 159´25
f (2, 2, 0) = 318´50
f (1, 0, 1) = 206´49
f (2, 0, 2) = 412´98
f (0, 1, 1) = 216´26
f (0, 2, 2) = 432´51
f (1, 1, 1) = 239´55
f (2, 2, 2) = 479´09
f (2, 1, 1) = 298´71
f (3, 1, 1) = 377´23
21
http://www.hunecke.de/en/calculators/room-eigenmodes.html
22
23
MODO
2·1·0
24
Modos axiales: MAS IMPORTANTES
se forman por dos ondas – una pareja de ondas progresivas
enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o Z
Modos tangenciales :
se forman por cuatro ondas – dos parejas de ondas progresivas
enfrentadas, que se propagan en uno de las planos XOY, XOZ o YOZ
Modos oblicuos :
se forman por seis ondas – tres parejas de ondas progresivas
enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o Z
axial
(m, 0, 0)
tangencial
(m, n, 0)
oblicuo
(m, n, q)
La caída de los modos axiales, tangenciales y oblicuos se produce a
diferentes velocidades (oblicuos a máxima velocidad por reflexiones
más numerosas).
25
Mapas sonoros de las superficies de un recinto rectangular para
sus primeros modos propios.
Color azul indica los planos nodales de la presión acústica
SYSNOISE
Z
X
Y
100
200
010
210
110
111
26
27
28
www.signal.uu.se/Courses/CourseDirs/AdaptSignTF/Acoustics.pdf
29
Proporciones óptimas entre las dimensiones de un
recinto rectangular
Artículo de Trevor Cox
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=
10.1.1.135.9872&rep=rep1&type=pdf
30
Modos propios de
los recintos
rectangulares
cuya altura es de 10
pies = 3.048 m.
otras dos
dimensiones están
de acuerdo con la
tabla de la
transparencia
anterior
Hz
31
32
DENSIDAD MODAL
33
2
K – espacio
Cada “nodo” de la
rejilla es un modo.
Le corresponde su
celda (por encima
de él a su derecha,
si no contamos
con los nodos en
los ejes).
Area de
una celda
fm,n
ky
c  m  n 

   
2  A  B
2
2
k m,n


B

A
kx  ky
2
k
2
2f
c
f
2

AB
Número N de los
modos por debajo
de “k” = número
de los nodos en el
primer cuadrante
dentro del círculo
con el radio k 
2
 m   n 
 
 
 
 A   B 
f
k3,1
kx
 k2
N 4
2
AB

2
2
ABk
f
  AB 2
4
c
dens 
N
f
 2 A B 2
f
c
34
kz
“K – espacio”
1 “nodo” de
la rejilla =
1 Modo =
1 volumen
elemental
ky
3
A BC
k1,3,2
π/C
π/B
kx
π/A
Modos axiales
tangenciales
oblicuos
2
2
 m   n   q 
k m,n, q  
   

A
B
C

   

2
35
100
100
Número de modos por
cada banda de 50 hz
80
A=1.65 m
B=1.4 m
C=0.95 m
60
H
jj
d b w
jj
40
VOL= ABC
SUP=2(AB+AC+BC)
LONG= 4(A+B+C)
20
0
0
0
0
5
10
15
20
jj
25
30
35
40
40
4
f3 
f 2 LONG·f
N f  
VOL 3  SUP 2 
3
c 4
c
8c
f2 
f LONG
densf   4 VOL 3  SUP 2 
c 2
c
8c
Modos:
oblicuos
dens1000  0.7
tangenciales axiales
37
Example (Vigran)
En un recinto con dimensiones 6.2 x 4.1 x 2.5 m ΔN/Δf para 100 Hz
es igual a 0.361. Dentro de un tercio de octava con la frecuencia central 100
Hz tenemos ≈ 0.23⋅100⋅0.361 ≈ 8 modos. El primer término aporta 5 modos.
Subiendo la frecuencia el primer término se hace dominante. Dentro
de la banda de 23 Hz centrada en 1000 Hz tendremos unos 500 modos (el
primer término aporta 470 modos). Dentro de un tercio de octava centrada a
1000 hz tendremos unos 5000 modos.
Respuesta en frecuencia de un recinto rectangular,
8 x 5.6 x 4
m
38
Frecuencia de Schroeder 1/4
3
dB
ANCHO DE
BANDA
39
Frecuencia de Schroeder 2/4
1 GRADO DE LIBERTAD
q
x(t)
  R x  kx  F
mx
R
t
e 

OSCILACIÓN LIBRE:
m
x( t )  x 0 e
x=0
 t
cos  t 

F0ejωt
RESONANCIA 
F
v 
z
Potencia =
= desarrollada por la fuerza
= absorbida por el amortiguador
2m 1

R 
|v|2 ~ potencia
F0
max
q

R2   m   


2
max
2
0
Potencia = max
cuando
= R2
max
2
cuando
= 2R2
Potencia =


 m  1,2  q 

 1,2 

2
t
Δω
f
1 2
es decir, cuando
q

m


 R
1

1
R
2
R  
 excluimos q   2   1  
q
m
 m2 
R
2

R
1
Relación entre las respuestas en
frecuencia y en tiempo
 f2  f1  f 
2m


40
Frecuencia de Schroeder 2/4
N
A partir de la definición de la densidad modal :
 dens f 
f
expresamos la separación en frecuencia entre dos modos :
N
1
 dens f 
N  1  separación f 
f
dens f 
Según criterio de Schroeder,
en el ancho de banda Δfn de un modo entran TRES frecuencias propias:
3c3

fs 
4  V fn
1
3c3 
2
Expresamos Δfn por el tiempo de relajación τ : fn 
 fs 

4V
3
3 c3
fn  3f 

2
dens f 
4  V fs
Pasamos del tiempo de relajación
e

T

τ
2
al tiempo de reverberación T:
T
1
 1000   ln 1000 

Finalmente la Frecuencia de Schroeder es:
T  3 ·ln 10·  6.91 
fs 
6.91

3·3403 T
 2000
4· 6.91· V
T
V
41
Frecuencia de Schroeder 4/4
En las salas relativamente grandes estamos por encima de la “frecuencia de
Schroeder” fs . Por ejemplo, un aula universitario, volumen = 10·10·3 = 300 m3, TR =
1 s, la “frecuencia de Schroeder” fs es relativamente baja:
fS  2000
T
1
 2000
 115 Hz
V
300
Por tanto las frecuencias de interés (por ejemplo, el espectro de la voz se sitúa por
encima de 100 Hz) estarán por encima de la fs. Excitando una frecuencia, “se
despiertan” varios modos a la vez. Estaremos en el espectro continuo donde la
respuesta en frecuencia de la sala es mas plana .
En las salas pequeñas las frecuencias propias son altas ( f ~ c/L ) y la
“frecuencia de Schroeder” fs es relativamente alta. Por tanto parte de las frecuencias de
interés estarán por debajo de la fs, donde serán importantes modos individuales.
La excesiva separación entre los modos en esta parte del espectro debilitará
las frecuencias entre los modos. La no planitud de la respuesta en frecuencia de la sala
puede provocar las coloraciones del sonido (la transparencia siguiente).
CRITERIO DE BONELLO:
El número de los modos propios en un tercio de octava tiene que ser superior o igual
que en el tercio anterior.
42
presión
Recinto
grande
fs
100 Hz
presión
Recinto
pequeño
100 Hz
frec
fs
frec
43
CÁLCULO
DEL CAMPO ACÚSTICO
DENTRO DE UN RECINTO
44
FUNCIÓN DE GREEN =
= solución de la ecuación de onda para una fuente puntual
(P.A.Nelson, S.L:Elloitt, Active Control of Sound)

2
k
2
 G x y    x  y
x = punto de recepción (3D)
y = punto de emisión (3D)
 jk x  y
En campo libre:
e
e  jk r
G x y  

 G y x 
4  x  y 4 r
Entonces para cualquier fuente con la velocidad
volumétrica continua q y  distribuida por el espacio :
p x  
 j  q y G  x y  dV
V
Para un conjunto de monopolos:
e  jkri
p(r )   j q
4 ri
i
45
En un recinto rectangular tenemos modos propios
ecuación de onda sin fuentes:
2
n
que satisfacen la
 2  n x   k n  n x   0
Y también satisfacen las condiciones frontera en las paredes:    0
n
 n x  
 n3  x 3 
 n1  x 1 
 n2  x 2 





n1 n2 n3 cos
cos
cos


 L1 
 L2 
 L3 

V
 m n dV  mn V
1
n  
2
n 0
n 0
Los modos forman un conjunto completo de funciones “ortonormales”
capaz de representar cualquier función como una combinación lineal de
estos modos (igual que la Serie de Fourier). Por tanto podemos suponer que
p x y  

  p x y   0 en las paredes
 b y   x 
n
n
n 0
Sustituyendo

2
p x, y  en la ecuación de onda:

 k 2 p x y     x  y 
y teniendo en cuenta la propiedad de los modos propios obtenemos:



2


b
y
·
k
 k n  n x     x  y 
 n
n 0
2
46
 b y· k

2
n

 k n  n x     x  y 
2
n 0
Multiplicamos ambas partes de esta ecuación por  m x  e integramos por
todo el volumen V con respecto a la variable x.
Por la “ortonormalidad” de los modos propios en la parte izquierda quedará
sólo un sumando con n = m:
2
2

b m y  k  k m
V
Por la la propiedad de la función delta en la parte derecha quedará sólo:
  m y 
Asi obtenemos que:
 m y 
b m y  
2
V km  k2



p x y  


n 0
 n x   n y 
2
V kn  k 2


Si además pasamos de “k” a “ω” y tendremos en cuenta la absorción de
las paredes ( δ = constante de amortiguamiento) finalmente llegamos a la
presión acústica creada por una fuente puntual en un recinto rectangular
con paredes rígidas para cualquier frecuencia
  c 2 q0 
 n x   n y 
px y  

2
2
V
n  0 2 n n  j   n


47
Finalmente el fasor de la presión acústica originada por un monopolo
con un tono puro dentro de un recinto es:
 c2q 0  n x, y, z  n xF , yF , zF 
px, y, z  

2
V
2 n n  j 2  n
n 0


Suponemos que las paredes son absolutamente rígidas y que la
absorción es pequeña.
1
EJEMPLO
Recinto de laboratorio
0 .5
LX=1.65
LY=1.4
LZ=0.95
fuente en (0.1, 0.2, 0.3)
δ = 0.1
5 primeros modos
plano X/Y (Z=0.1)
0
0 .5
1
1
0 .5
0
0 .5
1
M
48
49
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.anim_modos…CAMPO_anim/ Menu_com/Velocidad/min(abajo)/Repro
Cuando termina utilizar control manual
50
T.VIGRAN
Aquí la atenuación está introducida con el tiempo de reverberación T
( en vez de la constante δ ). En el cálculo aportaron 10 primeros modos propios.
50
TR = 1 s
Transformada Fourier de la función de transferencia (transp. anterior)
51

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