08_ttest(3) - Albert-Ludwigs

Report
Der t-Test
Gliederung
• Vergleich der 3 Arten des t-Tests
• Testergebnisse berichten
• Effektstärke
• Teststärke (Power)
08_ttest(3)
1
Vergleich der 3 Arten des t-Tests
unabhängige
Stichproben
abhängige
Stichproben
Eingruppen
t-Test
Fragestellung
Unterscheiden sich
die Mittelwerte von
zwei Gruppen?
Unterscheiden sich
die Mittelwerte zu
zwei Messzeitpunkten?
Unterscheidet sich
der Mittelwert von
einem Vergleichswert?
Voraussetzungen
• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung
• Varianzhomogenität
• Unabhängige
Stichproben
• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung
• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung
• Abhängige
Stichproben
• Eine Zufallsstichprobe
08_ttest(3)
2
Vergleich der 3 Arten des t-Tests
Unabhängige
Stichproben
Abhängige
Stichproben
Eingruppen
t-Test
Ungerichtete
Hypothese
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
H0: μd = 0
H1: μd ≠ 0
H0: μ = c
H1: μ ≠ c
Gerichtete
Hypothese
H0: μ1 ≤ μ2
H1: μ1 > μ2
H0: μd ≤ 0
H1: μd > 0
H0: μ ≤ c
H1: μ > c
08_ttest(3)
3
Vergleich der 3 Arten des t-Tests
Unabhängige
Stichproben
Kennwert des
Tests
Standardfehler
des Kennwerts
t-Wert
Freiheitsgrade
08_ttest(3)
Abhängige
Stichproben
x1  x 2
2
ˆ x
1  x2
t

N1
ˆ 2
1
ˆ x
2

N2
x1  x 2
ˆ x
xc
xd
ˆ 1
x2
df  N 1  N 2  2
ˆ x 
d
t
Eingruppen
t-Test
d
N
xd
ˆ x
ˆ x 
d
df  N  1
t
ˆ x
N
xc
ˆ x
df  N  1
4
Vergleich der 3 Arten des t-Tests
Kritischer tWert hängt ab
von …
Unabhängige
Stichproben
Abhängige
Stichproben
Eingruppen
t-Test
• df
•α
• Art des Tests (1- vs.
2 seitig)
• df
•α
• Art des Tests (1- vs.
2 seitig)
• df
•α
• Art des Tests (1- vs.
2 seitig)
|temp| > tkrit
|temp| > tkrit
H0 wird ver|temp| > tkrit
worfen, wenn …
In SPSS:
• p < .05 (2-seitiger
• p < .05 (2-seitiger
• p < .05 (2-seitiger
H0 wird verTest)
Test)
Test)
worfen, wenn … • p/2 < .05 (1-seitiger • p/2 < .05 (1-seitiger • p/2 < .05 (1-seitiger
Test)
Test)
Test)
08_ttest(3)
5
Testergebnisse berichten
• Beim Bericht von Testergebnissen …
– müssen alle relevanten Informationen vollständig präsentiert werden
– sollten möglichst wenig unnötige Informationen präsentiert werden.
– müssen formale Kriterien eingehalten werden
• Ziele:
– Übersichtliche Darstellung
– Es muss nachvollziehbar sein, was wie gerechnet wurde
• Richtlinien werden von der APA (American Psychological
Association) vorgegeben:
– American Psychological Association (2001). Publication manual of the
American Psychological Association (5th ed.). Washington, DC: American
Psychological Association.
08_ttest(3)
6
Testergebnisse berichten
Aufbau einer psychologischen Arbeit:
• Titelseite
• Zusammenfassung
• 1 Einleitung
• 2 Methode
• 3 Ergebnisse
• 4 Diskussion
• Literatur
• Anhang
08_ttest(3)
7
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Eine Titelseite sollte folgende Informationen enthalten:
• Titel
• Autor
• Datum
• Adresse / email
• Veranstaltung
• Dozent
08_ttest(3)
8
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Zusammenfassung
• Länge 100 – 200 Wörter
• Enthält
– Fragestellung
– Hypothesen
– Ergebnisse
08_ttest(3)
9
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Einleitung
• Herleitung der Fragestellung
• Relevanz der Fragestellung
• Bisherige Forschungsarbeiten
• Eigene Hypothesen (inhaltlich formuliert)
08_ttest(3)
10
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Gliederung des Methodenteils
• Überblick
• Stichprobe
• Design (Versuchsplan)
• Material
• Prozedur
08_ttest(3)
11
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Ergebnisse
• Ggf. Datenvorbehandlung
– Transformation von Variablen
– Ausschluss von Ausreißerwerten
• Deskriptive Statistiken
• Testverfahren
– Welches Verfahren (t-Test)
– Gewähltes Alphaniveau
• Testergebnisse
– Empirischer t-Wert (gerundet aus 2 Nachkommastellen) mit
Freiheitsgraden
– p-Wert (gerundet aus 2 Nachkommastellen)
– Ein- oder zweiseitiger Test?
– Ggf. Richtung des Effekts
08_ttest(3)
12
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Diskussion
• Zusammenfassung der Ergebnisse
– Inhaltlich
– keine Teststatistiken
• Bedeutung der Ergebnisse diskutieren
– Haben sich die Hypothesen bestätigt?
– Falls nein, wie könnte man die Ergebnisse erklären
– Wie passen die eigenen Ergebnisse zu anderen Studien?
• Ausblick
– Lässt die Studie wichtige Fragen offen?
– Wie könnten Folgestudien aussehen?
– Haben die Ergebnisse Konsequenzen für die Praxis?
08_ttest(3)
13
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Literatur
• Jede Quelle, die im irgendwo im Text zitiert wurde, muss im
Literaturverzeichnis aufgeführt werden.
• Es werden nur Quellen aufgeführt, die auch zitiert wurden.
• Bei der Zitation MUSS man sich an die APA Richtlinien halten.
08_ttest(3)
14
Aufbau einer psychologischen Arbeit
Anhang
• Psychologische Arbeiten haben eher selten einen Anhang
• Der Anhang enthält Informationen, die …
– so umfangreich sind, dass sie die Lesbarkeit des Textes beeinträchtigen
• z.B. eine Liste aller 60 Adjektive, die in einem Gedächtnisexperiment
verwendet wurden
• z.B. die genauen Instruktionen, die eine Versuchsperson erhält.
– für die meisten Leser weniger interessant sind
• z.B. die mathematische Herleitung einer verwendeten Formel
08_ttest(3)
15
Beispiel: „Levels of processing“
• Im Folgenden werden kurz einige Ausschnitte zu einer
Darstellung des Gedächtnisexperiments gezeigt.
• Zur Erinnerung: Es wurde getestet, wie verschiedene
Verarbeitungsformen sich auf die Anzahl erinnerter Adjektive
auswirken
– Vokale zählen
– Bildhaftigkeit beurteilen
– Emotionalität beurteilen
08_ttest(3)
16
Beispiel: „Levels of processing“
Titel der Arbeit
Beeinflusst die Verarbeitungstiefe die Gedächtnisleitung?
Eine Überprüfung der „Level of processing“ Hypothese
Andreas Voß
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
…
08_ttest(3)
17
Beispiel: „Levels of processing“
Zusammenfassung
Bisherige Forschungsarbeiten zeigen, dass die Verarbeitungstiefe von Stimuli in
einer Lernphase den späteren Abruf aus dem Gedächtnis beeinflussen. In der
vorliegenden Studie soll diese Annahme empirisch überprüft werden. Es wird
dabei erwartet, dass emotionale und bildhafte Verarbeitung zu einer besseren
Erinnerungsleistung führen als eine rein strukturelle Verarbeitung. Die
Ergebnisse einer Studie mit einem unangekündigten Erinnerungstest (free
recall) bestätigen diese Hypothese.
08_ttest(3)
18
Beispiel: „Levels of processing“
Einleitung
1 Einleitung
Carik und Lockhart (1972) zeigten, sich eine tieferer Verarbeitung positive
auf den Gedächtnisabruf auswirkt …
In der vorliegenden Arbeit …
Dabei wird erwartet dass …
08_ttest(3)
19
Beispiel: „Levels of processing“
Methode
2 Methode
2.1 Stichprobe. An dem vorliegenden Experiment nahmen 77
Psychologiestudierende (64 weiblich) im ersten Studiensemester teil. Das
mittlere Alter lag bei 23.4 (SD=6.3; Spanne: 18 bis 48).
2.2 Material. Als Stimulusmaterial für die Gedächtnisaufgabe wurden 60
deutsche Adjektive verwendet (siehe Anhang).
2.3 Design. Der Versuchsplan beinhaltet die Gruppenvariable
Verarbeitungsbedingung mit den drei Stufen „strukturell“ (N=23), „emotional“
(N=28) und „bildhaft“ (N=26) (siehe Prozedur für Details). Abhängige Variable ist
die Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus die Anzahl falsch erinnerter Wörter.
08_ttest(3)
20
Beispiel: „Levels of processing“
Methode (Fortsetzung)
2.4 Prozedur. Der Versuch fand in einer gemeinsamen Sitzung aller
Versuchspersonen in einem Hörsaal statt. Dazu wurden die 60 Adjektive
nacheinander mittels eines Beamers präsentiert. Jedes Wort wurde drei
Sekunden gezeigt und dann ohne Pause direkt durch das nächste Wort ersetzt.
Die Versuchspersonen sollten dabei zu jedem Wort eine Angabe in einem
Fragebogen machen: Die „strukturelle Aufgabe bestand darin, die Anzahl der
Vokale jedes Adjektivs zu notieren. In den anderen Gruppen wurde die
Bildhaftigkeit bzw. die Emotionalität der Adjektive auf einer Skala von 1 bis 5
eingeschätzt.
08_ttest(3)
21
Beispiel: „Levels of processing“
Methode (Fortsetzung)
…
Nach der Lernphase wurde ein Fragebogen, der nicht mit der aktuellen
Studie im Zusammenhang steht ausgefüllt. Nach fünf Minuten wurden alle
Teilnehmer aufgefordert, alle Wörter der Lernphase, an die sie sich erinnerten,
zu notieren. Dafür standen 10 Minuten zur Verfügung. In einer Nachbefragung
äußerte eine Probandin, dass sie mit dem Gedächtnistest gerechnet hatte.
08_ttest(3)
22
Beispiel: „Levels of processing“
Ergebnisse
3 Ergebnisse
Für jede Versuchsperon wurde die Gedächtnisleitung als Anzahl der
notierten Wörter, die in der Lernliste enthalten waren, minus die Anzahl der
notierten Wörter, die nicht enthalten waren, berechnet (M=9.18; SD=5.52).
Erläuterungen:
• M = Mittelwert; SD = Standardabweichung
• Als Dezimaltrenner wird immer der Punkt verwendet
08_ttest(3)
23
Beispiel: „Levels of processing“
Ergebnisse (Fortsetzung)
…
Die mittelere Gedächtnisleistung der Gruppen wurde mit t-Tests für
unabhängige Stichproben verglichen. Für alle Tests wurde ein Alphaniveau von
α=.05 angenommen. Es zeigten sich bessere Gedächtnisleitungen sowohl bei
emotionaler Verarbeitung (M=9.82; SD=5.40) als auch bei bildhafter
Verarbeitung (M=11.96; SD=4.94) im Vergleich zur strukturellen Verarbeitung
(M=5.26; SD=4.02), mit t(49)=3.37; p<.01 bzw. t(47)=5.16; p<.001. Der
Unterschied von emotionaler Verarbeitung und bildhafter Verarbeitung
erreichte keine statistische Bedeutsamkeit, t(52)=1.52; p<.14.
08_ttest(3)
24
Beispiel: „Levels of processing“
Hinweise zum Ergebnisteil:
• Bei mehr als 2 Gruppen sollte statt den t-Test besser die Varianzanalyse
verwendet werden. Die lernen wir im Sommersemester kennen.
• Die Teststatistiken können wie im vorliegenden Beispiel (durch ein Komma
getrennt) an den Text angehängt werden.
• Oder man berichtet die Testergebnsisse in einer Klammer am Ende des Satzes:
•
„Der Unterschied von emotionaler Verarbeitung und bildhafter Verarbeitung
erreichte keine statistische Bedeutsamkeit (t(52)=1.52; p<.14).“
• t- und p-Werte werden immer mit zwei Nachkommastellen angegeben.
• Bei p wird die Null vor dem Komma weggelassen.
08_ttest(3)
25
Beispiel: „Levels of processing“
Hinweise zum Ergebnisteil:
• Üblicherweise wird bei signifikanten Ergebnissen immer nur das
Signifikanzniveau angegeben:
•
•
•
p<.05 („signifikant“)
p<.01 („hoch signifikant“)
p<.001 („hoch signifikant“)
• Bei einem nicht-signifikanten Ergebnis wird häufig der exakte p-Wert
angegeben.
• Alternativ kann auch n.s. (nicht signifikant ) geschrieben werden:
•
„Der Unterschied von emotionaler Verarbeitung und bildhafter Verarbeitung
erreichte keine statistische Bedeutsamkeit, t(52)=1.52; n.s.“
• Ausnahme: Bei t-Werten kleiner 1 dürfen Freiheitsgrade und p-Werte ganz
weggelassen werden (weil t<1 nie signifikant ist).
•
08_ttest(3)
„Männer und Frauen unterscheiden sich nicht in Ihrer Einstellung zur Statistik,
t<1“.
26
Beispiel: „Levels of processing“
Diskussion
4 Diskussion
In der vorliegenden Studie wurde die Annahme des „Levels of Processing“
Ansatzes überprüft. Entsprecht der Hypothesen zeigte sich, dass eine rein
strukturelle Verarbeitung (Vokale zählen) zu einer schlechteren Erinnerungsleistung
führt als eine semantische Bearbeitung (Emotionalität oder Bildhaftigkeit
einschätzen).
Diese Befunde haben praktische Konsequenzen für Lernsituationen. Auch in
Alltagssituationen ist eine tiefe Verarbeitung von Lernstoff empfehlenswert. …
Kritisch anzumerken ist an der vorliegenden Studie, dass eine wenig kontrollierte
Massentestung vorgenommen wurde. Es wäre daher empfehlenswert, diese
Befunde in einer Laborsituation mit Einzeltestungen zu replizieren.
08_ttest(3)
27
Beispiel: „Levels of processing“
Literatur
Literatur
Craik, F. I. M., & Lockhart, R. S. (1972). Levels of processing: A framework for
memory research. Journal of Verbal Learning and Verbal Behavior, 11, 671-684.
Hinweise:
• Nachname, Vorname (Nur Initialen)
• Jahreszahl in Klammern
• Titel des Aufsatzes
• Titel der Zeitschrift (kursiv)
• Band der Zeitschrift (Kursiv)
• Seitenzahlen des Aufsatzes
08_ttest(3)
28
APA Richtlinien
American Psychological Association (2001). Publication manual of the American
Psychological Association (5th ed.). Washington, DC: American Psychological
Association.
08_ttest(3)
29
Effektstärke
Effektstärke (beim t-Test für unabhängige Stichproben)
• Wenn ein signifikanter Gruppenunterschied gefunden wurde,
sollte ein Standardisiertes Maß für die Größe dieses Effektes, also
die Effektstärke, berechnet werden.
• Dabei wird nicht nur der Mittelwertsunterschied sondern auch
die Varianz des Merkmals berücksichtigt.
d 
mit
08_ttest(3)
x1  x 2
ˆ x
ˆ 
2
x

N1
i 1
( x1 , i  x1 ) 
2

N2
i 1
( x 2 ,i  x 2 )
2
N1  1  N 2  1
30
Effektstärke
Nach Cohen (1988) teilt man die Effektstärke folgendermaßen ein:
– d ≥ .20: kleiner Effekt
– d ≥ .50: mittlerer Effekt
– d ≥ .80: großer Effekt
08_ttest(3)
31
Effektstärke
Beispiel 1 „Levels of Processing“
– Emotional: M=10
– Strukturell: M=5
d 
x1  x 2
ˆ x

5
 1 . 11
4 .5
– σ= 4.5
Beispiel 2 „Levels of Processing“
– Emotional: M=10
– Bildhaft: M=12
d 
x1  x 2
ˆ x

2
 0 . 40
5
– σ= 5.0
08_ttest(3)
32
Teststärke
Teststärke
• Die Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, einen in der Population
vorhanden Effekt in einer statistischen Untersuchung zu finden:
Teststärke = p(sig. | H1).
• Damit ist die Teststärke ein „Gegenstück“ zum β-Fehler:
Teststärke = 1-β.
In der Population
gilt die
08_ttest(3)
Testergebnis
Entscheidung
H0
H1
p>α
„H0“
(1-α)
β
p<α
„H1 “
α
(1-β)
33
Teststärke
• Die Teststärke ist also die Wahrscheinlichkeit, einen tatsächlich
existierenden Effekt mit einer empirischen Untersuchung auch zu
finden.
• Jede Untersuchung sollte eine hohe Teststärke haben (also einen
kleinen β-Fehler)!
• Der β-Fehler kann allerdings nicht einfach festgelegt werden. Im
Folgenden werden verschiedene Einflussgrößen auf β-Fehler und
Teststärke dargestellt.
08_ttest(3)
34
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(1) Höhe des Alpha-Niveaus
• Je größer (weniger streng) Alpha, desto größer die Teststärke
(1-Beta)!
H0
H1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
08_ttest(3)
-2
-1
0
1
2
3
35
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(2) Art der Testung:
• Die Teststärke hängt von der Art der Testung (einseitig- vs.
zweiseitig) ab:
• Bei einer zweiseitigen Testung ist die Power geringer als bei einer
einseitigen Testung, da dann erst bei einem höheren t-Wert die
H1 angenommen wird.
08_ttest(3)
36
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(3) Varianz des Merkmals
• Je mehr Varianz ein Merkmal hat, desto geringer ist die
Teststärke.
• Durch Verwendung von „homogenen Stichproben“ und / oder die
Entfernung von „Ausreißern“ aus einer Stichprobe verringert sich
die Varianz; damit wird es wahrscheinlicher, einen Effekt
nachweisen zu können.
• Zudem sollte versucht werden, während einer Untersuchung
externe Einflüsse konstant zu halten, um die „Fehlervarianz“ zu
verringern
08_ttest(3)
37
Beeinflussung der Teststärke (Power)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Bei geringerer Varianz
des Merkmals wird der
Standardfehler der
Mittelwertsdifferenz
geringer und die Teststärke wird größer!
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
08_ttest(3)
-2
-1
0
1
2
3
38
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(4) Stichprobenumfang
• Je größer die Stichprobe, desto höher ist die Power eines Tests.
• Diese liegt daran, dass sich …
1.
2.
08_ttest(3)
… der Standardfehler verringert und dadurch der empirische t-Wert
vergrößert.
… die Freiheitsgrade erhöhen und dadurch der kritische t-Wert
verringert.
39
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(5) Größe der Mittelwertsdifferenz
• Je größer die Mittelwertsdifferenz, desto höher ist die Power
eines Tests.
• Werden nur geringe Mittelwertsdifferenzen erwartet, dann
müssen andere Mittel eingesetzt werden, um die Teststärke zu
erhöhen.
08_ttest(3)
40
Beeinflussung der Teststärke (Power)
(6) Auswahl des statistischen Tests
• Stichprobe:
– Tests mit abhängigen Stichproben haben eine höhere Power als Tests mit
unabhängigen Stichproben.
• Vorannahmen
– Parameterische Test (die eine Normalverteilung des Merkmals
voraussetzen) haben eine höhere Power als non-parameterische Tests.
• Skalenniveau:
– Tests, die auf einem höherem Skalenniveau beruhen, haben in der Regel
eine höhere Power
– t-Test (intervall) > U-Test (ordinal) > Binomial-Test (nominal)
08_ttest(3)
41
Bestimmung der Teststärke (Power)
• Die tatsächliche Teststärke kann aus der Effektstärke, der
Stichprobengröße und dem α-Fehler berechnet werden
• Die macht z.B. das kostenlosen Programm „ G*Power 3“.
• Beispiele für die Teststärke des t-Test sfür unabhängige
Stichproben für d = .80 und α = .05:
08_ttest(3)
N1 = N2
23
24
Power
.76
.77
25
26
.79
.81
42
Optimale Stichprobengrößen
• Von einem optimalen Stichprobenumfang spricht man, wenn die
Power groß genug ist, um für eine vorgegebene Effektstärke
sicher zwischen der H0 und der H1 entscheiden zu können.
• Wenn man vor einer Untersuchung schon weiß, wie groß ein zu
erwartender Effekt ist, dann kann a priori die optimale
Stichprobengröße errechnet werden
• Dies geschieht ebenfalls mit „G*Power 3“
08_ttest(3)
43
Optimale Stichprobengrößen
• Beispiele für optimalen Stichprobenumfänge beim t-Test für
unabhängige Stichproben für α = .05 und β = .20
08_ttest(3)
d
N1 = N2
.20
310
.30
138
.40
78
.50
50
.60
37
.70
26
.80
20
44
G*Power 3
• Das Programm „ G*Power 3“ erlaubt die Berechnung der
Teststärke.
• Es ist kostenlos verfügbar unter:
http://www.psycho.uni-duesseldorf.de/abteilungen/aap/gpower3/
• Berechnungsarten:
(1) A priori: Die Effektstärke, Alpha und die Teststärke werden eingegeben
und der benötigte Stichprobenumfang wird berechnet.
(2) Post-Hoc: Die Effektstärke, Alpha und der Stichprobenumfang wird
eingegeben und die Teststärke wird berechnet.
08_ttest(3)
45
A priori - Analyse
t-Test für unabhängige
Stichproben
2-seitiger Test
N1=N2
08_ttest(3)
46
A priori - Analyse
t-Test für unabhängige
Stichproben
1-seitiger Test
N1=N2
08_ttest(3)
47
A priori - Analyse
t-Test für abhängige
Stichproben
2-seitiger Test
08_ttest(3)
48
A priori - Analyse
t-Test für unabhängige
Stichproben
2-seitiger Test
N1=N2
08_ttest(3)
49
A priori - Analyse
t-Test für unabhängige
Stichproben
2-seitiger Test
N1=N2
08_ttest(3)
50
post-hoc - Analyse
t-Test für unabhängige
Stichproben
2-seitiger Test
08_ttest(3)
51
Zusammenfassung
• Es werden drei Arten des t-Test unterschieden:
– t-Test für unabhängige Stichproben
– t-Test für abhängige Stichproben
– Eingruppen t-Test
• Die Test unterscheiden sich in
– den Kennwerten
– den Standardfehlern der Kennwerte
– den Freiheitsgraden
• Alles andere ist weitgehend identisch
08_ttest(3)
52
Zusammenfassung
• Die Effektstärke (des t-Tests für unabhängige Stichproben) ist die
Mittelwertsdifferenz relativiert an der gemeinsamen
Merkmalsvarianz.
• Nach Cohen unterschiedet man kleine Effekte (d ≥ .20), mittlere
Effekte (d ≥ .50), und große Effekte (d ≥ .80).
• Die Teststärke Power (1-β) ist die Wahrscheinlichkeit, einen
tatsächlich existierenden Effekt zu finden.
08_ttest(3)
53
Zusammenfassung
• Die Teststärke ist groß, wenn …
–
–
–
–
–
–
–
08_ttest(3)
ein hoher α-Fehler akzeptiert wird,
eine gerichtete Hypothese formuliert wird,
die Merkmalsvarianz verringert wird,
der Stichprobenumfang erhöht wird,
für eine große Mittelwertsdifferenz gesorgt wird,
abhängige Stichproben verwendet werden,
ein statistisches Verfahren verwendet wird, dass das erhobene
Skalenniveau ausnutzt.
54
Zusammenfassung
• Die tatsächliche Teststärke kann post-hoc aus der Effektstärke,
der Stichprobengröße und dem α-Fehler berechnet werden.
• Umgekehrt kann die optimale Stichprobengröße aus der a priori
festgelegten Teststärke, dem α-Fehler und der erwarteten
Effektstärke berechnet.
• Beide Berechnungen können mit G*Power 3 durchgeführt
werden.
08_ttest(3)
55

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