Solution methods

Report
‫روش های عددی در الکترومغناطیس‬
‫موضوع سمینار‪:‬روش حجم‬
‫محدود(‪)FVM‬‬
‫استاد‪:‬دکتر صادق زاده‬
‫ارائه دهنده‪:‬امید برازجانی‬
‫زمستان‪92‬‬
‫روش حجم محدود (‪)FINITE VOLUME METHOD‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش برای حل معادالت دیفرانسیل جزیی متمرکز‬
‫است‬
‫این روش ها در سال های اخیر به دلیل توانمندی و‬
‫فرموالسیون شهودی و مزایای محاسبه ای شان میزان‬
‫پذیرش گسترده ای را کسب نموده اند‪.‬‬
‫معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزیی که ما روی آن‬
‫تمرکز داریم یک معادله عددی است که انتقال یک‬
‫ماده تحت تاثیر وزش جریان هوا و ترکیب آن را‬
‫ارائه می کند‬
‫روش حجم محدود یک روش گسسته است که برای شبیه‬
‫سازی های عددی برای انواع مختلف اشکال (بیضوی‬
‫‪،‬سهموی و یا هزلولی ) مناسب است‪.‬‬
‫با مش بندی های ساختیافته و غیر ساختیافته در‬
‫هندسه های مختلف مورد استفاده قرار می گیرد و‬
‫به طرح های قوی منجر می شود‪.‬‬
‫و به طور گسترده ای در‬
‫چند شاخه مهندسی مانند‬
‫بررسی روش های عددی به طور کلی‬
‫تکنیک های زیادی در دینامیک سیاالت محاسباتی ‪CFD‬‬
‫)‪ )Computational Fluid Dynamics‬موجود است‪.‬‬
‫رایج ترین برنامه های ‪ CFD‬اقتصادی که در دسترند عبارتند‬
‫از‪:‬‬
‫‪ ‬روش حجم محدود قابلیت اجرای زیادی دارد (‪)%80‬‬
‫‪ ‬روش المان محدود (‪)%15‬‬
‫قطعا تعداد زیادی از رویکردهای دیگری در حدود (‪)%5‬‬
‫وجود دارد‪ ،‬ازجمله‪:‬‬
‫‪ ‬تفاوت محدود ‪Finite difference‬‬
‫‪ ‬روش های طیفی ‪Spectral methods‬‬
‫‪ ‬المان مرز ‪Boundary element‬‬
‫‪ ‬گاز مشبک‪ /‬بولتزمن مشبک ‪Lattice gas/lattice Boltzmann‬‬
‫‪‬‬
‫و بیشتر!‬
‫روش تفاوت محدود (‪)FDM‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫از نظر تاریخی‪ ،‬قدیمی ترین روش است‪.‬‬
‫تکنیک هایی در اوایل سال ‪ 1910‬توسط ‪L. F. Richardson‬‬
‫منتشر شد‪.‬‬
‫‪ ‬مقاله اصلی توسط ‪ Courant, Fredrichson‬و ‪(1928) Lewy‬‬
‫مرحله پیچیده زمانی را‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معیار پایداری برای‬
‫بدست اورد‪.‬‬
‫اولین راه حل عددی‪ :‬جریان در تمام سیلندر مدور‬
‫توسط ‪ )1933( Thom‬ارایه شد‪.‬‬
‫مقاله علمی توسط ‪ Harlow‬و ‪ (1965) Fromm‬ایده اصلی‬
‫آزمایشات کامپیوتری را بیان کرد و ‪ CFD‬متولد‬
‫شد‪.‬‬
‫مزیت‪ :‬اجرای آسان‬
‫معایب‪ :‬محدود به شبکه های ساده است و اندازه‬
‫حرکت‪ ،‬انرژی و جرم را بر روی شبکه های بزرگ‬
‫نگهداری نمی کند‪.‬‬
‫تفاوت محدود‪ :‬روش شناسی پایه‬
‫میدان به مجموعه ای از نقاط مجزا تقسیم می شود‪.‬‬
‫اندازه ساختاری مش های )‪ (ijk‬مورد نیاز است‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معادالت حاکم (در فرم دیفرانسیل) گسسته هستند‬
‫(به صورت جبری)‬
‫مشتقات اول و دوم با بسط های مجموعه های‬
‫‪Taylor‬کوتاه تقریب زده می شود‪.‬‬
‫مجموعه حاصل معادالت جبری خطی هر کدام تکراری یا‬
‫همزمان حل می شود‪.‬‬
‫روش المان محدود )‪(FEM‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫توسط‬
‫)‪(1943‬‬
‫‪Courant‬‬
‫اولین استفاده‬
‫پیچیدگی بود‪.‬‬
‫)‪ Clough (1960‬روشی را با این نام ارائه می دهد‪.‬‬
‫روش ‪ FEM‬تا حد زیادی در دهه ‪ 60‬و ‪ 70‬میالدی برای‬
‫تجزیه و تحلیل مشکل مکانیک سازه استفاده می شد‪.‬‬
‫تجزیه و تحلیل ‪ FEM‬برای جریان سیاالت در اواسط تا‬
‫اواخر دهه ‪ 70‬توسعه یافت‪.‬‬
‫مزایا‪ :‬باالترین دقت را در شبکه های درشت دارد و‬
‫برای مشکالت نفوذ میدان (جریان ویسکوز) و مشکالت سطح‬
‫آزاد عالی است‪.‬‬
‫معایب‪ :‬برای مشکالت پیچیده کند است و برای جریانات‬
‫آشفته مناسب نیست‪.‬‬
‫خطوط سرعت‬
‫فلزی از چند‬
‫پلی اتیلن‬
‫برای‬
‫حل‬
‫مشکل‬
‫روش حجم محدود(‪(FVM‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اولین استفاده مستند توسط ایوانز و هارلو‬
‫(‪ )1957‬در لوس آالموس و جنتری‪ ،‬مارتین و دیلی‬
‫(‪ )1966‬بود ‪.‬‬
‫جذاب است زیرا متغیرها ممکن است که پیوسته از‬
‫همدیگر در میان شوک ها ودیگر ناپیوستگی ها قابل‬
‫تشخیص نباشد ولی جرم و انرژی تغیر نمی کند ‪.‬‬
‫‪ FVM‬مزیتی به کمک حافظه و سرعت در مشکالت خیلی‬
‫با سرعت باالتر‪،‬‬
‫مانند جریانات‬
‫بزرگ دارد‪،‬‬
‫جریانات آشفته (احتراق )دارد‪.‬‬
‫اواخر دهه ‪ 70‬و اوایل دهه ‪ 80‬توسعه شبکه های‬
‫‪ body-fitted‬را مشاهده کردیم‪ .‬در اوایل دهه روش های‬
‫شبکه غیر ساختیافته ظاهر شد‪.‬‬
‫مزایا‪ :‬تعادل کنترل حجم و پایه شکل سلول‪ ،‬توده‪،‬‬
‫اندازه حرکت را محدود نمی کند‪ ،‬انرژی حتی بر‬
‫روی شبکه های بزرگ حفظ می شود‪ ،‬حل کننده های‬
‫موثر و تکراری به خوبی توسعه یافته است‪.‬‬
‫معایب‪ :‬انتشار نادرست هنگامی که اعداد ساده‬
‫استفاده می شود‪.‬‬
‫روش عمومی حجم محدود‪:‬‬
‫تقسیم میدان به حجم های کنترل شده‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫• •‬
‫• • •‬
‫• • •‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ادغام معادله دیفرانسیل در طول حجم های کنترل شده‬
‫و اعمال قضیه دیورژانس‪.‬‬
‫به منظور ارزیابی اصطالحات مشتق‪ ،‬مقادیر صورت های‬
‫شده مورد نیاز است به همین دلیل‬
‫حجم کنترل‬
‫ایجاد فرض در مورد چگونگی تفاوت های مقدار الزم‬
‫است‪.‬‬
‫نتیجه مجموعه ای از معادالت جبری خطی است یعنی یکی‬
‫از هر حجم کنترل شده‬
‫سلول ها و گره ها‬
‫‪‬‬
‫با استفاده از روش حجم محدود‪ ،‬حوزه راه حل را‬
‫به یک تعداد متناهی از حجم کنترل کوچک (سلول)‬
‫توسط یک شبکه تقسیم می شوند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫شبکه مرز های کنترل حجم را تعریف می کند‬
‫درحالیکه گره محاسباتی در مرکز کنترل حجم قرار‬
‫می گیرد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫حفظ یکپارچگی است که دقیقا در تمام‬
‫‪FVM‬مرزی‬
‫مزیت گره‬
‫کنترل حجم راضی کننده است‪.‬‬
‫کنترل حجم‬
‫گره محاسباتی‬
‫کنترل حجم نوعی‬
‫‪‬‬
‫جریان شبکه از طریق کنترل مرز حجم مجموعه ای از‬
‫انتگرال ها در تمام چهار حالت‬
‫کنترل حجم بدست می آید‪.‬‬
‫‪‬‬
‫کنترل حجم ها هم پوشانی نمی کند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫دسترس نیست‬
‫مقدار تابع زیر انتگرال در کنترل حجم در‬
‫‪Dx‬‬
‫تعیین می شود‪.‬‬
‫یابی‬
‫درون‬
‫و با انترپوالسیون یا‬
‫‪N‬‬
‫‪NE‬‬
‫‪NW‬‬
‫‪dyn‬‬
‫‪E‬‬
‫‪e‬‬
‫‪w‬‬
‫‪W‬‬
‫‪s‬‬
‫‪S‬‬
‫‪SE‬‬
‫‪P‬‬
‫‪SW‬‬
‫‪Dy‬‬
‫‪dys‬‬
‫‪j,y,v‬‬
‫‪i,x,u‬‬
‫‪dxe‬‬
‫‪10‬‬
‫‪dxw‬‬
‫‪n‬‬
Domain, Zone, Grid, and Cell
The control volumes exists at several levels:
1.
2.
3.
4.
1 Domain
Flow Domain, Extent of CFD analysis
Zone, Divide domain for convenience, if needed
Grid, Divides the zone into cells
Cell, Smallest control volume, but “finite”
4 Zones
Let’s Examine
a hexahedral
cell
Each control volume is “air-tight”
Grid in each zone
with 1000s of cells
11
‫محاسبه میدان به روش حجم محدود‬
‫شده‬
‫را‬
‫دامنه محاسبه‬
‫به تعدادی‬
‫متناهی حجم کنترل شده‬
‫تقسیم می کند‬
‫شبکه سطح‬
‫شبکه حجم‬
‫حجم‬
‫شده‬
‫کنترل‬
‫طبقه بندی کلی شبکه ها‬
‫‪‬‬
‫شبکه ها به دو نوع ساختیافته و غیرساختیافته‬
‫طبقه بندی می شود‪:‬‬
‫‪‬‬
‫شبکه ساختیافته از توپولوژی استفاده می کند که‬
‫در آن سلول ها با آرایش ساختیافته منظم می شوند‪.‬‬
‫مکان سلول های همسایه در شاخص آرایه )‪ (i,j,k‬است‪.‬‬
‫این اجازه ذخیره کافی و نگهداری اطالعات سلول را‬
‫می دهد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫شبکه غیرساختیافته هیچ ترتیب ذاتی سلولی ندارد‪.‬‬
‫ترتیب سلول ها باید پیچیده باشد‪ .‬شبکه های غیر‬
‫ساختیافته به انعطاف پذیری بیشتر در تولید و‬
‫سازگاری شبکه ها با هزینه ذخیره سازی اطالعات‬
‫سلولی بیشتر نیازمند است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ساختیافته و‬
‫‪13‬‬
‫شبکه های هیبرید شامل هر دو شبکه‬
‫غیر ساختیافته در مناطق مجزا است‪.‬‬
‫مثال شبکه ساختیافته‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪14‬‬
‫شبکه متناسب با بدنه‬
‫است که شکل بدنه را‬
‫ادامه می دهد‪.‬‬
‫نقاظ شبکه (راس)در‬
‫یک ساختار آرایه با‬
‫شده‬
‫)‪(i,j,k‬منظم‬
‫شاخص‬
‫است‪.‬‬
‫تغییر شکل بین فضای‬
‫فیزیکی(‪ (X,Y,Z‬و فضای‬
‫محاسباتی کارتزین با‬
‫جهات مختصات)‪(, , ‬‬
‫نقاط شبکه به بال‬
‫تفکیک‬
‫ایجاد‬
‫برای‬
‫الیه مرزی جمع اوری‬
‫می شود‪.‬‬
‫سلول ها شش گوشه ای‬
‫هستند‪.‬‬
‫‪, j‬‬
‫‪, i‬‬
‫‪, k‬‬
‫نمونه شبکه غیر ساختیافته‬
‫شبکه متناسب با جسم‬
‫را‬
‫جسم‬
‫شکل‬
‫‪،‬‬
‫دنبال می کند‪.‬‬
‫ساختار‬
‫شبکه‬
‫نقاط‬
‫خاصی ندارند ‪.‬‬
‫هیچ تغییر شکلی از‬
‫فضای فیزیکی )‪(x,y,z‬‬
‫و فضای محاسباتی‬
‫وجود ندارد‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫نقاط شبکه در سطح‬
‫مجرا برای ارائه‬
‫الیه‬
‫مرز‬
‫تفکیک‬
‫خوشه ای شده است‪.‬‬
‫هدف ازفرمول های ‪FVM‬‬
‫‪‬‬
‫ارائه معادله انتگرال به عنوان معادله‬
‫دیفرانسیل معمولی (در نهایت معادله جبری)‬
‫تابع حل با استفاده از روش های محاسباتی (عددی)‬
‫‪‬‬
‫بنابراین ما نیاز به تقریب حجم انتگرال ها و‬
‫سطح انتگرال ها برای تشکیل بیان جبری داریم‪.‬‬
‫‪‬‬
‫در ادامه بحث این تقریب ها‪ ،‬کنترل حجم ها را‬
‫بررسی می کنیم که در آن انتگرال ها تقریبی‬
‫خواهد شد‪.‬‬
‫معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزیی‬
‫معادله انتقال ‪:‬‬
‫که ‪ T‬ماده انتقال یافته به عنوان مثال دما رطوبت یا‬
‫غلظت یک آالینده است ‪.‬‬
‫بردار ‪ U‬سرعت معلوم فرضی است ‪.‬‬
‫‪ α‬ضریب انتشار است که هم می تواند نفوذ مولکولی و هم‬
‫ترکیب گردابی باشد‪.‬‬
‫جریان را تراکم ناپذیر فرض می کنند پس معادله پایستگی‬
‫جرم به فرم زیر است ‪:‬‬
‫از آنجایی که داریم‪:‬‬
‫پس معادله انتقال _انتشار به فرم زیر در می آید‪:‬‬
‫فرم انتگرالی قانون پایداری‬
‫معادالت دیفرانسیل بامشتقات جزیی برای تمامی نقاط در‬
‫حوزه هایی که می توانیم به عنوان حجم های بی نهایت‬
‫کوچک در نظر بگیریم معتبر است‪.‬با پیش بینی اینکه حجم‬
‫های گسسته و بی نهایت کوچک مقرون به صرفه نیستند و‬
‫در اندازه های محدود ممکن است نا هنجار باشند‪.‬‬
‫لذا برای یک حجم محدود‪ δV‬که توسط سطح ‪ δS‬محصور شده است‬
‫انتگرال های قانون پایداری به فرم های زیر در می آیند‪:‬‬
‫انتقال انتشار‪ T‬در میان‬
‫‪δS‬‬
‫شار افقی‬
‫حامل ‪T‬درون‬
‫‪δS‬‬
‫نرخ تغییرات‬
‫مقدار ‪T‬‬
‫درون حجم ‪δV‬‬
‫ادامه‬
‫در واقع معادالت انتگرالی قانون پایداری چه هر حجم ‪δV‬‬
‫یک سلول محاسباتی باشد چه سراسر حوزه یک اقیانوس‬
‫یا جو زمین باشد اعمال می شود‪.‬‬
‫میانگین ‪ T‬در حجم ‪: δV‬‬
‫پس می توانیم‬
‫بنویسیم ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫معادالت‬
‫انتگرالی‬
‫را‬
‫به‬
‫صورت‬
‫زیر‬
‫معادالت در فرم انتگرالی به‬
‫همانطور که میبینیم‬
‫ترتیب مشتق مرتبه صفر و اول دارند که این کاهش‬
‫مرتبه مشتق برای راه حل هایی که سیال یا جسم با‬
‫سرعت بسیار زیاد در فضا تغییر می کند و ناپیوستگی‬
‫ایجاد می شود مانند موج های شوک مافوق صوت در جو‬
‫بسیار مهم است‪.‬‬
‫طرح کلی روش های حجم محدود‬
‫باز سازی تابع‪:‬‬
‫حوزه را به سلول های ‪ δVj‬تقسیم می کنیم‬
‫تابع ‪ T‬را به یک چند جمله ای تقسیم می کنیم‬
‫‪ δVj+m‬سلول های ‪ P‬هستند که سلول ‪ δVj‬را احاطه نموده اند‪.‬‬
‫‪ Φn‬تناسب ‪ P‬است که توابع درون یابی را انتخاب می کنند‪.‬‬
‫وضریب ‪ an‬به سادگی از معادله جبری زیر بدست می آید‪:‬‬
‫ادامه‬
‫ارزیابی انتگرال ها ‪:‬‬
‫معموال انتگرال ها بصورت عددی با استفاده از مربعات نوع‬
‫گوس (تعیین مساحت زیر منحنی گوس) سنجیده می شوند ‪.‬‬
‫‪ Φn‬تعداد نقاط مربعات را برای چند جمله ای های درجه ‪P‬‬
‫تعیین می کنند‪.‬‬
‫بنابراین درطی انتگرال فضایی خطایی وارد نمی شود‬
‫وداریم‪:‬‬
‫‪ ωk‬وزن های مربعات گوس هستند که یک شیوه مناسب برای‬
‫انتگرال های چند بعدی است‪.‬‬
‫‪~xq‬نقاط مربعات ‪ Q‬هستند و‪δSj‬عوامل بازنمایی سطح‬
‫‪δSj‬هستند‪.‬‬
‫انتگرال گیری موقتی‪:‬‬
‫منشا خطا‬
‫بوسیله‬
‫استفاده‬
‫روش های‬
‫از انتگرال گیری زمانی سرچشمه می گیرد‪.‬که‬
‫آن شارها برای پیشرفت راه حل در زمان با‬
‫از یک روند حرکت زمانی (‪ )la Forward Euler‬یکی از‬
‫‪ Runge Kutta‬یا روش های کالس ‪ Adams-Bashforth‬استفاده‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫سلول ها قسمت های خطی هستند و عرض سلول ها را ‪ δx‬می‬
‫گیریم‪.‬‬
‫که برای شکل باال قانون پایداری به فرم زیر در می آید‪:‬‬
‫شار‬
‫شار انتشاری در‬
‫افقی‬
‫هستند‪.‬‬
‫و‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫روش باز سازی تابع‪ :‬در این روند ها می توان مطابق‬
‫زیر پیش از انتگرال گیری زمان به جلو برده شود‪.‬فرض‬
‫کنید‪:‬‬
‫در اینجا ‪an‬ضرایب ‪ P +1‬هستند که الزم است از حالت های ‪P‬‬
‫‪ +1‬روی میانگین های چند جمله ای در واحد های متعدد‬
‫تعین شوند‪.‬‬
‫منشا و مقیاس دستگاه هم پایه به مرکز سلول ‪ j‬برگردانده‬
‫شده است طوری که حاشیه های چپ و راست در یک طول از ‪-‬‬
‫‪ 1/2‬و ‪ 1/2‬به ترتیب واقع می شوند‪.‬اکنون پر کردن درایه‬
‫های ماتریس به فرم زیر است‪:‬‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫ثابت قطعه به قطعه (تکه ای)‪:‬‬
‫ساده ترین حالت برای در نظر گرفتن حالتی است که تابع‬
‫در یک واحد همانطور که‬
‫در شکل نشان داده شده است ثابت است لذا تقریب و‬
‫معادالت ذیل را داریم‪:‬‬
‫حاصل انتگرال‬
‫در واحد ‪: j‬‬
‫در نقاط حاشیه امکان دو تقریب وجود دارد یکی از واحد‬
‫چپ ‪ j‬ودیگری واحد راست ‪.j+1‬‬
‫یک برهان شهودی فیزیکی این است که اطالعات نزدیک به‬
‫حاشیه بایست از واحد رو‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫نمودار خطی تکه ای‪:‬‬
‫یک بهبودی نسبت به تقریب عدد ثابت تصور کردن تغیرات‬
‫خطی برای تابع در واحد‬
‫است بنابراین تقریب و روابط زیر را داریم‪:‬‬
‫برای محاسبه تابع کافی است‬
‫در مرز سلول‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫رسم سهمی تکه ای ‪:‬‬
‫برای درج سهمی واقع در مرکز واحد های ‪ j+1‬و ‪ j-1‬چند جمله‬
‫ای چنین شکلی را پیدا می کند‪:‬‬
‫مقدار حاشیه خانه می تواند با قرار‬
‫در‬
‫در عبارت فوق محاسبه‬
‫دادن‬
‫شود تا معادله زیر بدست آید‪:‬‬
‫حجم محدود در یک بعد‬
‫معتبر سازی و صدق بازسازی‪:‬‬
‫به منظور توصیف روند ها به طور دقیق ما به حل یک مسئله‬
‫با یک راه حل معلوم ومقایسه نتایج‬
‫با آنچه حاصل نمودار عددی است نیاز داریم ‪.‬در همه‬
‫موارد ما عالقمند به کنترل و کاهش خطا‬
‫با افزایش تعداد واحد ها (سلول ها) برای توابع مختلف و‬
‫برای یکی از روند های باز سازی‬
‫می باشیم‪.‬‬
‫باز سازی تابع ‪ T = cos πx‬در فاصله ‪ −1 ≤ x ≤ 1‬با آغاز از‬
‫میانگین واحد تحلیلی آن در واحد‬
‫‪ j‬به صورت ذیل است‪:‬‬
‫اشکال بازسازی تابع ‪T = cos πx‬‬
‫اشکال ساده سلولی‬
‫اغلب فرضیات برای آسان تر کردن هندسه‪ ،‬جریان میدان‪،‬‬
‫شبکه و سلول ها از هندسه سه بعدی استفاده می شود‪.‬‬
‫سلول سه بعدی ‪ .Quasi‬شبکه مسطح )‪ (x,y‬که مختصات ‪ z‬برای‬
‫نشان دادن عمق سلول به کار می رود‪.‬‬
‫سلول متقارن محوری مسطح‪ .‬شبکه مسطح )‪ (x,y‬است و ‪y‬‬
‫نشاندهنده فاصله از محور تقارن است‪ .‬زاویه گووه‬
‫متقارن محوری نشان دهنده عمق است‪.‬‬
‫)‪ (x,y‬است و مختصات ‪z‬‬
‫سلول دو بعدی مسطح‪ .‬سلول مسطح‬
‫نشاندهنده عمق ثابت از سلول است‪.‬‬
‫سلول یک بعدی ‪ . Quasi‬شبکه یک بعدی )‪ (x‬با محدوده سطح‬
‫متقاطع است و در امتداد ‪ x‬است‪.‬‬
‫سلول یک بعدی‪ .‬شبکه یک بعدی )‪ (x‬با منطقه سطح متقاطع‬
‫ثابت در امتداد ‪x‬است‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫اشکال سلولی دیگر‬
‫شبکه ساختاری تنها شامل سلول های با حجم محدود با شکل‬
‫شش وجهی است‪ .‬شبکه های‬
‫غیر ساختاری به آزادی بیشتری برای اشکال سلول اجازه می‬
‫دهد‪.‬‬
‫امکانات عبارتند از‪:‬‬
‫سلول کلی (وجه های چهار ضلعی ‪ ،x‬وجه های سه ضلعی‪)Y‬‬
‫سلول منشوری (سه وجه چهار ضلعی‪ ،‬دو وجه سه ضلعی)‬
‫سلول هرمی (یک وجه چهار ضلعی‪ ،‬چهار وجه سه ضلعی)‬
‫سلول چهار ضلعی (چهار وجه سه ضلعی)‬
‫حفظ هندسی وجه های ساده‪ ،‬چهار ضلعی یا سه ضلعی سلول با‬
‫کناره های خط مستقیم‬
‫معموال استفاده می شود‪ .‬هندسه و برآیند محدوده طبیعی سه‬
‫ضلعی منحصرا شناخته شده‬
‫‪ 30‬است‪ ،‬چهار ضلعی ها معموال به سه ضلعی برای محاسبه ویژگی‬
‫بمب افکن‬
‫‪ B2‬با تکنولوژی پیشرفته‬
‫هندسه و تولید شبکه‪:‬‬
‫ابعاد پایه‪ :‬طول ‪ 20.9‬متر‪ 5.1 ،‬متر ارتفاع و ‪ 52.43‬متر‬
‫طول بال های هواپیما‬
‫بخش ایرفویل مورد استفاده برای بال‪( 180E :‬مورد استفاده‬
‫در مدل رادیو کنترل هواپیما)‬
‫میانگین ابعاد سلول‪ 0.9 :‬میلی متر در جهت طولی و ‪1.7‬‬
‫میلی متر در جهت پهنا‬
‫شبکه حجم‪ 52 :‬بلوک‪ ،‬تقریبا‪ 1.5 .‬میلیون سلول‪ ،‬گره های‬
‫خوشه ای در نزدیکی سطح‬
‫طول بال های هواپیما از شبکه‪ 293.9 :‬میلی متر‬
‫با تکنولوژی پیشرفته‬
Rendered Image of B2 Surface
Grid
B2 ‫بمب افکن‬
Image of the B2 in
flight
‫بمب افکن ‪B2‬‬
‫با تکنولوژی پیشرفته‬
‫‪B2 Surface Grid (close view):‬‬
B2– ‫بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته‬
Surface Currents on B2 – Nose-on incidence @ 300 MHz,
HH polarization
‫بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –‪B2‬‬
‫)‪Bi-static RCS Plot @ 300 MHz (HH‬‬
‫بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –‪B2‬‬
‫‪Monostatic RCS Plot @ 300 MHz‬‬
‫ماشین روی عرشه آب گرفته‬
‫جریان در اطراف مدل کشتی‬
‫جریان در اطراف مدل کشتی‬
‫مقایسه مشخصات موج در امتداد بدنه با محاسبه در‬
‫‪ TUHH‬شامل داده های تجربی بدست آمده در موسسه‬
‫تحقیقات کشتی توکیو‬
‫جریان در اطراف سطح پر سر و صدای پروانه‬
‫روش حجم محدود‪ :‬خالصه‬
‫‪‬‬
‫پایستگی مورد استفاده‬
‫‪ FVM‬از معادله انتگرال‬
‫در کنترل حجم ها استفاده می کند که طبقه بندی‬
‫حوزه میدان حل را به کل میدان حل به درستی شیفت‬
‫می دهد‬
‫‪‬‬
‫با‬
‫حجم‬
‫کنترل‬
‫حاالت‬
‫در‬
‫متغیر‬
‫مقادیر‬
‫اینترپوالسیون یا درون یابی تعیین می شود‪.‬‬
‫انتشار از وابستگی به انتخاب طرح اینترپوالسیون‬
‫ناشی می شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫شبکه باید برای کاهش خطا دوباره تعریف شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫مزایای ‪ :FVM‬انتگرال پایستگی دقیقا قانع کننده‬
‫است و روش محدود به نوع شبکه ساخت یافته یا غیر‬
‫ساختیافته ‪ ،‬دکارتی یا (‪ )body-fitted‬نیست ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫همیشه همگرائی مناسبی دارد‪.‬‬
:‫مراجع‬

[1] R. E. Bank and D. J. Rose. Some error estimates for the box method. SIAM J. Numer. Anal., 24:777–787,

1987.

[2] Z. Cai. On the finite volume element method. Numer. Math., 58(1):713–735, 1990.

[3] Z. Cai, J. Mandel, and S. F. McCormick. The finite volume element method for diffusion equations on

general triangulations. SIAM J. Numer. Anal., 28:392–402, 1991.

[4] P. Chatzipantelidis. Finite volume methods for elliptic PDE’s: a new approach. M2AN Math. Model. Numer.

Anal., 36(2):307–324, 2002.

[5] L. Chen. A new class of high order finite volume methods for second order elliptic equations. SIAM J.

Numer. Anal., 47(6):4021–4043, 2010.

[6] S.-H. Chou, D. Y. Kwak, and Q. Li. Lp error estimates and superconvergence for covolume or finite volume

element methods. Numer. Methods Partial Differential Equations, 19(4):463–486, 2003.

[7] S.-H. Chou and Q. Li. Error estimates in L2; H1 and L1 in covolume methods for elliptic and parabolic

problems: a unified approach. Math. Comp., 69(229):103–120, 2000.

[8] R. E. Ewing, T. Lin, and Y. Lin. On the accuracy of the finite volume element method based on piecewise

linear polynomials. SIAM J. Numer. Anal., 39(6):1865–1888, 2002.

[9] R. Eymard, T. Gallou¨et, and R. Herbin. Finite volume methods. In Handbook of numerical analysis, Vol.

VII, Handb. Numer. Anal., VII, pages 713–1020. North-Holland, Amsterdam, 2000.

[10] W. Hackbusch. On first and second order box schemes. Computing, 41(4):277–296, 1989.

[11] J. Huang and S. Xi. On the finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems. SIAM J.

Numer. Anal., 35(5):1762–1774, 1998.

[12] R. Li, Z. Chen, andW.Wu. Generalized difference methods for differential equations, volume 226 of Monographs

and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 2000. Numerical

analysis of finite volume methods.

[13] R. H. Li. On the generalized difference method for elliptic and parabolic differential equations. In Proc. of

the Symposium on the Finite Element Method between China and France, Beijing, China, 1982.

[14] T. Russell and M. Wheeler. Finite element and finite difference method for continuous flows in porous

media. Frontiers in Applied Mathematics, 1:35, 1983.

[15] E. S¨uli. Convergence of finite volume schemes for Poisson’s equation on nonuniform meshes. SIAM J.

Numer. Anal., 28(5):1419–1430, 1991.

[16] J. Xu and Q. Zou. Analysis of linear and quadratic simplicial finite volume methods for elliptic equations.

Numer. Math., 111(3):469–492, 2009.
‫با تشکر‬
‫فراوان‬
[email protected]
www.eedd.ir

similar documents