f - Choopan Rattanapoka

Report
FUNCTION
030513122 - Discrete Mathematics
Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
บทนำ

รูปแบบของฟั งก์ชนั ที่น่ำจะเคยเห็นกันมำบ้ำงแล้ว เช่น
f(x,y) = x+y
 f(x) = x
 f(x) = sin(x)



แต่ในวิชำนี้ จะเรียนเกี่ยวกับกำรนนิ ยำม domains และ ranges
เพรำะฉะนั้นเรำอำจจะไม่จำเป็ นต้องเขียนฟั งก์ชนั ในอยูใ่ นรูปแบบสวยหรู
เหมือนข้ำงต้น
คำนิ ยำมของ Function

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั f
จำก set A ไป set B
 คือกำรกำหนดค่ำของสมำชิก B เพียงค่ำเฉพำะค่ำเดียว (exactly one) ไปยังแต่ละ
สมำชิกของ A




เรำสำมำรถเขียน f(a) = b ถ้ำ b เป็ นค่ำเฉพำะที่เป็ นสมำชิกของ B ที่ถกู
กำหนดโดยฟั งก์ชนั ของค่ำ a เมื่อ a  A.
รูปแบบสัญลักษณ์: f: A  B อ่ำนได้วำ่ ‘f maps A to B’
ข้อควรจำ
สมำชิกทุกตัวของ A จะมีกำร mapping เพียงค่ำเดียว ( single mapping )
 แต่ละสมำชิกใน B อำจจะถูก map โดยสมำชิกใน A หลำยตัว หรือไม่โดนจับคู่เลยก็ได้

แบบฝึ กหัด: กำรกำหนดฟั งก์ชนั

กำหนดให้ A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4}
จงหำว่ำ f, g, h ข้อใดเป็ นฟั งก์ชนั
 f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}
 g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)}
 h = {(1,4), (2,2), (3,0)}
คำศัพท์ที่ควรรู ้

กำหนด f: A  B และ f(a)=b แล้วเรำจะใช้คำศัพท์ได้ดงั นี้ :
A
เรียกว่ำเป็ น domain ของ f, สำมำรถเขียนย่อได้วำ่ dom(f)
 B เรียกว่ำเป็ น co-domain ของ f
 b เป็ น image ของ a
 a เป็ น preimage (antecedent) ของ b
 range ของ f เป็ น set ของทุก image ของสมำชิกใน A, ย่อว่ำ rng(f)
Function: Visualization
Range
Preimage
Image,
f(a)=b
f
a
b
B
A
Domain
Co-Domain
A function, f: A  B
แบบฝึ กหัด

กำหนด f: Z  R โดยที่ f(x) = x2
dom(f) และ co-domain(f)
 จงหำ image ของ -3
 จงหำ pre-image ของ 3
 จงหำ pre-image ของ 4
 จงหำ rng(f)
 จงหำ
คำนิ ยำมเพิ่มเติม (1)

คำนิยำม: กำหนดให้ f1 และ f2 เป็ น 2 ฟั งก์ชนั จำก set A to R,
แล้ว f1+f2 และ f1f2 ก็จะเป็ นฟั งก์ชนั จำกA ไปยัง to R เช่นกัน
 (f1+f2)(x)
= f1(x) + f2(x)
 f1f2(x)= f1(x)f2(x)

ตัวอย่ำง: กำหนด f1(x)=x4+2x2+1 and f2(x)=2-x2
= x4+2x2+1+2-x2 = x4+x2+3
 f1f2(x) = (x4+2x2+1)(2-x2)= -x6+3x2+2
 (f1+f2)(x)
คำนิ ยำมเพิ่มเติม (2)

คำนิยำม: กำหนด f: A B และ S A. Image ของ set S จะเป็ น
subset ของ B ที่ประกอบด้วยทุกค่ำ image ของ S. ดังนั้นเรำสำมำรถ
เขียนย่อ image ของ S ด้วย f(S), โดยที่
f(S)={ f(s) |  s  S }
ข้อควรระวัง: image ของ S จะเป็ น set ไม่ใช่เป็ นสมำชิก

ตัวอย่ำง:

A = {a1,a2,a3,a4,a5}, B = {b1,b2,b3,b4,b5}
 f={(a1,b2), (a2,b3), (a3,b3), (a4,b1), (a5,b4)}, S={a1,a3}
 จงเขียนแผนผังของ f
 จงหำ Domain, co-domain และ range ของ f?
 จงหำ Image ของ S, f(S)?

คำนิ ยำมเพิ่มเติม (3)

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั f ที่ซึ่ง domain และ co-domain เป็ น subsets
of ของ set จำนวนจริง (R) จะเรียกว่ำ
 strictly
increasing ถ้ำ f(x)<f(y) เมื่อ x<y และ x และ y อยูใ่ น
domain ของ f
 strictly decreasing ถ้ำ f(x)>f(y) เมื่อ x<y และ x และ y อยูใ่ น
domain ของ f

ฟั งก์ชนั ที่มีกำรเพิ่ม-ลดค่ำ จะเรียกว่ำ monotonic
ประเภทของฟั งก์ชนั : Injection

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั f จะถูกเรียกว่ำ one-to-one หรือ injective (หรือ
injection) ถ้ำ
 x,y ใน domain ของ f, f(x)=f(y)  x=y


ภำษำบ้ำนๆ คือ injection หมำยถึงสมำชิกใน range จะมี preimage
ได้มำกสุดแค่ 1 ค่ำ
ตัวอย่ำง :
ฟั งก์ชนั f จำก {a, b, c, d} ไปยัง {1, 2, 3, 4, 5} โดยที่ f(a) = 4, f(b) =
5, f(c) = 1, and f(d) = 3 เป็ น ฟั งก์ชนั แบบ one-to-one.
 ฟั งก์ชน
ั f จำก Z ไปยัง Z โดยที่ f(x) = x2 เป็ นฟั งก์ชนั แบบ one-to-one
หรือไม่ ?

ประเภทของฟั งก์ชนั : Surjection

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั f: AB จะถูกเรียกว่ำ onto หรือ surjective
(หรือ surjection) ถ้ำ
bB, aA with f(a)=b


ควำมหมำยง่ำยๆ คือ surjection หมำยถึงทุกๆ สมำชิกใน codomain จะถูก ma ดังนั้น range จะมีค่ำเท่ำกับ co-domain
ตัวอย่ำง: จงหำว่ำฟั งก์ชนั ต่อไปนี้ เป็ น surjection หรือไม่
กำหนด f เป็ นฟั งก์ชนั จำก {a, b, c, d} ไป {1, 2, 3} โดยf(a) = 3,
f(b) = 2, f(c) = 1, และ f(d) = 3
 ฟั งก์ชน
ั f จำก Z ไปยัง Z โดยที่ f(x) = x2
 ฟั งก์ชน
ั f จำก Z ไปยัง Z โดยที่ f(x) = x + 1

ประเภทของฟั งก์ชนั : Bijection



คำนิยำม: ฟั งก์ชนั f จะเป็ น bijection, ถ้ำ f เป็ นทั้งฟั งก์ชนั injection และ
surjection
ฟั งก์ชนั bijection มีควำมสำคัญเนื่ องจำกจะเป็ นฟั งก์ชนั ที่สำมำรถหำฟั งก์ชนั inverse
ได้
ตัวอย่ำง: ให้ f เป็ นฟั งก์ชนั จำก {a, b, c, d} ไป {1, 2, 3, 4} โดย f(a) = 4,
f(b) = 2, f(c) = 1และ f(d) = 3. จงหำว่ำ f เป็ นฟั งก์ชนั แบบ bijection
หรือไม่?
 ตรวจสอบว่ำเป็ น injection หรือไม่ จะเป็ นได้วำ่ ไม่มีค่ำไหนใด domain ที่
map ไปยังค่ำใน co-domain ซ้ำกัน ดังนั้น f เป็ น injection
 ตรวจสอบว่ำเป็ น surjection โดยจะเห็นได้วำ่ สมำชิกทุกตัวใด co-domainถูก
map ทั้งหมด (range = co-domain) ดังนั้น f เป็ น surjection
 ดังนั้ น f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (1)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
f: A  B จำกรูปข้ำงต้นเป็ นฟั งก์ชนั หรือไม่? เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (2)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข้ำงต้น จงหำว่ำ
f
เป็ นฟั งก์ชนั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (3)
A

a1
b1
a2
b2
a3
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข้ำงต้น จงหำว่ำ
f
เป็ นฟั งก์ชนั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (4)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
B
f: A  B จำกภำพข้ำงต้น จงหำว่ำ
f
เป็ นฟั งก์ชนั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (5)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข้ำงต้น จงหำว่ำ
f
เป็ นฟั งก์ชนั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (6)


กำหนด f:ZZ โดย f(x)=2x-3
 จงหำ domain, co-domain และ range ของ f?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
กำหนด f:NN โดย f(x)=2x-3
 จงหำ domain, co-domain และ range ของ f?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
มำทำแบบฝึ กหัดด้วยกัน (7)


กำหนด f:ZZ โดย f(x) = x2 - 5x + 5
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
กำหนด f:ZZ โดย f(x) = f(x) = 2x2 + 7x
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
Inverse Functions (1)



คำนิยำม: กำหนด f: AB เป็ นฟั งก์ชนั แบบ bijection, ฟั งก์ชนั
inverse ของ f คือฟั งก์ชนั ที่กำหนดค่ำของสมำชิก bB ไปยัง aAที่
ไม่ซ้ำกันใน f(a)=b
ฟั งก์ชนั inverse เขียนย่อด้วย f-1
เมื่อ f เป็ นฟั งก์ชนั แบบ bijection, ฟั งก์ชนั inverse คือ
f(a)=b  f-1(b)=a
Inverse Functions (2)

ทำไมต้องเป็ นฟั งก์ชนั แบบ bijective ถึงจะมีฟังก์ชนั inverse?
f ไม่เป็ นฟั งก์ชนั แบบ injection ซึ่งหมำยควำมว่ำบำง
สมำชิก bB ใน co-domain จะมี pre-image มำกกว่ำ 1 ค่ำ
เช่น a1 และ a2 ดังนั้นทำให้ไม่สำมำรถมีฟังก์ชนั inverse ได้เพรำะไม่
ทรำบว่ำ f-1(b) จะเท่ำกับ a1 หรือ a2
 พิจำรณำถ้ำ f ไม่เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ surjection ซึ่งหมำยควำมว่ำบำง
สมำชิก bB ไม่มี pre-image aA ทำให้ไม่สำมำรถหำค่ำของ f1(b) ได้
 พิจำรณำถ้ำ
Inverse Functions: Representation
f(a)
a
b
f -1(b)
A
Domain
B
Co-Domain
A function and its inverse
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 1
กำหนด f:RR โดย f(x) = 2x – 3
 จงหำ f-1?
1. ต้องมัน
่ ใจก่อนว่ำ f เป็ นฟั งก์ชนั แบบ bijection.
2. หำ inverse ด้วยวิธีกำรแทนที่




f(x) = y ดังนั้น f-1(y) = x
เมื่อ y=2x-3, ก็สำมำรถค่ำหำได้วำ่ x= (y+3)/2
ดังนั้น f-1(y)= (y+3)/2
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 2
กำหนด f(x)=x2. จงหำ f-1?
 กำหนดให้ domain กับ co-domain คือ f:RR

 เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ
 ไม่เพรำะ

bijection หรือไม่?
เช่น f(-2) = f(2) = 4
ถ้ำกำหนด f: A B ที่
A={xR |x0} และ B={yR | y0}
 เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่ ?
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 2 (ต่อ)




เพื่อจะหำฟั งก์ชนั inverse, กำหนด
 f-1(y)=x
 y=x2
แก้สมกำรหำค่ำ x, จะได้วำ่ x=y
แต่เนื่ องจำก dom(f) กำหนดไว้วำ่ สำหรับค่ำลบเท่ำนั้น และ rng(f) จะมี
ค่ำบวกเท่ำนั้นดังนั้น x ต้องมีคำ่ ลบ ซึ่งก็คือ
f-1(y)= -y
จำกตัวอย่ำงนี้ จะเห็นได้ domains และ co-domains มีควำมสำคัญมำก
กับฟั งก์ชนั
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 3

กำหนด f(x)=2x
 domain/codomain
ของฟั งก์ชนั ควรจะเป็ นยังไง เพื่อให้ฟังก์ชนั เป็ น
bijection?
 ฟั งก์ชน
ั inverse คืออะไร?
เฉลยคำตอบแรกให้ : ฟั งก์ชนั ควรเป็ น f:RR+
 ถ้ำเพิ่ม 0 ใน codomain จะเกิดอะไรขึ้ น?
 ถ้ำเปลี่ยน domain หรือ co-domain เป็ น Z จะเกิดอะไรขึ้ น?

Function Composition (1)



ค่ำของฟั งก์ชนั หนึ่ งสำมำรถจะใช้เป็ น input ของอีกฟั งก์ชนั ได้
คำนิยำม: กำหนด g:AB และ f:B C. ฟั งก์ชนั composition
ของ f และ g คือ
(f  g) (x)=f(g(x))
f  g อ่ำนว่ำ ‘f circle g’ หรือ ‘f composed with g’ หรือ
‘f following g’, หรือ ‘f of g’
Function Composition (2)



เนื่ องจำก (f  g)(x)=f(g(x)), ฟั งก์ชนั composition f  g สำมำรถ
กำหนดได้ก็ต่อเมื่อ range ของ g เป็ น subset ใน domain ของ f
f  g is defined  rng(g)  dom(f)
ลำดับ ของฟั งก์ชนั มีควำมหมำย: โดยจะทำจำกภำยในสุดก่อน
ดังนั้นหมำยควำมว่ำ f  g ไม่เหมือนกับ g  f
Composition: Graphical Representation
(f
rng(g)
g(a)
a
domain(g)
 g)(a)
g(a)
co-domain(g)
f(g(a))
g(a)
domain(f)
The composition of two functions
f(g(a))
Composition: Graphical Representation
(f
 g)(a)
f(g(a))
g(a)
a
A
g(a)
f(g(a))
B
C
The composition of two functions
Composition: ตัวอย่ำงที่ 1

กำหนด f, g เป็ น 2 ฟั งก์ชนั บน RR และนิ ยำมไว้ดงั นี้
f(x) = 2x – 3
g(x) = x2 + 1


จงหำ f  g และ g  f
ก่อนที่จะหำค่ำจะต้องพิจำรณำก่อนว่ำสำมำรถหำได้หรือไม่
f เป็ น bijective, ดังนั้น dom(f)=rng(f)= codomain(f)= R
 g มี dom(g)= R แต่ rng(g)={xR | x1}  R+
 เนื่ องจำก rng(g)={xR | x1} R+  dom(f) =R, f  g จึงสำมำรถ
หำค่ำได้
 เนื่ องจำก rng(f)= R  dom(g) =R , g  f ก็สำมำรถหำได้

Composition: ตัวอย่ำงที่ 1 (ต่อ)



จำกโจทย์ f(x) = 2x – 3 และ g(x) = x2 + 1
(f  g)(x) = f(g(x))
= f(x2+1) = 2(x2+1)-3
= 2x2 - 1
(g  f)(x) = g(f(x))
= g(2x-3)
= (2x-3)2 +1
= 4x2 - 12x + 10
ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟั งก์ชนั

กำรเท่ำกันของฟั งก์ชนั กำหนดฟั งก์ชนั f และ g จะเท่ำกันก็ต่อเมื่อ
 dom(f)
= dom(g)
  a dom(f) (f(a) = g(a))

ฟั งก์ชนั composition ไม่ commutative (f  g  g  f),
แต่ associative
(f  g)  h = f  (g  h)
ฟั งก์ชนั ที่สำคัญ: Identity

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั identity บน set A คือฟั งก์ชนั
: AA
กำหนดด้วย (a)=a สำหรับทุกค่ำ aA.

คุณสมบัติของฟั งก์ชนั identity:
 (a) = (f  f-1)(a) = (f-1  f)(a)
 (f   )(a) = (  f)(a) = f(a)
Inverses and Identity


ฟั งก์ชนั identity และกำร composition สำมำรถทำให้เรำกำหนด
คุณลักษณะของฟั งก์ชนั inverses ได้อีกหนึ่ งรูปแบบ
Theorem: ฟั งก์ชนั f: AB และ g: BA จะมี inverses ก็
ต่อเมื่อ
(g  f) = A and (f  g) = B
โดยที่ A และ B เป็ นฟั งก์ชนั ของ sets A และ B. นัน่ คือ,
aA, bB ( (g(f(a)) = a)  (f(g(b)) = b) )
ฟั งก์ชนั ที่สำคัญ: Absolute Value

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั absolute value ย่อด้วย x เป็ นฟั งก์ชนั f ที่
f: R {y R | y  0}. โดยค่ำของฟั งก์ชนั นิ ยำมดังนี้
x ถ้ำ x  0
x =
-x ถ้ำ x < 0
ฟั งก์ชนั ที่สำคัญ: Floor & Ceiling
y
3

2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
คำนิยำม: ฟั งก์ชนั floor เขียนย่อด้วย
x, เป็ นฟั งก์ชนั RZ ค่ำที่ได้คือค่ำ
ของจำนวนเต็มที่มำกที่สุดที่น้อยกว่ำหรือ
เท่ำกับ x
-2
-3
3
2

คำนิยำม: ฟั งก์ชนั ceiling เขียน
ย่อด้วย x, เป็ นฟั งก์ชนั RZ
ค่ำที่ได้คือค่ำของจำนวนเต็มที่นอ้ ย
ที่สุดที่มำกกว่ำหรือเท่ำกับ x
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
แบบฝึ กหัดทำส่ง (1)

กำหนดให้ f เป็ นฟั งก์ชนั f: Z  Z จงหำว่ำฟั งก์ชนั ด้ำนล่ำงเป็ น
ฟั งก์ชนั แบบ one-to-one, onto, และ bijection หรือไม่
=n−1
 f(n) = n2 + 1
 f(n) = n3
 f(n)
 f(n)
= n/2
แบบฝึ กหัดทำส่ง (2)

จงหำ f ◦ g และ g ◦ f เมื่อ
= x2 + 1
 g(x) = x + 2
 โดยทั้ง 2 ฟั งก์ชน
ั เป็ นฟั งก์ชนั จำก R ไป R
 f(x)

กำหนด f(x) = x2/3 จงหำ f(S) เมื่อ
S
={−2,−1, 0, 1, 2, 3}.
 S ={0, 1, 2, 3, 4, 5}.
 S ={1, 5, 7, 11}.
 S ={2, 6, 10, 14}.

similar documents