Dom(f)

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TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO
1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Función real de variable
real:
f : 
x  f ( x)
Regla que asigna a cada número x
un único f(x).
Recorrido (valores de y)
Las funciones de una variable real se pueden representar gráficamente sobre el
plano (dos dimensiones).
f ( x)  x  3  y  x  3
2
2
Dominio (valores de x)
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Función real de variable
real:
f : 
x  f ( x)
Regla que asigna a cada número x un
único f(x).
f ( x)  x  3
2
Cada valor de x sólo tiene un posible
valor de f(x).
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Función real de variable
real:
f : 
x  f ( x)
Regla que asigna a cada número x un
único f(x).
No son funciones porque a un valor
de x le corresponden dos o más
valores de y.
x  y 9
2
2
Son CURVAS.
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Input 1
Fórmula
Input 2
Regla
Método
Input 3
Output 1
Output 2
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Ejemplo 1: Una compañía produce una cantidad x de un producto. El ingreso
recibido por cada unidad del producto son 2 unidades monetarias. Escribe la
función ingresos. Calcula el ingreso para diferentes cantidades de producción.
Ejemplo 2: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El
ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades
monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos. Calcula el ingreso para
diferentes cantidades de producción.
Ejemplo 3: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El
ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades
monetarias, respectivamente. Los costes unitarios son 1, 2.5 y 3 unidades
monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos y la función costes.
Escribe ambas funciones en una sola. Calcula el ingreso y los costes para
diferentes cantidades de producción.
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
f ( x)  x  4 x  2 x  2
f ( x)  e  3
  
  
3
2
x
f ( x, y )  x  y  1
f ( x, y )   y  2
  
  
2
2
2
2
2. FUNCIONES ELEMENTALES
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.1 GRADO 1: LA RECTA
f ( x)  2 x  1
n  1  pasa por (0,1)
m 
y
x
m  2  Cada unidad que avanza horizontalmente,
sube dos verticalmente

2
1
Dom(f)=(-∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.1 GRADO 1: LA RECTA
f ( x) 
4
x 1
3
n   1  pasa por (0,-1)
m 
m 
y
x

4
3
Dom(f)=(-∞,+∞)
4
 Cada tres unidades que avanza
3
horizontalmente, sube cuatro
verticalmente
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA
f ( x)  x
2
Rec(f)=[0,+∞)
c  0  pasa por (0,0)
xv 
b
2a

0
 0  Vértice en el punto (0,f(0)), es
2
decir, (0,0)
a  0  cóncava
x 0 x0
2
Dom(f)=(-∞,+∞)
Sólo una solución: un punto de
corte con el eje x: (0,0)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA
f ( x)   x  6 x  5
2
c   5  pasa por (0,-5)
Rec(f)=(-∞,4]
xv 
b
2a

6
2
3
Vértice en el punto (3,f(3)), es
decir, (3,4)
a  0  convexa
 x  6 x  5  0  x1  1 ; x 2  5
2
Dos soluciones: puntos de corte con el eje x
en: (1,0) y (5,0)
Dom(f)=(-∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.3 GRADO 3
f ( x)  x
3
Rec(f)=(-∞,+ ∞)
d  0  pasa por (0,0)
x 0 x0
Una solución: corta al eje x en (0,0)
3
Dom(f)=(-∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.3 GRADO 3
f ( x )   x  3 x  13 x  15
3
2
d   15  pasa por (0,-15)
Rec(f)=(-∞,+ ∞)
a  0  cóncava/convexa
 x  3 x  13 x  15  0  x1   3 ; x 2  1 ; x 3  5
3
2
Tres soluciones: puntos de corte con el eje x
en: (-3,0) ; (1,0) ; (5,0)
-1
1
Regla de Ruffini:
Dom(f)=(-∞,+∞)
-1
5
-1
-3
3
13
-15
-1
2
15
2
15
0
-5
-15
-3
0
3
-1
0
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
2.1.4 GRADO 4
f ( x)  x
4
Rec(f)=[0,+ ∞)
e  0  pasa por (0,0)
x 0 x0
Una solución: corta al eje x en (0,0)
4
Dom(f)=(-∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.2 FUNCIONES a/xn
n par
f ( x) 
1
2
Rec(f)=(0,+ ∞)
x
asíntota horizontal y=0
asíntota vertical x=0
Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.2 FUNCIONES a/xn
n impar
Rec(f)=(-∞,+ ∞)-{0}
f ( x) 
1
 Hipérbola
x
asíntota horizontal y=0
asíntota vertical x=0
Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.3 FUNCIÓN RADICAL
n
x
n par
Rec(f)=[0,+ ∞)
f ( x) 
Dom(f)=[0,+∞)
x
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.3 FUNCIÓN RADICAL
n
x
n impar
Rec(f)=(- ∞,+ ∞)
f ( x) 
Dom(f)=(- ∞,+∞)
3
x
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
Rec(f)=(0,+ ∞)
2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0)
f ( x)  2
x
g ( x)  3
x
h( x)  4
x
asíntota horizontal y=0
Dom(f)=(- ∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0)
2.4.1 Caso particular f(x)=ex
Rec(f)=(0,+ ∞)
f ( x)  e
Dom(f)=(- ∞,+∞)
x
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x)
Rec(f)=(- ∞,+ ∞)
f ( x )  log x
asíntota vertical x=0
Dom(f)=(0,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x)
2.4.1 Caso particular f(x)=ln(x)
f ( x )  log x
Rec(f)=(- ∞,+ ∞)
g ( x )  ln x
Dom(f)=(0,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Rec(f)=(- 1,1)
f ( x )  sin x
Dom(f)=(- ∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Rec(f)=(- 1,1)
f ( x )  cos x
Dom(f)=(- ∞,+∞)
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.7 FUNCIONES A TROZOS
x2

f ( x)  
2 x  1

x 1
x 1
Extremos absolutos
Máximo absoluto: No tiene.
Mínimo absoluto: (0,0)
Extremos relativos
Máximo relativo: No tiene.
Mínimo relativo: (0,0)
Trozo 1 (-∞ -,1]
Trozo 2 (1,+ ∞)
Continuidad
Presenta una discontinuidad de
salto finito en x=1
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.7 FUNCIONES A TROZOS

x  2

 2
f ( x )   x  6 x  12

1
 x 1
4
0 x2
2 x4
4 x8
Extremos absolutos
Máximo absoluto: (2,4) y (4,4)
Mínimo absoluto: (0,2)
Extremos relativos
Máximo relativo: (2,4) y (4,4)
Mínimo relativo: (3,3)
Trozo 1
Trozo 2
Trozo 3
Continuidad
Presenta una discontinuidad de
salto finito en x=4
2.
FUNCIONES ELEMENTALES
2.7 FUNCIONES A TROZOS

3 x
x  1


f ( x)  2
1  x  1

 2x
x 1

x3
Extremos absolutos
Máximo absoluto: No tiene.
Mínimo absoluto: No tiene
Extremos relativos
Máximo relativo: No tiene.
Mínimo relativo: No tiene
asíntota
vertical x=3
Trozo 1
Trozo 2
Trozo 3
Continuidad
Presenta discontinuidades de
salto finito en x=-1 y x=1
Presenta una discontinuidad de
salto infinito en x=3
3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO
DE UNA FUNCIÓN
3.
ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO
f ( x) 
x
x  4x  5
2
Dominio
Es una función racional, por lo que
buscamos dónde se anula el
denominador:
x  4 x  5  0  x1   1 ; x 2  5
2
asíntota
asíntota
vertical x=-1
vertical x=5
por tanto: Dom ( f )    1, 5}
3.
ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO
f ( x) 
x  10 x  16
2
Dominio
Es una función con una raíz
cuadrada que existirá cuando
cuando el radicando sea positivo o
cero.
x  10 x  16  0  x    , 2   8 ,  
2
por tanto:
Dom ( f )     , 2   8 ,  
Entre 2 y 8 la función no
existe: Tiene en x=2 y
x=8 discontinuidades de
2ª especie.
4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
DE UNA FUNCIÓN
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
Ejemplo 1
Una empresa fabrica x unidades de un producto. Los ingresos, en euros, que
recibe al venderlo vienen dados por la función I(x)=120x. Los gastos que
suponen la fabricación se rigen mediante la función G(x)=x2+3200.
a) Realiza una tabla comparando ingresos, gastos y beneficio para diferentes
cantidades de x (de 0 a 100).
b) ¿Para cuántas unidades vendidas los ingresos igualan a los gastos?
c) Escribe la función beneficio y comprueba que coincide con los valores de la
tabla.
d) Calcula el beneficio que obtiene por cada unidad vendida para diferentes
valores de x. Escribe la función beneficio unitario.
4.
Ejemplo 1
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
Ejemplo 2
El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de
la función A(t)=30t/(t+2), siendo t el número de días transcurridos desde el
comienzo de la epidemia.
a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día?
b) ¿En qué el número de afectados fue 15?
c) Si transcurren una gran cantidad de días, ¿tiende a estabilizarse el número de
afectados? ¿o crece indefinidamente?
nº afectados
t(días)
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
Ejemplo 3
El porcentaje de IRPF atribuido a un trabajador depende del sueldo. Si el sueldo
es menor que 2000 €, el porcentaje será de 15%. Si el sueldo está entre 2000 y
5000 € se aplicará un coeficiente de 0,01 al sueldo y se le restarán 5 puntos
porcentuales. Para sueldos superiores a 5000 € el porcentaje será siempre de un
45%.
a) Escribe la función que determina el porcentaje de IRPF en función del sueldo.
b) Calcula el porcentaje de IRPF para los siguientes sueldos: 1800 €, 2700 €,
4500 € y 6000 €.
IRPF (%)
s(€)
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
Ejemplo 4
Una empresa estima que el precio de venta de un artículo en función de los
artículos fabricados viene dado por la función p(n)=12-0,01n.
Halla la función que determina los ingresos totales de la empresa por la venta de
n artículos.
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
4.1 FUNCIONES LINEALES
CASO 1: Conozco m y n
Ejemplo 1: El alquiler de un coche cuesta 60€ más 15€ por cada día de alquiler.
Ejemplo 2: El precio de una llamada de teléfono de una compañía es: 15
céntimos por establecimiento de llamada y 8 céntimos por minuto.
CASO 2: Conozco dos puntos (x1,y1) y (x2,y2)
Ejemplo 1: Halla la función coste de una llamada si 1 min son 28 céntimos y 2
minutos cuestan 36 céntimos.
Ejemplo 2: Ídem si 7min 45s son 82 céntimos y 1min 21s son 30,8 céntimos.
Ejemplo 3: En una universidad, en el 2002 había matriculados 10400 alumnos y
en el año 2007, 13200. Halla la función que da el número de alumnos según el
año. ¿Cuántos había en 2005? ¿Y en 2013?
Ejemplo 4: Si el precio de una entrada de cine es 6€ acuden 320 personas. Por
cada 0,25€ de aumento en la entrada, acuden 10 personas menos. Halla la
función que determina el número de espectadores en función del precio y la
función que determina los ingresos del cine en función del precio.
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
4.2 FUNCIÓN NO LINEAL A PARTIR DEL ENUNCIADO
Ejemplo 1
Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por
ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo
comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250
euros.
Escribe la función que determina los ingresos totales si se contratan x
comerciales más.
4.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL
4.2 FUNCIÓN A PARTIR DEL ENUNCIADO
Ejemplo 2
Una empresa tiene plantadas 1200 cepas de vid, produciendo cada cepa una
media de 16 kg de uva. Según un estudio, por cada cepa que se añade, las cepas
producen de media 0,01 kg menos de uva cada una.
Escribe la función que determina la producción de uvas en función de las cepas
que se añaden.
http://www.cadenaser.com/sociedad/articulo/enigma-mesjunio/csrcsrpor/20120607csrcsrsoc_2/Tes

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