eje focal

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LUGAR GEOMÉTRICO
Lugar geométrico del plano es el conjunto de puntos que cumplen una condición determinada.
Mediatriz de un segmento
Bisectriz de un ángulo
d(P, A) = d(P, B)
d(P, r) = d(P, s)
Ax + By + C = A'x + B'y + C'
2
2
A +B
2
A' + B'
2
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1º BACHILLERATO | Matemáticas
© Oxford University Press España, S.A. 2008
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan R de otro punto llamado centro C(a, b)
Ecuación:
2
2
(x - a) + (y - b) = R
Elevando al cuadrado: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2
Reordenando: x2 + y2 + mx + ny + p = 0
donde:
m = -2a
n = -2b
p = a2 + b2 – R2
-m -n
,
)
2 2
El centro tiene como coordenadas:
C(
El radio es:
R=
1
2
2
m + n - 4p
2
• Si a2 + b2 – p > 0 la circunferencia existe
• Si a2 + b2 – p = 0 la circunferencia es un punto
• Si a2 + b2 – p < 0 la circunferencia no existe
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ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es
constante.
Se cumple que:
PF + PF’ = constante
Operando y reordenando nos
queda la ecuación de una
elipse centrada en el origen
de coordenadas:
2
2
x
y
2 +
2 = 1
a
b
• distancia focal = 2c
semidistancia focal = c
• vértices: A, A’, B y B’
excentricidad de la elipse: e = c < 1
a
e se aproxima más a 1 cuanto más achatada sea la elipse
• eje mayor = 2a
semieje mayor = a
eje menor = 2b
semieje menor = b
• centro: O
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HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’,
es constante.
excentricidad de la hipérbola:
c
e= >1
a
cuanto mayor sea e más cerradas
estarán sus ramas
• distancia focal = 2c
semidistancia focal = c
• vértices: A y A’
• eje focal pasa por los focos F F’
• eje secundario mediatriz de FF’
• centro: O
Se cumple que: |PF - PF’| = cte
Operando y reordenando nos queda la
ecuación de una hipérbola centrada
en el origen de coordenadas:
2
2
x
y
2 2 = 1
a
b
donde
• a semieje real
• b semieje imaginario
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PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz y de un punto, llamado foco F.
parábola de eje vertical
• y = ax2 + bx + c
2
• V = ( -b , b - 4ac )
2a
4a
• si a > 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia arriba
•si a < 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia abajo
p
F( , 0)
2
p
x=2
• parámetro = p
foco:
• vértices: V
directriz:
• eje: perpendicular a la directriz
Se cumple que d(P, d) = d(P, F)
Operando y ordenando nos queda la
ecuación de una parábola con vértice
en (0,0) y directriz vertical:
parábola de eje horizontal
• x = ay2 + by + c
2
b - 4ac -b
• V= ()
,
4a
2a
• si a > 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia la derecha
• si a < 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia la izquierda
y2 = 2px
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