阿波羅尼斯圓(764 KB )

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圓的方程式
林鈺傑
重點摘要
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復習:圓的標準式、直徑式、一般式
阿波羅尼斯圓
其他相關問題
圓的表示方式
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標準式:當一圓C的圓心為(h,k)半徑為r
時,圓C可表示為(x-h)2+(y-k)2=r2
利用此方式的重點在於
1.找到圓心
2.找出半徑
圓的表示方式
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直徑式:已知圓上兩點(x0,y0),(x1,y1)且過這
兩點的線為圓C的直徑,則
圓C可表示為(x-x0) (x-x1) + (y-y0)(y-y1)=0
利用此表示式的重點
找出圓C直徑
圓的表示方式
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一般式:之前兩種圓的式子展開後,表示
為x2+y2+dx+ey+f=0
由一般式整理可知:
圓心在   d ,  e 


半徑為
1
2

2
2
d e 4f
2
2
圓系
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圓C1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0與
圓C2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0通過點A、B
則所有通過A、B的圓方程式可表為
k(x2+y2+d1x+e1y+f1)+l(x2+y2+d2x+e2y+f2)=0
若所求非C2,則可表為
x2+y2+d1x+e1y+f1+l(x2+y2+d2x+e2y+f2)=0
圓系
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圓C:x2+y2+dx+ey+f=0及
直線L:ax+by+c=0通過點A、B
則所有過A、B的圓方程式可表為
x2+y2+dx+ey+f+k(ax+by+c)=0
例5
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設A(0,0),B(6,0),試求滿足 P A  2 P B 的
P點軌跡方程式,並作出它的圖形。
例5
解1:
PA  2 PB

x  y
2
2
2
 x  6
2
 y
2
2
2 

 x  y  4  x  6  y


2
2
2
2

 x  y  4  x  12 x  36  y 
2
2
 3 x  3 y  48 x  144  0
2
2
  x  8   y  0  4
2
圓心為(8,0),半徑為4的圓
2
2
d,e交AB的直線於P1、P2
a:b=2:1
d為角平分線
∠P1PP2是不是直角?
e為外角平分線
例5
解2:
動點P是滿足 P A : P B  2 : 1 且不在直線 A B 上
做  APB 的內角平分線會交直線 A B 於P1外角
平分線交於P2
 P1 P B   P2 P B 
1
2
1
  A P B內 角   A P B 外 角   180  
 P P1  P P2
解為以P1P2為直徑的圓
2
例5
在直線 A B 上找兩點P1、P2,分別為 A B 上使
其 P A : P B  2 : 1 的內分點及外分點。
P1 
P2 
1
3
2
 0, 0    6, 0    4, 0 
1
1
3
2
 0, 0    6, 0   12, 0 
1
則以P1及P2畫出來的圓為
(x-4)(x-12)+y2=0
=>(x-8)2+y2=16
阿波羅尼斯
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阿波羅尼斯(約前262年至前190年,比阿基
米德略晚)是古希臘的幾何學家,著有《圓
錐曲線》、《論相切》
為之後的天文學家如刻卜勒、牛頓、哈雷
等提供研究行星及慧星軌道給了一個基礎
阿波羅尼斯圓
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而如上面例題中到兩點A、B的距離比是k:1
其中k≠0的點所形成的圓,稱為阿波羅尼斯
圓,設點A、B的坐標分別為(a,0)、(b,0)
PA  k PB
2
 PA  k PB

x  a
2
2
2
2
2

 y  k x  b  y 


2
2
雙極坐標
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不同的k會形成不同的阿波羅尼斯圓,而我
們這些阿波羅尼斯圓收集起來,稱為雙曲
圓系(藍圓)
將雙曲圓系過AB的所有圓系(又稱橢圓圓
系)(紅圓)畫在同一張圖上
發現所有藍圓和紅圓相交的地方都是直角,
而這也可形成另一種坐標系統(雙極坐標)
練習10
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平面上至A(-3,1)、B(2,1)之距離比為3:2之
點P所成的軌跡方程式為何?
P1=(0,1)
P2=(12,1)
(x-6)2+(y-1)2=36
練習11
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ΔPQR中,∠P=90∘,Q(-2,3)、R(1,-1)請問P
點所成的圖形方程式
(x+2)(x-1)+(y-3)(y+1)=0
2
1
25
2

  x     y  1 
2
4

5
 1 
圓 心   ,1  半 徑 的 圓 但 不 包 括 Q、 R
2
 2 
例6
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設A(0,0)為圓(x-1)2+(y-2)2=16內部一點,
求過點A所有弦的中點軌跡方程式。
例6
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解1:
設弦為直線L:y=mx


解二元二次聯立方程式 
 x  1
2
y  mx

  x  1    y  2   16
  m x  2   16
2
2
2
  m  1  x   2  4 m  x  11  0
2
x1  x 2 
2
2  4m
m 1
2

y1  y 2  m x1  m x 2 
x1  x 2

2
2m  4m
m 1
2
1  2m
m 1
2
2

y1  y 2
2

m  2m
m 1
2
2
例6
x1  x 2

2
y1  y 2
2

1  2m
m 1
2
m  2m
2
m 1
2
1  2m

 x  m 2  1
,m  R

2
 y  m  2m
2

m 1
例6
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解2:
令P為弦中點,則  O P A  9 0 
P點落在以 A O 為半徑的圓上
A(0,0),O(1,2)
故軌跡方程式為
x(x-1)+y(y-2)=0
=>x2+y2-x-2y=0
練習12
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已知A(3,0)為圓(x-1)2+(y-2)2=16內一點,
求過A所有弦的中點軌跡方程式。
A(3,0),O(1,2)
軌跡方程式為
(x-3)x+(y-1)(y-2)=0
x2-3x+y2-3y+2
例7
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自定點A(6,0)作線段 A P ,當P點繞原點繞
一圈圓,且此圓的半徑為2,則 A P 之中點
所形成的圖形之方程式為何?
例7
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解1:
令M為 A P 中點,
 x6 y
則當P=(x,y)時,M=(x’,y’)=  2 , 2 


x=2x’-6,y=2y’
P點滿足方程式x2+y2=4
=>(2x’-6)2+(2y’)2=4
=>(x’-3)2+y2=1
練習16
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設O為原點,且Q是圓(x-1)2+(y+2)2=9的動
點,若 O P  2 O Q ,則動點P所成的圖形方
程式為何?
(x’,y’)=(2x,2y)=>(x,y)=(x’/2,y’/2)
(x-2)2+(y+4)2=36

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