準凹関数

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制約なしの関数の最大化問題
• 経済学では関数を最大、ないしは、最小にす
る問題が、いたるところで出る。
• 例 費用の最小化や利潤の最大化
• 予算制約下のような制約付最大化問題は、
次章
一変数関数の最大化
• f(x) (一実変数の実数値関数)の最大化。
• f(x)の最小化は、-f(x)の最大化
• 問題がうまく出来ていれば、微分して0とおけ
ば、求める解が出る。
• 以下では、少し細かく見る
最大化の必要条件
f  x がaで微分可能
f '  a   0  f  x がaで極大
f  x がa, bで微分可能
f '  x *  0  f  x がx *で極大  f  x がx *で
極小化も 同じ
極大化の十分条件
f  x
x*
を含む
 a, b 
で二階連続微分可能
二次式で近似
f "  x *
2
f  x *  f '  x * x - x * 
 x - x *
2
平均値の定理による評価
 x   0,1
f  x   f  x *  f '  x * x - x * 
f "  x x  1 -  x  x *
2
 x - x *
2
 x   0,1
f  x   f  x *  f '  x * x - x * 
f "  x x  1 -  x  x *
2
f '  x *  0 で
f " x *  0
なら
f " x  が連続なので
x を十分 x * に近く取れば
f " x  1 -   x *  0
  0, x   x * - , x *    f  x   f  x *
 x - x *
2
最大化の十分条件についての命題
• 「 f(x)が x*を含む開区間で二階連続微分可能
のとき、 f’(x*) 0, f”(x*) 0ならば、 x*のある近
傍があって、f(x)は x*で、その近傍での最大を
取る 」
• f(x)は x*で、極大をとる
• 局所的な最大だが局大でなく極大
• 微分して0で二階微分が負が極大の十分条件
• 微分して0で二階微分が正が極小の十分条件
• 存在するのは近傍だが、多くの問題は、大域的
に行儀のいい性質を持つ
凹関数
f  x  開区間で定義された二階連続微分可能な関数
f " x   0 がその開区間で成立すれば
f ' x   0
x
で一意の最大をとる
このような関数は「厳密な凹関数」
凹関数の定義
  0,1  f  x  1-  y    f  x   1-  f  y 
f  x  1 -  y 
 f  x   1 -  f  y 
x  x  1-  y y
二階微分可能であれば f”(x) 0
  0,1  f  x  1-  y    f  x   1-  f  y 
厳密な凹関数
凸関数と凹関数
  0,1  f  x  1-  y     f  x   1-  f  y 
(厳密な)凸関数
線形関数やアフィン関数は凸関数かつ凹関数
凸関数の例
x2 ,exp  x 
凹関数の例
x ,ln  x 
準凹関数
関数に最大値を取るあるだけならば、準凹関数で十分
準凹関数の定義
  0,1  f  x  1-  y   min  f  x  , f  y 
f  x  1 -  y 
min  f  x  , f  y 
x  x  1-  y y
端っこの小さいほうより大きければよく、一様に膨らんでいる
必要はない
準凹関数の注意点
• 単調関数は、すべて準凹関数
• ある区間で二階連続微分可能なら
f’(x)=0  f”(x)<0が十分条件
• 凹関数は準凹関数
• 経済学的には、序数性に対応
• 凹関数の和は、凹関数だが、準凹関数の和
は、準凹関数とは限らない。
[0,∞]上の連続微分関数の最大化の必要条件
ケース 1
x 0,  , f '  x   0
ケース 2
x  0, f '  x   0
ケース 1 またはケース と
xf '  x   0, f '  x   0
は同値
例 競争企業の利潤最大化
単一の財を生産する企業
x
生産量
C  x
p
価格
総費用(関数)
  x   px - C  x 
利潤(関数)
価格を一定として、最大化の必要(一階の)条件(FOC)
微分して0
 '  x  p - C '  x  0  p  C '  x
価格=限界費用
極大化の十分条件(二階の条件)
  x   px - C  x 
 '  x   p - C '  x   0 FOC
二階微分が負
" x   -C " x   0  C " x   0
限界費用は逓増
供給関数
利潤を最大にする生産量を価格の関数とすると、供給関数
x  pp 
価格=限界費用(FOC)
p  C '  x  p 
両辺を微分
1
1  C " x  p   x '  p   x '  p  
C " x  p  
二階の条件が満たされ、限界費用が逓増すれば正
供給曲線は、右上がり
例
独占企業の利潤最大化
一つの財市場に一つしか企業が無いとする。
p
p
価格
D  p
需要関数
厳密に減少的
逆関数が存在
P  D  p   p
D  P  x   x
P  x
逆需要関数
C  x
総費用(関数)
  x   P  x  x - C  x  利潤(関数)
P  x  x  R  x  収入関数
  x   R  x  - C  x  利潤(関数)
利潤最大化の必要条件
微分して0
 '  x  R '  x - C '  x  0  R '  x  C '  x
限界収入=限界費用
R '  x  C '  x
限界収入=限界費用
P  x x  R  x
 P  x x '  xP '  x  P  x  C '  x  0
限界費用が厳密に正
D  P  x   x  D '  P  x  P '  x   1




1
1

0
xP '  x   P  x   D  p 
 p  p 1
pD '  p  
D ' p
 
D  p 





1
1

0
xP '  x   P  x   D  p 
 p  p 1
pD '  p  
D ' p
 
D  p 

pD '  p 
1
D  p
dD  p 
pD '  p 
D  p

dp
D  p
p
需要の弾力性
需要の変化率÷価格の変化率
pD '  p 
1
D  p
需要の弾力性が1以下
価格を1%上げると需要の減少は1%以下
売上は増え、需要が減るので費用も減る
必ず儲かる
利潤を最大化しているとき価格を上げると、需要が、1%以上減り、
収入が減る
二階の条件
  x  P  x x - C  x
微分して0
 '  x  P '  x x  P  x - C '  x  0
もう一階微分して負
" x   xP" x   2P '  x  - C " x   0
一階の条件
" x   xP" x   2P '  x  - C " x   0
C " x   0, P '  x   0, P " x   0 が十分条件
限界費用逓増、需要関数が右下がりで凹
p
「ぼこ」 としている需要曲線
はもっともらしくない
限界費用一定として価格について最大化する
  p   p - c D  p
利潤
微分して0
 p - c D  p'   p - c D '  p  D  p  0
もう一階微分して負
 p - c  D  p "   p - c  D '  p   D  p  '
  p - c  D " p   2D '  p   0
FOCを代入
D  p
D " p   2D '  p   0
D ' p
FOC
D  p
D " p   2D '  p   0
D ' p
D ' p
d  1 
,

  2
dp  D  p  
D  p
2




D
"
p
D
'
p




d
1
2

   2
3
2 

dp  D  p    D  p 
D  p  
2

D ' p  D  p

D "  p   2 D '  p  
3 

D  p  D ' p

D ' p  0
d2  1 

0

2 
dp  D  p  
d2  1 
  0
2 

dp  D  p  
例
需要関数の逆数が凸関数ならば、
利潤関数が準凹関数
D ' p
d
ln D  p  
dp
D  p
2
D " p  D '  p 
d
ln D  p  
0
2
2
dp
D  p D  p
D  p
D " p   2D '  p   0
D ' p
で大丈夫
D " p  D '  p 
d
ln D  p  
0
2
2
dp
D  p D  p
2
2
需要関数が対数凹関数
例
D  p   Ae
- p
Caplin and Nalebuff "Aggregation and Imperfect
competion: on the existence of equilibrium",
Econometirca, 1991
費用関数が凸で、需要が微分可能とは限らないとき
Mizuno "On the existence of a unique equilibrium for
models of product differentiation", International
Journal of Industrial Organization, 2003
2変数の関数の極大化
f  x, y  :  x , y でxと yについて偏微分可能
f  x , y 
f  x , y 
 0,
 0が極大化の必要条件
x
y
f  x , y 
 0,でないと き はyを 変えないで
x
xを 少し 動かすと 大き く も 小さ く も なる
極大化の十分条件
動く 方向が各軸方向と は限ら ないので
2 f  x , y 
2 f  x , y 
 0と
0
2
2
x
y
では不十分
各軸方向で  x , y  から 離れる と 減少する と し ても
他の方向では増加する かも し れない。
x  r cos  
y  r sin  
で
z  r 2 cos  4 
展開すると
 x4  y 4 - 6x2 y 2

x2  y 2
z

0

 x, y    0, 0 
 x, y    0, 0 
x軸とy軸上では(0,0)で最小、45度線上では最大
鞍点(saddle point)
x  r cos  
y  r sin  
で
z  r cos  2 
2
展開すると
z  x2 - y 2
x軸で (0,0)で最小とy軸上では最大
一般の方向での極大
    f  x    x - x  , y    y - y  
 f  x   u, y   v 
 x , y で
 x, y 
f が極大
 0
任意(すべて)の
 x, y 
 x, y    x , y に対して
   が0で極大
 1
 0
 x  1 -   x
任意(すべて)の
 x, y    x , y 
に対して
   が0で極大
    f  x    x - x  , y    y - y  
 f  x   u, y   v 
    f  x  u, y  v 
 '  
 0
 f x  x   u, y   v 
 0
u  f y  x   u, y   v 
 fx  x, y  u  f y  x, y  v  0
 fx  x, y   f y  x, y   0
 0
u
 '  
 0
 f x  x   u, y   v 
 0
u  f y  x   u, y   v 
 fx  x, y  u  f y  x, y  v  0
 "    0  f xx  x   u, y   v 
2 f xy  x   u, y   v 
 0
2
u
 0
 0 uv  f yy  x   u, y   v 
 f xx  x , y  u 2  2 f xy  x , y  uv  f yy  x , y  v 2  0
when  x, y    x , y   u, v   0,0
u, v   1,0 , u, v   0,1
f xx  x , y   0, f yy  x , y   0
u
2
v
 0
f xx  x , y  u  2 f xy  x , y  uv  f yy  x , y  v  0
2
2
v  0, f xx  x , y   0
2

f xy  x , y   u  f yy  x , y  
2 u
 f xx  x , y  v     2

0



 v 

f
x
,
y
v
f
x
,
y






xx
xx


判別式が負
 f xy  x , y  
f yy  x , y 
0
 2
 - 4
f xx  x , y 
 f xx  x , y  
2
 f xy  x , y   f xx  x , y  f yy  x , y 
2
多変数の関数の最大化
最大化の必要条件
f  x1, x2 ,..., xn 
n(実)変数の実関数
f  x   x1, x2 ,..., xn   x
最大化の必要条件(一階の条件 )
f  x  連続微分可能
 x1, x2 ,..., xn   x
一つのiについて、
f  x1 , x2 ,..., xn 
0
xi
の一つの近傍が定義域に含まれる
(端ではない)
xiを大きくするか小さくすれば
f(x)は大きくも小さくもなる
一つのiについて、
f  x1 , x2 ,..., xn 
0
xi
xiを大きくするか小さくすれば
f(x)は大きくも小さくもなる
対偶をとる、
 x1, x2 ,..., xn 
で f(x)が極大(極小)
f  x1 , x2 ,..., xn  f  x 

 0, i  1,..., n
xi
xi
グラディエント・ベクトルと
 f  x  



x
1 

 f  x  


f  x    x2 




 f  x  


 xn 
最大化(最小化)の必要条件
f  x   0
例 利潤最大化
  K , L  pK  L - rK - wL
  0,   0,    1
コッブ・ダグラス生産関数による利潤
利潤最大化の一階の条件(微分して0)
  K , L 
 -1 
 -1 
  pK L - r  0   pK L  r
K
  K , L 
  -1
  -1
  pK L - w  0   pK L  w
L
 pK
 -1 
L r
 pK L
  -1
w
対数を取る
ln   ln p - 1 -   ln K   ln L  ln r
ln   ln p   ln K - 1 -   ln L  ln w
連立方程式を解く
1 -   ln r - ln      ln w - ln   - ln p
 - 1 -  1 -  
1 -   ln r - ln  - ln p     ln w - ln  - ln p 
-
ln K 
1- - 
ln L 
  ln r - ln    1 -   ln w - ln   - ln p
 - 1 -  1 -  
-
  ln r - ln  - ln p   1 -   ln w - ln  - ln p 
1- - 
ln K  -
1 -   ln r - ln  - ln p     ln w - ln  - ln p 
1- - 
  ln r - ln  - ln p   1 -   ln w - ln  - ln p 
ln L  1- - 
元にもどす
 r 
K 


p


-
1- 
1- - 
 r 
L


p


-

1- - 
 w 



p


-

1- - 
 w 



p


-
1-
1- - 
共にrとwの減少関数
ln   ln p - 1 -   ln K   ln L  ln r
ln   ln p   ln K - 1 -   ln L  ln w
rで偏微分する
1 K
1 L 1
- 1 -  


K r
L r r
1 K
1 L

- 1 -  
0
K r
L r
連立方程式を解く
1 K
1
1- 
1
1- 

K r  - 1 -  1 -   r
1- -  r
1 L
1

1


L r  - 1 -  1 -   r
1- -  r
1 K
1 L 1


K r
L r r
1 K
1 L

- 1 -  
0
K r
L r
- 1 -  
全微分式に書く
1
1
dr
- 1 -   dK   dL 
K
L
r
1
1
dw
 dK - 1 -   dL 
K
L
w
ロチェスター・ハットを使う
- 1 -   Kˆ   Lˆ  rˆ
 Kˆ - 1 -   Lˆ  wˆ
- 1 -   Kˆ   Lˆ  rˆ
 Kˆ - 1 -   Lˆ  wˆ
行列で書くと
   Kˆ   rˆ 
 - 1 -  

     
- 1 -     Lˆ   wˆ 
 
逆転する
-1
ˆ
 K   - 1 -  
   rˆ 
 
  
 Lˆ 
- 1 -     wˆ 
   
-    rˆ 
 - 1 -  
1
1


   - 1 -     wˆ 
1 -  -   -
1- - 
 1 -   rˆ   wˆ 


  rˆ  1 -   wˆ 
  K , L  pK  L - rK - wL
   1
例
2
  
3
  K , L 
 -1 
  pK L - r ,
K
2
   K , L
 -2 
   - 1 pK L  0
2
K
Kについて二階の条件を満たし
Lについても同様に二階の条件を満たす
  K , L  pK  L - rK - wL
   1
例
2
  
3
K Lx


  K , L   px -  r  w x  px  x -  r  w  


3
x   r  w
4
3
1
3
xを大きくするとΠはいくらでも大きくなり、最大値をとらない。
極大化の十分条件(二階の条件)
• 極大化の十分条件については、少しややこしい
• 変数が一つの座標軸の方向のみに動くわけでは
ない
2 f  x 
0
2
xi
では十分ではない
一般の方向での極大
    f  x  1 -   x 

 f  x1  1 -   x1 ,...,  xn  1 -   x n

 1
x
x
で
f が極大
 0
任意(すべて)の
   が0で極大
x
に対して
x
 0
 x  1 -   x
一階の条件 (必要条件)
    f  x  1 -   x 

 f  x1  1 -   x1 ,...,  xn  1 -   x n

で 微分して0で 評価して0
 '   
df  x1  1 -   x1 ,  x2  1 -   x2 ,...,  xn  1 -   xn 
d
f
f
f

 x1 - x1    x2 - x2   ...   xn - xn 
x1
x2
xn
 f  x  1 -   x   x - x 
T
f
f
f
 '   
 x1 - x1    x2 - x2   ...   xn - xn 
x1
x2
xn

 f  x  1 -   x   x - x   f  x  1 -   x  ,  x - x 
T
が   0 で任意の xに対して0
f  x  f  x 
f  x 

 ... 
0
x1
x2
xn
f  x   0

二階の条件 (十分条件)
f
f
f
 '   
 x1 - x1    x2 - x2   ...   xn - xn 
x1
x2
xn
で もう一回微分して負
 x  1 -   x ,..., x
1
1
n
 1 -   x n

が独立変数
2 f
2 f
2 f
2
 "    2  x1 - x1  
 x1 - x1  x2 - x2   ... 
 x1 - x1  xn - xn 
x1
x1x2
x1xn
2 f
2 f
2 f
2

 x2 - x2  x1 - x1   2  x2 - x2   ... 
 x2 - x2  xn - xn 
x2 x1
x2
x2xn
.....
2 f
2 f
2 f
2

x
x
x
x

x
x
x
x

...

x
x
 n n  1 1 
 n n  2 2 
 n n
xn x1
xn x2
xn 2
2 f
  i 1  j 1
 xi - xi   x j - x j 
xi x j
n
n
x
極大の十分条件は0で 任意の
について
n
n
2 f
 "   i 1  j 1
 xi - xi  x j - x j  0
xi x j
 2 f
2 f
2 f 


2

x

x

x

x

x
1
1
2
1
n 

 2 f
2 f
2 f 


2
F   x2x1
x2
x2xn 




2
2
2
  f
 f
 f 

2 

x

x

x

x

x
n
2
n
 n 1

行列で書く
 "     x - x  F  x - x   0
T


ヘッセ行列
 2 f

2

x
1

 2 f

F   x2x1


 2 f

 xn x1
2 f
x1x2
2 f
x2 2
2 f
xn x2
2 f 

x1xn 
2 f 

x2xn 


2
 f 

xn 2 
グラディエント・ベクトルのヤコビ行列
fが二回連続微分可能
2 f
2 f

xi x j x j xi
ヘッセ行列は対称
二次形式
A
:n次(n行n列)の実対称行列
x :n次元の実ベクトル
T
x Ax 2次形式

なので実数(1次元)になる
正定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax  0
T
A
が任意の x
が正定符号
 0 について成立
負定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax  0
T
A
が任意の
が負定符号
x  0について成立
半正(半負)定符号
A
:n次(n行n列)の対称行列
x Ax    0 が任意の x
T
A
について成立
が半正(半負)定符号
極大の十分条件は0で 任意の
x
について
 "     x - x  F  x - x   0
T
ヘッセ行列で
F
が負定符号
二回連続微分の関数fのグラディエントが定義
域の内点 x で、0で、そのヘッセ行列がそこで
負定符号ならば、 f は、 x で極大を取る
二変数のときの負定符号の条件
f  x, y  の極大の必要条件
2 f
f xx  2  0
x
f xx f yy  f xy
2 f
f yy  2  0
y
 f 


 xy 
2
2
2
軸方向の効果がクロスの効果より大きい
二次形式と固有値
A
:n次(n行n列)の実対称行列
-1
A  T T
 1 0

0

2




0 0
1 ,..., n 実数
0

0
,T 0


n 
T 実行列にでき T -1  T T
-1
A  T T  T T
T
T
x Ax
T -1  T T
2次形式
x Ax  x T Tx  Tx   Tx 
T
T
T
T
x Ax  x T Tx  Tx   Tx 
T
T
T
T
 y1 
 
y2 

Tx  y 
 
 
 yn 
 1 0

0

2




0 0
0

0


n 
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y y   y  ...  n yn
T
2
1 1
2
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y y   y  ...  n yn
T
2
1 1
2
1 ,..., n がすべて非負(非正)のときには、二次
形式は、必ず非負(非正)
A は、半正(半負)定符号
x Ax  Tx   Tx 
T
T
 y y   y  ...  n yn
T
2
1 1
T 0
2
x  0  y  Tx  0
 x  0  Tx  y  0
1 ,..., n がすべて負(正)のときには、二次形式
は、必ず負(正)
A は、負 (正)定符号
固有方程式
実は
1 ,..., n は固有値(以下で説明)
Ax   x
が0でない解を持つとき、
 は A の固有値
x は 対応する固有ベクトル
Ax   x
が0でない解を持つ
 A -  I  x  0 が0でない解を持つ
-1
x   A - I  0  0
 A -  I  が正則
 A -  I  が特異
A - I 
a11 - 
a12
a1n
a21
a22 - 
a2 n
an1
al 2
ann - 
0
a11 - 
a12
a1n
a21
a22 - 
a2 n
an1
al 2
ann - 
A - I 
 のn次方程式
a11 - 
a12
a1n
a21
a22 - 
a2 n
an1
al 2
ann - 
 a11 -  
a22 - 
a21
a2 n
  a11 -   a22 -  
ann - 
a33 - 
a13
a23 - 
a1n
a2 n
al 3
ann - 
an1
a3n
...
an 3
小行列式分解

- a12
an 2
0
ann - 
 .....
A - I 
a11 - 
a12
a1n
a21
a22 - 
a2 n
an1
al 2
ann - 
0
 のn次方程式
重根を含むとn個の根
-1
A  T T  T T
T
の  の対角上の 1 ,..., n
に一致
ジョルダン標準形
A
:n次(n行n列)の実行列(対称とは限らない)
固有方程式が重根を持たない
-1
A  T T
ジョルダン標準形
 1 0

0

2




0 0
0

0
,T 0


n 
1 ,..., n 実数とは限らない
T -1  T T は成立しない
ジョルダン標準形について
• 線形代数の入門書の最後に出てくる
• 一人で勉強していたら、だいたいこの前で落
ちる
• 講義でも、ちゃんと付いている人は少ない
• 固有方程式に重根がある場合はややこし
い・・・本を見てわかればいい。
例 二次行列の固有値と固有ベクトル
a b
A

b c
固有方程式
A - I 
 -a
b
b
 -c
   - a   - c  - b
  -  a  c     ac - b
2
2
0
2
 -  a  c     ac - b
2
2
0
根の公式


a  c 
2
a

c
4
ac
b

 

2
2
a  c  a - c
2
2
 4b
2


a  c  a  c
2
- 4  ac - b 2 
2
a  c  a - c
2
aとcの符号が違う
2
 4b 2
ac 
a - c
+の根と-の根がある。
正定符号でも負定符号でもない
2
 4b2


a  c  a  c
2
- 4  ac - b 2 
2
a  c  a - c
2
 4b 2
2
正定符号の場合(2根とも正)
a  0, c  0
ac 
a - c
2
ac - b2  0
 4b2


a  c  a  c
2
- 4  ac - b 2 
2
a  c  a - c
2
 4b 2
2
負定符号の場合(2根とも負)
a  0, c  0
ac 
 4b2
ac - b2  0
ヘッセ行列では
f xx  0
a - c
2
f yy  0
f xx f yy  f xy 2
多変数の凹関数と準凹関数
凹関数の定義
0    1  f  x  1-   y    f  x  1-   f  y 
 f  x  1-   f  y 
f  x  1 -   y 
f y
f  x
x
 x  1 -   y
y
凸関数の定義
0    1  f  x  1-   y    f  x  1-   f  y 
直感的には一様にへこんでいるが
直線(平面)部分があっもいい
厳密な凹(凸)関数の定義
0    1  f  x  1-   y    f  x  1-   f  y 
直感的には一様に膨らんでいるか
へこんでいて
直線(平面)部分は無い
(厳密な)準凹関数の定義
0    1  f  x  1-   y     min  f  x , f  y 
(厳密な)準凸関数の定義
0    1  f  x  1-   y     max  f  x , f  y 
凸関数凹関数とヘッセ行列
連続微分可能な関数 f
f が厳密な凸関数
f のヘッセ行列が正定符号
f が厳密な凹関数
f のヘッセ行列が負定符号
準凹(凸)関数と凹(凸)関数の関係
f が凸関数
f が 凹関数
f が準凸関数
f が準凹関数
凸集合
凸集合の定義
x  A, y  A,0    1   x  1-   y  A
凸集合の例
凸集合でない例
線分の両端が入っているが
真ん中は入っていない
準凹関数の最大化
f が準凹関数
x : f  x    y が任意のyについて凸集合
f が準凹関数
f が厳密な準
凹関数
最大値をとるxの集合は凸集合
最大値をとるxの集合は一点

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