Lei de Gauss - Universidade Federal do Paraná

Report
Ewaldo Luiz de Mattos Mehl
Universidade Federal do Paraná
Departamento de Engenharia Elétrica
[email protected]
LEI DE GAUSS
Lei de Gauss
AGENDA
• Revisão: Produto escalar
• Quem foi Gauss?
• Lei de Gauss – Analogia
• Linhas de campo elétrico
• Fluxo do campo elétrico
• Simetria
• Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas
 Fio infinito
Revisão: Produto Escalar de dois vetores
sen
cos
Em coordenadas cartesianas:
Revisão: Vetor x Escalar
Em coordenadas cartesianas:
Carl Friedrich Gauss
• Braunschweig, 30 de Abril de 1777
Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855)
• Príncipe dos matemáticos
• Eletricidade: Lei de Gauss
• Estatística: Curva de Gauss
• Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel
• Astronomia: Lei de Gauss da gravitação
• Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton
• Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre
• ...
Lei de Gauss: Analogia
Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso
 Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o
número de pingos que caírem sobre uma superfície em um
determinado intervalo de tempo
 Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb
 Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após
algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de
água resultante
 Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss
 O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico”
 O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico”
 Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!
Linhas de Campo Elétrico
1C
1C
1C
 Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores
são apenas uma forma de representação gráfica de um
fenômeno físico.
 Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga
elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.
Linhas de Campo Elétrico
Quantas linhas saem
da esfera?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
32C
16C
8C
32C 32 linhas
Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera
Linhas de Campo Elétrico
Quantas linhas saem da
superfície?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
32C
16C
8C
32C 32 linhas
Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA
Linhas de Campo Elétrico
Linhas que saem = +
Linhas que entram = -
8C 0 linhas
16C 0 linhas
32C
16C
8C
32C 0 linhas
Conclusão:
Quando a carga envolvida
pela superfície fechada é
zero, o número efetivo de
linhas de campo que
cortam a superfície é zero!
Superfícies gaussianas
Não!
Superfícies gaussianas
Atenção!
As superfícies
gaussianas são
imaginárias!
Não é necessário
que exista um
corpo sólido com o
formato da
superfície!
Lei de Gauss: Analogia gráfica
 O número de linhas do campo elétrico que saem de
uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à
carga elétrica envolvida por esta superfície
 S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada
N Coulombs  aN linhas de campo elétrico
Fluxo do Campo Elétrico
• Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é
um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica
utilizada.
1C
1C
1C
• É melhor portanto definir uma forma mais precisa que
expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que
atravessa uma determinada superfície.
• Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico
• Unidade: N.m2/C
Lei de Gauss e
Fluxo do Campo Elétrico ()
 (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)
  proporcional a qenvolvida

 o= 8,85 x 10-12 C/N.m2
Constante de permissividade do vácuo
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica
(#1)
contém
em
seu
centro
geométrico uma carga elétrica +q.
Uma segunda superfície Gaussiana
esférica (#2) do mesmo tamanho
também contém a carga +q no seu
interior, porém deslocada do seu
centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo
elétrico que atravessa a superfície
#1, o fluxo do campo elétrico que
atravessa a superfície #2 é:
+q
Superfície
Gaussiana
#1
Superfície
Gaussiana
#2
A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica
(#1)
contém
em
seu
centro
geométrico uma carga elétrica +q.
Uma segunda superfície Gaussiana
esférica (#2) do mesmo tamanho
também contém a carga +q no seu
interior, porém deslocada do seu
centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo
elétrico que atravessa a superfície
#1, o fluxo do campo elétrico que
atravessa a superfície #2 é:
+q
Superfície
Gaussiana
#1
Superfície
Gaussiana
#2
A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
Revisão: Integral de Área
Esta área ficará
mais molhada!
Integral de Área
Chuva
Chuva
dA
Esta área ficará
mais molhada!
Integral de Área
Chuva
Chuva
dA
Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de
chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo
entre a área e a direção de caída da chuva!
Integral de Área
Chuva [C]
dA
Chuva [C]
dA
Casos extremos
• Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento”
• Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície
Fluxo de chuva
através de uma área dA
 Fluxochuva = CdA
(produto escalar de dois vetores)
 |C||dA|cos(q)
 C.dA cos(q)
 Fluxochuva = 0 para q=90° cos(q) = 0
 Fluxochuva = -C.dA para q=180°  cos(q) = -1
 Generalizando:
Fluxochuva = C.dA cos(q)
 Para -1 < cos(q) < +1
q
C
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do
produto do campo elétrico pela área, considerando-os como
vetores:
• Caso 1: Os vetores E e A são paralelos
=E A
• Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é
dado pelo produto escalar dos dois vetores:

 = EA
 = E.A cosq
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
1. Dividir a superfície em pequenos
“elementos” de área A
Superfície
Gaussiana
2. Para cada elemento de área A calcular
o termo:
 
E.A = E.A cosq
3. Somar todos os termos calculados
anteriormente:
 
 =  E.A
nˆ
nˆ
4. Tomar o limite quando cada elemento
de área é infinitesimal:

A  0
nˆ
5. A somatória dos elementos
infinitesimais torna-se então a integral,
 
que é o fluxo:
 =  E.dA
Questão no 2
Duas cargas elétricas
pontuais
+q
(em
vermelho) e –q (em
azul) estão dispostas no
espaço como na figura.
Através
de
qual(is)
superfície(s) Gaussianas
o
fluxo
do
campo
elétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
Questão no 2
Duas cargas elétricas
pontuais
+q
(em
vermelho) e –q (em
azul) estão dispostas no
espaço como na figura.
Através
de
qual(is)
superfície(s) Gaussianas
o
fluxo
do
campo
elétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
 A superfície gaussiana deve ser decomposta por um
conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor
perpendicular ao elemento de área.
 Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de
área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana.
 O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do
produto escalar em cada elemento de área:
EdA = E.dA cos(q)
 O ‘truque’ é escolher uma
superfície gaussiana
conveniente, de modo que
a integral de área ( )
possa ser facilmente calculada.
Superfície
Gaussiana
dA
nˆ
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
A escolha da superfície gaussiana
geralmente é o maior problema para se
aplicar a Lei de Gauss!
O procedimento é buscar a SIMETRIA
Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma
determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um
observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação.
Atenção: Simetria é uma noção intuitiva!
Simetria
rotacional
Esfera sem
defeitos
superficiais
Eixo de
Rotação
Observador
Simetria
rotacional
Esfera sem
Cilindro
defeitos
sem defeitos
superficiais
superficiais
Eixo de
Rotação
Observador
Simetria de Translação
Observador
Tapete mágico
Plano infinito
e sem defeitos
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Linear
Superficial
Volumétrica
ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Linear
Superficial
Volumétrica
FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER
Exemplo de uso da Lei de Gauss:
Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m]
Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da
estrutura; no caso, um cilindro:
E
E
dA
dA
l C/m
r
dA
L
E
Cálculo do Fluxo:
dA
  = tampa1  lateral  tampa 2

 =  E.d Atampa 1   E.d Alateral   E.d Atampa 2
 Nas “tampas” do cilindro
E e dA são perpendiculares
 Então:
 tampa1 = E.dAtampa1 cos(90) = 0
 tampa 2 = E.dAtampa 2 cos(90) = 0
 Não existe fluxo do campo elétrico através
das “tampas” do cilindro!
 = 0   E.d Alateral  0
r
Cálculo do Fluxo:
 = 0   E.d Alateral  0
E & dA são paralelos
EdA = |E||dA| = E.dA
E
dA
l C/m
dA
L
Cálculo do Fluxo:
 = 0   E.d Alateral  0
A superfície cilíndrica tem uma
distância constante do fio.
Portanto o Campo Elétrico é
constante nesta superfície
E
l C/m
L
Cálculo do Fluxo:

 = 0   E.d Alateral  0

2r
 E = constante
 = 0  E  d Alateral  0
 A integral de todos os dA
é a superfície lateral do cilindro:
dA
lateral
L
= 2πrL
 Então:
 = E 2πrL
2r
l C/m
L
r
Cálculo do Campo Elétrico:
 A Lei de Gauss também pode ser escrita
como:
 A carga dentro da superfície gaussiana é:
2r
l C/m
L
r
 Então:
ρl
E=
2 .r. o
Discussão do resultado obtido
ρl
E=
2 .r. o
 |E| é proporcional a 1/r
 A medida que nos afastamos do fio carregado o campo
elétrico fica mais fraco.
 Intuitivamente correto!
 O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado
 Intuitivamente correto!
 A intensidade do campo elétrico é proporcional à
densidade de carga no fio (l)
 Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais
intenso
 Intuitivamente correto!

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