capitulo02

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Capítulo 2
Vetores de força
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Objetivos do capítulo
 Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes
usando a lei do paralelogramo.
 Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano
e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.
 Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois
vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.
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Escalares e vetores
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que
pode ser completamente especificada por sua intensidade.
Exemplos de quantidades escalares:
 Comprimento
 Massa
 Tempo
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Escalares e vetores
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade
e uma direção para sua completa descrição.
Exemplos de vetores:
 Força
 Posição
 Momento
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Operações vetoriais
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Operações vetoriais
Adição de vetores
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da
adição.
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Operações vetoriais
Adição de vetores
Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:
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Operações vetoriais
Adição de vetores
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a
lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar
R = A + B:
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Operações vetoriais
Subtração de vetores
R' = A – B = A + (–B)
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Determinando uma força resultante
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo
a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.
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Determinando as componentes de uma força
Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas
componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em
duas direções específicas.
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Determinando as componentes de uma força
As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente
unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.
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Determinando as componentes de uma força
Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que
representa a regra do triângulo.
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Procedimento para análise
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser
resolvidos da seguinte maneira:
Lei do paralelogramo:
 Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei
do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a
diagonal do paralelogramo.
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Procedimento para análise
 Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao
longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da
força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o
paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as
componentes, Fu e Fv.
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Procedimento para análise
 Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e
desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas
forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou
às intensidades de suas componentes.
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Procedimento para análise
Trigonometria
 Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição
triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.
 Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada
pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As
intensidades das duas componentes de força são determinadas
pela lei dos senos.
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Pontos importantes
 Escalar é um número positivo ou negativo.
 Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido.
 A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a
intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for
negativo.
 Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante
será formada pela adição algébrica ou escalar.
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Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos
eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes
retangulares.
 notação escalar.
 notação de vetor cartesiano.
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Notação escalar
Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas
intensidades podem ser determinadas por:
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Notação escalar
No entanto,
Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são
semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:
e
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Notação vetorial cartesiana
Também é possível representar as componentes x e y de uma força
em termos de vetores cartesianos unitários i e j.
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Notação vetorial cartesiana
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e
Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.
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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para
determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:
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Resultante de forças coplanares
Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como
um vetor cartesiano, ou seja,
F1 = F1xi + F1yj
F2 = – F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
O vetor resultante é, portanto,
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
= (FRx) i + (FR y) j
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Resultante de forças coplanares
Se for usada a notação escalar, temos então
(→ + )
FRx = F1x – F2x + F3x
(+ ↑)
FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forças
coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma
algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
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Resultante de forças coplanares
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser
esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção
apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição
vetorial.
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Resultante de forças coplanares
Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de
Pitágoras, ou seja,
Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é
determinado através da trigonometria:
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Pontos importantes
 A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada
facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e
as forças forem decompostas ao longo dos eixos.
 A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de
ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação.
 A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode
ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.
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Pontos importantes
 As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma
algébrica das componentes de todas as forças coplanares.
 A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de
Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos
x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria.
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Vetores cartesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver
problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os
vetores forem primeiro representados na forma de um vetor
cartesiano.
Sistema de coordenadas destro
Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde
que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z,
quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo
e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.
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Vetores cartesianos
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Componentes retangulares de um vetor
Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do
sistema x, y, z:
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Componentes retangulares de um vetor
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se
decompô-lo em componentes, como:
A = A’ + Az
e depois
A’ = Ax + Ay.
Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado
pela soma vetorial de suas três componentes retangulares,
A = Ax + Ay + Az
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Vetores cartesianos unitários
Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:
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Representação de um vetor cartesiano
A = Axi + Ayj + Azk
Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,
simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em
três dimensões.
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Intensidade de um vetor cartesiano
É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja
expresso sob a forma de um vetor cartesiano.
temos:
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Direção de um vetor cartesiano
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α
(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos
x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A.
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Direção de um vetor cartesiano
Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A
sobre os eixos x, y, z.
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Direção de um vetor cartesiano
Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros
mostrados em cada figura, temos:
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Direção de um vetor cartesiano
Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor
unitário uA na direção de A.
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Direção de um vetor cartesiano
Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj
+ Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional,
desde
que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos
diretores de A, ou seja,
uA = cos αi + cos βj + cos γk
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Direção de um vetor cartesiano
Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores
como:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:
A = AuA
A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k
A = Axi + Ayj + Azk
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Direção de um vetor cartesiano
Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois
ângulos, θ e ϕ (fi),
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A adição de vetores cartesianos
A força resultante poderá ser
escrita como:
FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk
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Pontos importantes
 A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver
problemas em três dimensões.
 As direções positivas dos eixos x, y, z são definidas pelos vetores
cartesianos unitários i, j, k, respectivamente.
 A intensidade de um vetor cartesiano é dada por
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Pontos importantes
 A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção
coordenados α, β, γ que a origem do vetor forma com os eixos x, y, z
positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A
representam os cossenos diretores de α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α,
β, γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela
relação: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
 Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos
θ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por
decomposição vetorial usando trigonometria.
 Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes,
expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes
i, j, k de todas as forças do sistema.
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Vetores padrão
 Coordenadas x, y, z
As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O e medindo-se xA
= +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e,
finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6
m). De modo semelhante, medidas ao longo dos eixos x, y, z de O
para B resulta nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).
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Vetor posição
Se r estende-se da origem de coordenadas, O, para o ponto P (x, y, z),
então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:
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Vetor posição
Observe como a adição vetorial ‘extremidade para origem’ das três
componentes produz o vetor r.
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Vetor posição
Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um
ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos formar essas
componentes diretamente.
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Vetor de força orientado ao longo de uma reta
Muitas vezes, em problemas de estática tridimensionais, a direção de
uma força é definida por dois pontos pelos quais passa sua linha de
ação.
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Pontos importantes
 Um vetor posição localiza um ponto no espaço em relação a outro
ponto.
 A maneira mais simples de definir as componentes de um vetor
posição é determinar a distância e a direção que devem ser
percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a
extremidade do vetor.
 Uma força F que atua na direção de um vetor posição r pode ser
representada na forma cartesiana se o vetor unitário u do vetor
posição for determinado e multiplicado pela intensidade da força,
ou seja, F = Fu = F(r/r).
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Produto escalar
O produto escalar dos vetores A e B, escrito A ∙ B e lido ‘A escalar
B’, é definido como o produto das intensidades de A e B e do
cosseno do ângulo θ entre suas origens. Expresso na forma de
equação,
A ∙ B = AB cos θ
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Leis das operações
1. Lei comutativa:
A∙B=B∙A
2. Multiplicação por escalar:
a(A ∙ B) = (aA) ∙ B = A ∙ (aB)
3. Lei distributiva:
A ∙ (B + D) = (A ∙ B) + (A ∙ D)
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Formulação do vetor cartesiano
Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B
expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:
A ∙ B = (Axi + Ayj + Azk) ∙ (Bxi + Byj + Bzk)
= AxBx(i ∙ i) + AxBy(i ∙ j) + AxBz(i ∙ k)
+ AyBx(j ∙ i) + AyBy(j ∙ j) + AyBz(j ∙ k)
+ AzBx(k ∙ i) + AzBy(k ∙ j) + AzBz(k ∙ k)
Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final:
A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz
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Aplicações
O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.
 O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.
 As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.
Aa = A cos θ = A ∙ ua
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Pontos importantes
 O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois
vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.
 Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos,
o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas
componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os
resultados, ou seja, A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz.
 Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens
dos vetores A e B é θ = cos–1 (A ∙ B/AB).
 A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha aa,
cuja direção é especificada por ua, é determinada pelo produto
escalar Aa = A ∙ ua.
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