Distribusi Multivariat

Report
DISTRIBUSI MULTIVARIAT
Distribusi dari
Dua Variabel Random
• Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali.
• Ruang sampelnya : C = {c : c1 = TTT, c2 = TTH, c3 = THT, c4 =
HTT, c5 = THH, c6 = HTH, c7 = HHT, c8 = HHH}, dimana T = tail
dan H = head.
• Misalkan terdapat 2 variabel random yaitu X1 dan X2, dimana:
X1 : jumlah H pada 2 lemparan pertama
X2 : jumlah H pada seluruh lemparan
Jadi, X1(c1) = X1(TTT) = 0
X2(c1) = X2(TTT) = 0
X1(c2) = X1(TTH) = 0
X2(c2) = X2(TTH) = 1
X1(c3) = X1(THT) = 1
X2(c3) = X2(THT) = 1
X1(c4) = X1(HTT) = 1
X2(c4) = X2(HTT) = 1
–
–
–
–
X1(c5) = X1(THH) = 1
X1(c6) = X1(HTH) = 1
X1(c7) = X1(HHT) = 2
X1(c8) = X1(HHH) = 2
X2(c5) = X2(THH) = 2
X2(c6) = X2(HTH) = 2
X2(c7) = X2(HHT) = 2
X2(c8) = X2(HHH) = 3
Akan dibentuk pasangan terurut (x1,x2) dimana x1 = X1(c) dan
x2 = X2(c) untuk c C . Jadi pemetaannya,
C
( X1 , X 2 )
 R2
c   X1 (c), X 2 (c)
Untuk kasus di atas, A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}
• Definisi ruang A:
Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C.
Ditentukan 2 variabel random X1 dan X2 dimana pasangan
fungsi tersebut memetakan setiap elemen c C ke satu dan
hanya satu pasangan terurut (X1(c) = x1,X2(c)= x2). Sehingga
ruang dari (X1,X2) adalah himpunan pasangan terurut :
A = {(x1,x2) : x1 = X1(c),x2 = X2(c), c C }.
• Misalkan A adalah ruang dari variabel random X1 dan X2 dan
misalkan A  A . Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian
A, dinotasikan dengan Pr((X1,X2)  A).
• Ambil C = {c; c  C dan [X1(c),X2(c)] A}, dimana C adalah
ruang sampel.
Maka Pr((X1,X2)  A))= P(C ), dimana P(C ) adalah probability
set function yang didefinisikan pada C  C . Pr((X1,X2)  A))
ditulis sebagai PX1 , X 2 ( A) atau P(A)juga merupakan probability
set function yang didefinisikan pada A  A.
• Contoh:
Berdasarkan contoh di awal,
A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}
Misal A = {(1,1),(1,2)}  A , maka P(A) = Pr((X1,X2)  A))= P(C )
dimana C = {c3,c4,c5,atau c6}.
- P({c3}) = Pr(THT) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c4}) = Pr(HTT) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c5}) = Pr(THH) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c6}) = Pr(HTH) = ½ ½ ½ = 1/8
Jadi, P(C) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = ½ sehingga
P(A) = Pr((X1,X2)  A))= P( C) = ½.
• Tabel distribusi probabilitas untuk setiap elemen A .
(x1 ,x2)
(0,0)
(0,1)
(1,1)
(1,2)
(2,2)
(2,3)
Jumlah
Pr((X1,X2) =(x1 ,x2))
1/8
1/8
2/8
2/8
1/8
1/8
1
Pdf Bersama dari X dan Y
• Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 variabel
berlaku juga untuk 2 variabel random.
• Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y) = 0 untuk yang
lainnya. f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y, yang
memenuhi

f ( x, y)
- P(A) = Pr((X ,Y) A))= 
untuk X dan Y diskrit
A

- P(A) = Pr((X ,Y) A)) =  A f ( x, y) dx dy untuk X dan Y kontinu
- P(A ) = 1, yaitu
 f(x,y) = 1 untuk X dan Y diskrit
A
 
  f(x,y)dxdy    f ( x, y) dxdy1 untuk X dan Y kontinu
A

- f(x,y) > 0,x, y  A .
• Contoh:
6 x 2 y, 0  x  1, 0  y  1
Misalkan f ( x, y)   0,
yang
lainnya adalah pdf bersama

dari X dan Y.
1 1
- Pr(0  X  1,0  Y  1)    6 x 2 y dxdy 1
0 0
2
3
4
1
3
4
2
1
3
0
1
3
0
1 0
3
4
- Pr(0  X  34 , 13  Y  2)    6 x 2 y dxdy    6 x 2 y dxdy   0dxdy 
1 1
- Pr(  X  ,  Y  )  6 x 2 y dxdy  1

0 0
3
8
Fungsi Distribusi Bersama
dari X dan Y
• Misalkan variabel random X dan Y mempunyai fungsi
himpunan probabilitas P(A) dimana A adalah himpunan
berdimensi 2.
• Jika A  {(u, v) : u  x, v  y} dimana x  R, y  R maka
P( A)  Pr((X , Y )  A)  Pr(X  x, Y  y) disebut fungsi
distribusi bersama dari X dan Y, dinotasi kan dengan F(x,y).
- Apabila X dan Y variabel random kontinu dengan pdf f(x,y),
y x
maka
F ( x, y)  Pr(X  x, Y  y) 
  f (u, v) dudv

dan pada titik-titik dimana f(x,y) kontinu, berlaku
 2 F ( x, y)
 f ( x, y)
xy
• Dapat ditunjukkan (PR)
Pr(a  X  b, c  Y  d )  F (b, d )  F (b, c)  F (a, d )  F (a, c)
untuk semua konstanta real a<b dan c<d.
Contoh :
Misalkan pdf dari X dan Y adalah
Misalkan Z = X + Y.
Tentukan fungsi distribusi dari Z.
1, 0  x  1, 0  y  1
f ( x, y)  
yang
lainnya
0,
Pdf Marginal dari X1atau X2
• Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2 .
Ditentukan suatu kejadian {a < X1 < b, a < b}. Kejadian
{a < X1 < b, a < b} terjadi jika dan hanya jika kejadian
{a < X1 < b,    X 2   } terjadi . Berarti kejadian
{a < X1 < b, a < b} ekivalen dgn kejadian {a < X1 < b,    X 2  }
Jadi untuk kasus variabel random kontinu:
b 
Pr(a  X1  b)  Pr(a  X1  b,  X 2  )  
 f ( x , x ) dx dx
1
2
2
1
a 
Untuk variabel random diskrit:
Pr(a  X1  b)  Pr(a  X1  b,  X 2  ) 
  f (x , x )
a x1 b x2
1
2

-


f ( x1 , x2 ) dx2 dan
 f ( x , x ) merupakan fungsi dari x1 dan
1
2
x2
dinotasikan dengan f1 ( x1 ) .
Jadi,
b
a  b, Pr(a  X 1  b)   f1 ( x1 ) dx1 untuk kasus kontinu
a

 f (x )
a  x1 b
1
1
untuk kasus diskrit
• Dapat disimpulkan:

1. f1 ( x1 )   f ( x1 , x2 )dx2 untuk kasus kontinu

f1 ( x1 )   f ( x1 , x2 ) untuk kasus diskrit
x2

2. f 2 ( x2 )   f ( x1 , x2 ) dx1 untuk kasus kontinu

untuk kasus diskrit
f (x ) 
f (x , x )
2
2

1
2
x1
f1 ( x1 ) disebut pdf marginal dari X
1
f 2 ( x2 )
disebut pdf marginal dari X2.
• Contoh:
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama:
x1  x2 , 0  x1  1, 0  x2  1
f ( x1 , x2 )  
yang
lainnya
 0,
Tentukan:
-pdf marginal dari X1 dan X2.
- Hitung Pr(X 1  12 ) dan Pr(X1  X 2  1)

similar documents