Injectivité. Surjectivité. Bijectivité.

Report
Ioana Stănescu
Classe: I-ère A
Professeur coordinateur : Cristina Anton
Date: 7 Novembre 2011
Table de matières
 Lexique
 Application dans la vie quotidienne
 Fonctions injectives: définitions, propriétés,
méthodes de résolution de problèmes
 Fonctions surjectives: définitions, propriétés
 Fonctions bijectives : définitions, propriétés,
l’inverse
 Exercices
Lexique
 Application
 Injectivité
 Surjectivité
 Bijectivité
 Inverse
Application dans la vie quotidienne
Dans la vie quotidienne on fait appel à l’injectivité , surjectivité ou
bijectivité sans que l’on sache.
Quand on a à distribuer x photocopies à y copains on a une injection si
on donne à chacun au plus une photocopie(x≤y); on a une surjection si
on donne au moins une photocopie à chacun(x≥y) et une bijection si
et seulement si on donne à chacun une seule photocopie(x=y).
Ou une application formelle: dans le cas d’un hôtel avec y chambres qui
veut que toutes soient occupées on a une surjection quand le nombre
de touristes(x) et au moins égal au nombre de chambres et toutes
sont occupées(x≥y) , une bijection si x=y et il y a un touriste dans
chaque chambre et on a une injection si le nombre de touristes qui
occupe une chambre est au plus égal à 1(x≤y),mais, bien sûr, ce
dernier cas n’est pas favorable quand il reste des chambre libres.
Fonctions injectives
Le terme injection a été créé par S. MacLane
en 1950 tandis que
l'adjectif injectif apparaît deux ans plus
tard, en 1952, dans les foundations of
algebraic topology de Ellenberg et
Steenrod.
f:X
x1
x2
x3
x4
x5
 Définitions:
Une application, f : X → Y est
dite injective ou est
une injection si pour tout y dans
l'ensemble d'arrivée Y, il existe au
plus un élément x dans l'ensemble
de définition X tel que f(x) = y,
Relations formelles équivalentes aux
dans ce cas on dit aussi que tout
élément y de Y admet au plus un
antécédent x (par f) .
De manière équivalente, f est dite
injective si pour
tous x et x' dans X, f(x) = f(x' )
implique x = x' .
Y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
définitions:
Soit f : X → Y , f est injective si
x1 , x2  X , x1  x2  f  x1   f  x2 
x1 , x2  X , f  x1   f  x2   x2  x1
y  Y ,l’équation f(x)=y a au plus une
solution x dans X
Du point de vue géométrique , une fonction
f: R → R est injective si son graphe coupe toute droite horizontale en
au plus un point.
Propriétés
 Si f et g sont toutes les deux injectives, alors gof est injective.
 Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant
d'éléments que X, au sens des cardinaux.
 Pour toute application f : X → Y tout sous-ensemble A de X est
l'image réciproque de son image directe : f −1(f(A)) = A
 Pour toute application f : X → Y pour tous sousensembles A et B de X, on a f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
 Méthodes de résolution de problèmes:
On utilise la relation x1, x2  X , x1  x2  f  x1   f  x2 
pour démontrer qu’une fonction n’est pas injective en
donnant un contre-exemple.
On utilise la relation x1, x2  X , f  x1   f  x2   x2  x1
pour démontrer qu’une fonction est injective .
Fonctions surjectives
 Définitions:
Une fonction f : X → Y est
surjective si et seulement si
tout élément de son ensemble
d’arrivé Y a au moins un
antécédent , c’est-à-dire est
image d’au moins un élément
de son ensemble de départ,
X;ou l’image de f(x) se
confond avec l’ensemble
d’arrivée.
Du point de vue géométrique ,
une fonction surjective
f: R → R a une graphe qui
intercepte toute droite
horizontale
f:X
Y
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
Relations formelles équivalentes aux
définitions:
Soit f : X → Y et Imf=f(x), f est surjective si:
Imf=Y
y  Y, l’équation f(x)=y a au moins une solution
x dans X
y
f(x)=x^2-1
9
8
Exemple:
Soit f: R →[-1,∞[
f(x)=x^2-1
f est surjective
7
6
5
4
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
2
3
4
5
6
7
8
9
Propriétés
 Si une surjection est aussi une injection , alors on
l’appelle une bijection.
 Si g f est surjective, alors g est surjective
 Si f et g sont surjectives ,alors g f est surjective
Fonctions bijectives
 Définitions:
Une application est bijective si et
seulement si tout élément de
son ensemble d'arrivée a un
seul antécédent, c'est-à-dire
est image d'exactement un
élément de son ensemble de
départ, ou encore si elle
est injective et surjective.
Relations formelles équivalentes
aux définitions:
Soit f : X → Y
y Y , ! x  X : f  x   y
y  Y, l’équation f(x)=y a une seule
solution
La fonction est injective et
surjective
f:X
Y
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
Propriétés
• Si g f est bijective, alors g est surjective et f est injective
• Si f et g sont toutes deux bijectives alors g f est aussi injective
• Le nombre des bijections entre deux ensembles de cardinal n est n!
• Si f est bijective ,alors f est inversable
• Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , une
fonction bijective a un graphe qui intersecte toute droite
horizontale en exactement un point.
L’inverse d’une fonction
On note f 1  x  l’inverse de f(x)
Pour déterminer l’inverse d’une fonction on résoudre
l’équation f(x)=y ayant comme inconnue x .
Une fonction est inversable si et seulement si elle est
bijective.
Si f:XY , alors fˉ¹:YX
L'origine est un point de symétrie de la représentation
graphique de la fonction inverse, donc l’axe des
bissectrices est l’axe de symétrie pour la fonction
inverse.
y
f(x)=x^3+2
4
Soit f: R → R,
f  x   x3  2
3
2
x3  2  y  x3  y  2 
1
x
3
y2
Elle est bijective
et a comme inverse
f 1  x   3 x  2
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
Après toute la théorie il est venu le temps
de mettre en pratique les connaissances
aquisses
 
1)Soit f : [1;+∞[ [0;+∞[ tel que f x  x  1 . f est-elle
bijective ?Si oui trouvez l’inverse.
Indication: montrez que f est injective et surjective
2) Soit f: R → [2,∞[ tel que f  x   3x  2 . Démontrer si f est
bijective.
Indication: faites le graphique
3) Soit f: R → R tel que f x  x2  2 x  5 . f est-elle injective
ou surjective?
4
4) Soit f: R → R+ tel que f  x   x 1 . Démontrer que la fonction
n’est pas injective mais elle est surjective.
5) En ayant comme modèle les 2 applications pratiques donnez
d’autres exemples.
 
2
Bibliographie et sitographie
 Sorina Danaila, « Ghid
pentru bacalaureatul
bilingv francofon»,
ed.Polirom, 2009
 Le cahier de
mathématiques de IIème (X-ème)
 http://exo7.emath.fr/fic
pdf/fic00003.pdf

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